Categoría cuasi-abeliana

En matemáticas , específicamente en teoría de categorías , una categoría cuasi-abeliana es una categoría pre-abeliana en la que el empuje de un núcleo a lo largo de morfismos arbitrarios es nuevamente un núcleo y, dualmente, el retroceso de un co-núcleo a lo largo de morfismos arbitrarios es nuevamente un co-núcleo.

Una categoría cuasi-abeliana es una categoría exacta . ^{[ cita requerida ]}

Definición

Sea una categoría pre-abeliana . Un morfismo es un núcleo ( un co-núcleo ) si existe un morfismo tal que es un núcleo (co-núcleo) de . La categoría es cuasi-abeliana si para cada núcleo y cada morfismo en el diagrama de empuje ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle h:X\rightarrow Z}$

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}X&{\xrightarrow {f}}&Y\\\downarrow _{h}&&\downarrow _{h'}\\Z&{\xrightarrow {f'}}&Q\end{array}}}$

El morfismo es nuevamente un núcleo y, dualmente, para cada co-núcleo y cada morfismo en el diagrama de pullback ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle g:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle h:Z\rightarrow Y}$

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}P&{\xrightarrow {g'}}&Z\\\downarrow _{h'}&&\downarrow _{h}\\X&{\xrightarrow {g}}&Y\end{array}}}$

El morfismo es nuevamente un cokernel. ${\displaystyle g'}$

De manera equivalente, una categoría cuasi-abeliana es una categoría pre-abeliana en la que el sistema de todos los pares núcleo-co-núcleo forma una estructura exacta .

Dada una categoría pre-abeliana, aquellos núcleos, que son estables bajo empujes arbitrarios, a veces se denominan núcleos semiestables . Dualmente, los cokernels, que son estables bajo pullbacks arbitrarios, se denominan cokernels semiestables . ^[1]

Propiedades

Sea un morfismo en una categoría cuasi-abeliana. Entonces el morfismo inducido es siempre un bimorfismo , es decir, un monomorfismo y un epimorfismo . Por lo tanto, una categoría cuasi-abeliana es siempre semi-abeliana . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\overline {f}}:\operatorname {cok} \ker f\to \ker \operatorname {cok} f}$

Ejemplos y no ejemplos

Toda categoría abeliana es cuasi-abeliana. Ejemplos típicos no abelianos surgen en el análisis funcional. ^[2]

• La categoría de espacios de Banach es cuasi-abeliana.
• La categoría de espacios de Fréchet es cuasi-abeliana.
• La categoría de espacios localmente convexos ( Hausdorff ) es cuasi-abeliana.

Contrariamente a lo que afirma Beilinson, ^[3] la categoría de espacios vectoriales topológicos completamente separados con topología lineal no es cuasi-abeliana. ^[4] Por otra parte, la categoría de espacios vectoriales topológicos (arbitrarios o de Hausdorff) con topología lineal es cuasi-abeliana. ^[4]

Historia

El concepto de categoría cuasiabeliana fue desarrollado en la década de 1960. Hay antecedentes que lo explican. ^[5] Esto se debe en particular a la conjetura de Raikov , que afirmaba que la noción de categoría semiabeliana es equivalente a la de categoría cuasiabeliana. Alrededor de 2005 resultó que la conjetura era falsa. ^[6]

Categorías cuasi-abelianas de izquierda y derecha

Al dividir las dos condiciones en la definición, se pueden definir categorías cuasi-abelianas de izquierda al requerir que los co-núcleos sean estables ante retrocesos y categorías cuasi-abelianas de derecha al requerir que los núcleos sean estables ante retrocesos. ^[7]

Citas

1. Richman y Walker, 1977.
2. Prosmans, 2000.
3. Beilinson, A (2008). "Observaciones sobre álgebras topológicas". Revista Matemática de Moscú . 8 (1).
4. Positselski, Leonid (2024). "Categorías exactas de espacios vectoriales topológicos con topología lineal". Revista de Matemáticas de Moscú . 24 (2): 219–286.
5. Rump, 2008, pág. 986f.
6. Rump, 2011, pág. 44 y siguientes.
7. Grupo, 2001.

Referencias

• Fabienne Prosmans, Categorías derivadas para el análisis funcional. Publ. Res. Inst. Math. Sci. 36(5–6), 19–83 (2000).
• Fred Richman y Elbert A. Walker, Ext en categorías pre-abelianas. Pac. J. Math. 71(2), 521–535 (1977).
• Wolfgang Rump, Un contraejemplo a la conjetura de Raikov, Bull. London Math. Soc. 40, 985–994 (2008).
• Wolfgang Rump, Categorías casi abelianas, Cahiers Topologie Géom. Diferencial de categoría. 42(3), 163–225 (2001).
• Wolfgang Rump, Análisis de un problema de Raikov con aplicaciones a espacios barrelizados y bornológicos, J. Pure and Appl. Algebra 215, 44–52 (2011).
• Jean Pierre Schneiders, Categorías y gavillas cuasi abelianas, Mém. Soc. Matemáticas. P. Nuevo. Ser. 76 (1999).