Categoría semi-abeliana

En matemáticas , específicamente en teoría de categorías , una categoría semi-abeliana es una categoría pre-abeliana en la que el morfismo inducido es un bimorfismo , es decir, un monomorfismo y un epimorfismo , para cada morfismo . ${\displaystyle {\overline {f}}:\operatorname {coim} f\rightarrow \operatorname {im} f}$ ${\displaystyle f}$

La historia de la noción está entrelazada con la de una categoría cuasi-abeliana , ya que, durante un tiempo, no se supo si las dos nociones eran distintas (ver categoría cuasi-abeliana#Historia ).

Propiedades

Las dos propiedades utilizadas en la definición pueden caracterizarse mediante varias condiciones equivalentes. ^[1]

Cada categoría semi-abeliana tiene una estructura exacta máxima .

Si una categoría semi-abeliana no es cuasi-abeliana , entonces la clase de todos los pares núcleo-co-núcleo no forma una estructura exacta .

Ejemplos

Toda categoría cuasabeliana es semiabeliana. En particular, toda categoría abeliana es semiabeliana. Los siguientes son ejemplos no cuasabelianos.

• La categoría de espacios bornológicos (posiblemente no hausdorffianos ) es semiabeliana. ^{[2] [3] [4]}
• Deja que sea el carcaj ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}1&\xrightarrow {} &2&\xleftarrow {} &3\\\downarrow {}&&\downarrow {}&&\downarrow {}\\4&\xrightarrow {} &5&\xleftarrow {} &6\\\end{array}}}$

y sea un cuerpo . La categoría de módulos proyectivos finitamente generados sobre el álgebra es semiabeliana. ^[5] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle KQ}$

Categorías semi-abelianas izquierda y derecha

Al dividir las dos condiciones en la función inducida en la definición, se pueden definir categorías semiabelianas izquierdas al exigir que sea un monomorfismo para cada morfismo . En consecuencia, las categorías semiabelianas derechas son categorías preabelianas tales que sea un epimorfismo para cada morfismo . ^[6] ${\displaystyle {\overline {f}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\overline {f}}}$ ${\displaystyle f}$

Si una categoría es semi-abeliana por la izquierda y cuasi-abeliana por la derecha , entonces ya es cuasi-abeliana. Lo mismo sucede si la categoría es semi-abeliana por la derecha y cuasi-abeliana por la izquierda. ^[7]

Citas

1. Kopylov y otros, 2012.
2. Bonet y otros, 2004/2005.
3. Sieg et al., 2011, Ejemplo 4.1.
4. Grupo, 2011, pág. 44.
5. Grupo, 2008, pág. 993.
6. Grupo, 2001.
7. Grupo, 2001.

Referencias

• José Bonet , J., Susanne Dierolf , El retroceso de los espacios bornológicos y ultrabornológicos. Nota Mat. 25(1), 63–67 (2005/2006).
• Yaroslav Kopylov y Sven-Ake Wegner, Sobre la noción de una categoría semi-abeliana en el sentido de Palamodov, Appl. Categ. Structures 20 (5) (2012) 531–541.
• Wolfgang Rump, Un contraejemplo a la conjetura de Raikov, Bull. London Math. Soc. 40, 985–994 (2008).
• Wolfgang Rump, Categorías casi abelianas, Cahiers Topologie Géom. Diferencial de categoría. 42(3), 163–225 (2001).
• Wolfgang Rump, Análisis de un problema de Raikov con aplicaciones a espacios barrelizados y bornológicos, J. Pure and Appl. Algebra 215, 44–52 (2011).
• Dennis Sieg y Sven-Ake Wegner, Estructuras exactas máximas en categorías aditivas, Math. Nachr. 284 (2011), 2093–2100.