Subcategoría de localización

En matemáticas, las subcategorías de Serre y las subcategorías localizadoras forman clases importantes de subcategorías de una categoría abeliana . Las subcategorías localizadoras son ciertas subcategorías de Serre. Están fuertemente vinculadas a la noción de categoría cociente .

Subcategorías de Serre

Sea una categoría abeliana . Una subcategoría completa no vacía se denomina subcategoría de Serre (o también subcategoría densa ), si para cada secuencia corta exacta en el objeto está en si y solo si los objetos y pertenecen a . En palabras: está cerrada bajo subobjetos, objetos cocientes y extensiones. ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle 0\rightarrow A'\rightarrow A\rightarrow A''\rightarrow 0}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle A'}$ ${\displaystyle A''}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Cada subcategoría de Serre de es en sí misma una categoría abeliana, y el funtor de inclusión es exacto . La importancia de esta noción surge del hecho de que los núcleos de los funtores exactos entre categorías abelianas son subcategorías de Serre, y que se puede construir (para localmente pequeño ) la categoría cociente (en el sentido de Gabriel , Grothendieck , Serre ) , que tiene los mismos objetos que , es abeliana y viene con un funtor exacto (llamado funtor cociente) cuyo núcleo es . ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\to {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}/{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle T\colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {A}}/{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Localización de subcategorías

Sea localmente pequeño. La subcategoría de Serre se llama localizadora si el funtor cociente tiene un adjunto derecho . Dado que entonces , como adjunto izquierdo, conserva colímites , cada subcategoría localizadora está cerrada bajo colímites. El funtor (o a veces ) también se llama funtor de localización y funtor de sección . El funtor de sección es exacto a la izquierda y completamente fiel . ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle T\colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {A}}/{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle S\colon {\mathcal {A}}/{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle ST}$ ${\displaystyle S}$

Si la categoría abeliana es además cocompleta y tiene envolventes inyectivas (por ejemplo, si es una categoría de Grothendieck ), entonces una subcategoría de Serre es localizadora si y solo si está cerrada bajo coproductos arbitrarios (también conocidos como sumas directas). Por lo tanto, la noción de una subcategoría localizadora es equivalente a la noción de una clase de torsión hereditaria . ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Si es una categoría de Grothendieck y una subcategoría localizadora, entonces y la categoría cociente son nuevamente categorías de Grothendieck. ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}/{\mathcal {C}}}$

El teorema de Gabriel-Popescu implica que cada categoría de Grothendieck es la categoría cociente de una categoría módulo (con un anillo adecuado ) módulo una subcategoría localizadora. ${\displaystyle \operatorname {Mod} (R)}$ ${\displaystyle R}$

Véase también

• Subcategoría Giraud

Referencias

• Nicolae Popescu ; 1973; Categorías abelianas con aplicaciones a anillos y módulos ; Academic Press, Inc.; agotado.