Subcategoría Giraud

Subcategorías matemáticas de las categorías de Grothendieck

En matemáticas, las subcategorías de Giraud forman una clase importante de subcategorías de las categorías de Grothendieck . Reciben su nombre en honor a Jean Giraud .

Definición

Sea una categoría de Grothendieck . Una subcategoría completa se denomina reflexiva si el funtor de inclusión tiene un adjunto izquierdo . Si este adjunto izquierdo de también conserva los núcleos , entonces se denomina subcategoría de Giraud . ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle i\colon {\mathcal {B}}\rightarrow {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

Propiedades

Sea Giraud en la categoría de Grothendieck y el funtor de inclusión. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle i\colon {\mathcal {B}}\rightarrow {\mathcal {A}}}$

• ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$es nuevamente una categoría de Grothendieck.
• Un objeto en es inyectivo si y sólo si es inyectivo en . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle i(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$
• El adjunto izquierdo de es exacto . ${\displaystyle a\colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle i}$
• Sea una subcategoría localizadora de y la categoría cociente asociada . El funtor de sección es completamente fiel e induce una equivalencia entre y la subcategoría de Giraud dada por los objetos cerrados en . ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}/{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle S\colon {\mathcal {A}}/{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}/{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Véase también

• Subcategoría de localización

Referencias

• Bo Stenström; 1975; Anillos de cocientes . Saltador.