Teorema de Maschke

Se refiere a la descomposición de representaciones de un grupo finito en piezas irreducibles.

En matemáticas , el teorema de Maschke , ^{[1] [2]} llamado así por Heinrich Maschke , ^[3] es un teorema en la teoría de representación de grupos que se refiere a la descomposición de representaciones de un grupo finito en partes irreducibles . El teorema de Maschke permite sacar conclusiones generales sobre las representaciones de un grupo finito G sin calcularlas realmente. Reduce la tarea de clasificar todas las representaciones a una tarea más manejable de clasificar representaciones irreducibles , ya que cuando se aplica el teorema, cualquier representación es una suma directa de partes irreducibles (constituyentes). Además, se deduce del teorema de Jordan-Hölder que, si bien la descomposición en una suma directa de subrepresentaciones irreducibles puede no ser única, las partes irreducibles tienen multiplicidades bien definidas . En particular, una representación de un grupo finito sobre un cuerpo de característica cero está determinada hasta el isomorfismo por su carácter .

Formulaciones

El teorema de Maschke aborda la cuestión: ¿cuándo se construye una representación general (de dimensión finita) a partir de subrepresentaciones irreducibles utilizando la operación de suma directa ? Esta pregunta (y su respuesta) se formulan de manera diferente para las distintas perspectivas de la teoría de la representación de grupos.

Teoría de grupos

El teorema de Maschke se formula comúnmente como corolario del siguiente resultado:

Teorema  —  es una representación de un grupo finito sobre un cuerpo con característica que no divide el orden de . Si tiene una subrepresentación , entonces tiene otra subrepresentación tal que . ^{[4] [5]} ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V=W\oplus U}$

Entonces el corolario es

Corolario (teorema de Maschke)  :  Toda representación de un grupo finito sobre un cuerpo con característica que no divide el orden de es una suma directa de representaciones irreducibles. ^{[6] [7]} ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle G}$

El espacio vectorial de funciones de clase de valor complejo de un grupo tiene una estructura de producto interno invariante natural, descrita en el artículo Relaciones de ortogonalidad de Schur . El teorema de Maschke se demostró originalmente para el caso de representaciones sobre construyendo como el complemento ortogonal de bajo este producto interno. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle W}$

Teórico-modular

Una de las aproximaciones a las representaciones de grupos finitos es a través de la teoría de módulos . Las representaciones de un grupo son reemplazadas por módulos sobre su álgebra de grupos (para ser precisos, hay un isomorfismo de categorías entre y , la categoría de representaciones de ). Las representaciones irreducibles corresponden a módulos simples . En el lenguaje de la teoría de módulos, el teorema de Maschke pregunta: ¿es un módulo arbitrario semisimple ? En este contexto, el teorema puede ser reformulado de la siguiente manera: ${\displaystyle G}$  ${\displaystyle K[G]}$ ${\displaystyle K[G]{\text{-Mod}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Rep} _{G}}$ ${\displaystyle G}$

Teorema de Maschke  —  Sea un grupo finito y un cuerpo cuya característica no divide el orden de . Entonces , el álgebra de grupo de , es semisimple . ^{[8] [9]} ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K[G]}$ ${\displaystyle G}$

La importancia de este resultado se deriva de la teoría bien desarrollada de anillos semisimples, en particular, su clasificación dada por el teorema de Wedderburn-Artin . Cuando es el cuerpo de números complejos, esto muestra que el álgebra es un producto de varias copias de álgebras matriciales complejas , una para cada representación irreducible. ^[10] Si el cuerpo tiene característica cero, pero no es algebraicamente cerrado , por ejemplo si es el cuerpo de números reales o racionales , entonces se cumple una afirmación algo más complicada: el álgebra de grupos es un producto de álgebras matriciales sobre anillos de división sobre . Los sumandos corresponden a representaciones irreducibles de sobre . ^[11] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K[G]}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K[G]}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K}$

Teórica de categorías

Reformulado en el lenguaje de categorías semisimples , el teorema de Maschke establece:

Teorema de Maschke  :  Si G es un grupo y F es un campo con característica que no divide el orden de G , entonces la categoría de representaciones de G sobre F es semisimple.

Pruebas

Teoría de grupos

Sea U un subespacio de V complemento de W. Sea la función de proyección, es decir, para cualquier . ${\displaystyle p_{0}:V\to W}$ ${\displaystyle p_{0}(w+u)=w}$ ${\displaystyle u\in U,w\in W}$

Defina , donde es una abreviatura de , siendo la representación de G en W y V . Entonces, se conserva por G bajo la representación : para cualquier , ${\textstyle p(x)={\frac {1}{\#G}}\sum _{g\in G}g\cdot p_{0}\cdot g^{-1}(x)}$ ${\displaystyle g\cdot p_{0}\cdot g^{-1}}$ ${\displaystyle \rho _{W}{g}\cdot p_{0}\cdot \rho _{V}{g^{-1}}}$ ${\displaystyle \rho _{W}{g},\rho _{V}{g^{-1}}}$ ${\displaystyle \ker p}$ ${\displaystyle \rho _{V}}$ ${\displaystyle w'\in \ker p,h\in G}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}p(hw')&=h\cdot h^{-1}{\frac {1}{\#G}}\sum _{g\in G}g\cdot p_{0}\cdot g^{-1}(hw')\\&=h\cdot {\frac {1}{\#G}}\sum _{g\in G}(h^{-1}\cdot g)\cdot p_{0}\cdot (g^{-1}h)w'\\&=h\cdot {\frac {1}{\#G}}\sum _{g\in G}g\cdot p_{0}\cdot g^{-1}w'\\&=h\cdot p(w')\\&=0\end{aligned}}}$$

por lo que implica que . Por lo tanto, la restricción de on también es una representación. ${\displaystyle w'\in \ker p}$ ${\displaystyle hw'\in \ker p}$ ${\displaystyle \rho _{V}}$ ${\displaystyle \ker p}$

Por la definición de , para cualquier , , entonces , y para cualquier , . Por lo tanto, , y . Por lo tanto, . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle w\in W}$ ${\displaystyle p(w)=w}$ ${\displaystyle W\cap \ker \ p=\{0\}}$ ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle p(p(v))=p(v)}$ ${\displaystyle p(v-p(v))=0}$ ${\displaystyle v-p(v)\in \ker p}$ ${\displaystyle V=W\oplus \ker p}$

Teórico-modular

Sea V un submódulo K [ G ]. Probaremos que V es un sumando directo. Sea π cualquier proyección K -lineal de K [ G ] sobre V . Consideremos la función $${\displaystyle {\begin{cases}\varphi :K[G]\to V\\\varphi :x\mapsto {\frac {1}{\#G}}\sum _{s\in G}s\cdot \pi (s^{-1}\cdot x)\end{cases}}}$$

Entonces φ es nuevamente una proyección: es claramente K -lineal, asigna K [ G ] a V e induce la identidad en V (por lo tanto, asigna K [ G ] a V ). Además, tenemos

$${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (t\cdot x)&={\frac {1}{\#G}}\sum _{s\in G}s\cdot \pi (s^{-1}\cdot t\cdot x)\\&={\frac {1}{\#G}}\sum _{u\in G}t\cdot u\cdot \pi (u^{-1}\cdot x)\\&=t\cdot \varphi (x),\end{aligned}}}$$

De hecho, φ es K [ G ]-lineal. Por el lema de desdoblamiento , . Esto demuestra que cada submódulo es un sumando directo, es decir, K [ G ] es semisimple. ${\displaystyle K[G]=V\oplus \ker \varphi }$

Declaración inversa

La prueba anterior depende del hecho de que # G es invertible en K . Esto podría llevar a uno a preguntarse si el recíproco del teorema de Maschke también es válido: si la característica de K divide el orden de G , ¿se sigue que K [ G ] no es semisimple? La respuesta es sí . ^[12]

Demostración. Para definir . Sea . Entonces I es un K [ G ]-submódulo. Probaremos que para cada submódulo no trivial V de K [ G ], . Sea V dado, y sea cualquier elemento distinto de cero de V . Si , la afirmación es inmediata. De lo contrario, sea . Entonces y ${\textstyle x=\sum \lambda _{g}g\in K[G]}$ ${\textstyle \epsilon (x)=\sum \lambda _{g}}$ ${\displaystyle I=\ker \epsilon }$ ${\displaystyle I\cap V\neq 0}$ ${\textstyle v=\sum \mu _{g}g}$ ${\displaystyle \epsilon (v)=0}$ ${\textstyle s=\sum 1g}$ ${\displaystyle \epsilon (s)=\#G\cdot 1=0}$ ${\displaystyle s\in I}$ $${\displaystyle sv=\left(\sum 1g\right)\!\left(\sum \mu _{g}g\right)=\sum \epsilon (v)g=\epsilon (v)s}$$

por lo que es un elemento distinto de cero tanto de I como de V. Esto demuestra que V no es un complemento directo de I para todo V , por lo que K [ G ] no es semisimple. ${\displaystyle sv}$

No-ejemplos

El teorema no se puede aplicar al caso en que G es infinito, o cuando el campo K tiene características que dividen a # G . Por ejemplo,

• Consideremos el grupo infinito y la representación definida por . Sea , un subespacio unidimensional de abarcado por . Entonces la restricción de sobre W es una subrepresentación trivial de . Sin embargo, no existe ninguna U tal que tanto W, U sean subrepresentaciones de y : cualquier U de ese tipo debe ser unidimensional, pero cualquier subespacio unidimensional preservado por debe estar abarcado por un vector propio para , y el único vector propio para eso es . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \rho :\mathbb {Z} \to \mathrm {GL} _{2}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \rho (n)={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}^{n}={\begin{bmatrix}1&n\\0&1\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle W=\mathbb {C} \cdot {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}=W\oplus U}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}}$
• Consideremos un primo p , y el grupo , el cuerpo y la representación definida por . Cálculos simples muestran que solo hay un vector propio para aquí, por lo que, por el mismo argumento, la subrepresentación unidimensional de es única y no se puede descomponer en la suma directa de dos subrepresentaciones unidimensionales. ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle K=\mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle \rho :\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \to \mathrm {GL} _{2}(\mathbb {F} _{p})}$ ${\displaystyle \rho (n)={\begin{bmatrix}1&n\\0&1\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$

Notas

1. Maschke, Heinrich (22 de julio de 1898). "Ueber den arithmetischen Charakter der Coficienten der Substitutionen endlicher linearer Substitutionsgruppen" [Sobre el carácter aritmético de los coeficientes de las sustituciones de grupos de sustitución lineal finitos]. Matemáticas. Ana. (en alemán). 50 (4): 492–498. doi :10.1007/BF01444297. JFM  29.0114.03. SEÑOR  1511011.
2. Maschke, Heinrich (27 de julio de 1899). "Beweis des Satzes, dass diejenigen endlichen linearen Substitutionsgruppen, in welchen einige durchgehends verschwindende Coficienten auftreten, intransitiv sind" [Prueba del teorema de que aquellos grupos de sustitución lineal finitos, en los que aparecen algunos coeficientes que desaparecen por todas partes, son intransitivos]. Matemáticas. Ana. (en alemán). 52 (2–3): 363–368. doi :10.1007/BF01476165. JFM  30.0131.01. SEÑOR  1511061.
3. O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Heinrich Maschke", Archivo de Historia de las Matemáticas MacTutor , Universidad de St Andrews
4. Fulton y Harris 1991, Proposición 1.5.
5. Serre 1977, Teorema 1.
6. Fulton y Harris 1991, Corolario 1.6.
7. Serre 1977, Teorema 2.
8. De ello se deduce que cada módulo anterior es un módulo semisimple. ${\displaystyle K[G]}$
9. La afirmación inversa también es válida: si la característica del campo divide el orden del grupo (el caso modular ), entonces el álgebra de grupo no es semisimple.
10. Se puede calcular el número de sumandos, y resulta ser igual al número de clases de conjugación del grupo.
11. Hay que tener cuidado, ya que una representación puede descomponerse de forma diferente en distintos cuerpos: una representación puede ser irreducible en los números reales, pero no en los números complejos.
12. Serre 1977, Ejercicio 6.1.

Referencias

• Lang, Serge (8 de enero de 2002). Álgebra . Textos de posgrado en matemáticas , 211 (3.ª edición revisada). Nueva York: Springer-Verlag . ISBN. 978-0-387-95385-4.MR 1878556.Zbl 0984.00001  . ​
• Serre, Jean-Pierre (1977-09-01). Representaciones lineales de grupos finitos . Textos de posgrado en matemáticas , 42. Nueva York-Heidelberg: Springer-Verlag . ISBN. 978-0-387-90190-9.MR  0450380.Zbl 0355.20006  .​
• Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación. Un primer curso . Textos de posgrado en matemáticas , Lecturas en matemáticas. Vol. 129. Nueva York: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. Sr.  1153249. OCLC  246650103.