En álgebra , el objeto cero de una estructura algebraica dada es, en el sentido que se explica a continuación, el objeto más simple de dicha estructura. Como conjunto es un singleton , y como magma tiene una estructura trivial , que también es un grupo abeliano . La estructura del grupo abeliano antes mencionada se identifica habitualmente como adición , y el único elemento se denomina cero , por lo que el objeto en sí se denota típicamente como {0} . A menudo se hace referencia al objeto trivial (de una categoría específica ) ya que todo objeto trivial es isomorfo a cualquier otro (bajo un isomorfismo único).
Las instancias del objeto cero incluyen, entre otras, las siguientes:
Estos objetos se describen conjuntamente no sólo en función de la estructura común de singleton y grupo trivial, sino también debido a propiedades teóricas de categorías compartidas.
En los últimos tres casos la multiplicación escalar por un elemento del anillo (o campo) base se define como:
El más general de ellos, el módulo cero, es un módulo finitamente generado con un conjunto generador vacío .
Para las estructuras que requieren la estructura de multiplicación dentro del objeto cero, como el anillo trivial , solo hay una posible, 0 × 0 = 0 , porque no hay elementos distintos de cero. Esta estructura es asociativa y conmutativa . Un anillo R que tiene una identidad aditiva y multiplicativa es trivial si y solo si 1 = 0 , ya que esta igualdad implica que para todos los r dentro de R ,
En este caso es posible definir la división por cero , ya que el elemento único es su propio inverso multiplicativo. Algunas propiedades de {0} dependen de la definición exacta de la identidad multiplicativa; consulte el apartado Estructuras unitarias a continuación.
Cualquier álgebra trivial es también un anillo trivial. Un álgebra trivial sobre un cuerpo es simultáneamente un espacio vectorial cero considerado a continuación. Sobre un anillo conmutativo , un álgebra trivial es simultáneamente un módulo cero.
El anillo trivial es un ejemplo de un anillo trivial de cero cuadrado . Un álgebra trivial es un ejemplo de un álgebra cero .
La dimensión ceroEl espacio vectorial es un ejemplo especialmente ubicuo de un objeto cero, un espacio vectorial sobre un cuerpo con una base vacía . Por lo tanto, tiene dimensión cero. También es un grupo trivial sobre la suma y un módulo trivial mencionado anteriormente.
El anillo cero, el módulo cero y el espacio vectorial cero son los objetos cero de, respectivamente, la categoría de pseudoanillos , la categoría de módulos y la categoría de espacios vectoriales . Sin embargo, el anillo cero no es un objeto cero en la categoría de anillos , ya que no existe homomorfismo de anillo del anillo cero en ningún otro anillo.
El objeto cero, por definición, debe ser un objeto terminal, lo que significa que debe existir un morfismo A → {0} y ser único para un objeto arbitrario A . Este morfismo asigna cualquier elemento de A a 0 .
El objeto cero, también por definición, debe ser un objeto inicial, lo que significa que debe existir un morfismo {0} → A y que este sea único para un objeto arbitrario A . Este morfismo mapea 0 , el único elemento de {0} , al elemento cero 0 ∈ A , llamado vector cero en espacios vectoriales. Este mapeo es un monomorfismo y, por lo tanto, su imagen es isomorfa a {0} . Para módulos y espacios vectoriales, este subconjunto {0} ⊂ A es el único submódulo (o subespacio lineal de dimensión 0 ) generado por vacío en cada módulo (o espacio vectorial) A .
El objeto {0} es un objeto terminal de cualquier estructura algebraica en la que exista, como se describió en los ejemplos anteriores. Pero su existencia y, si existe, la propiedad de ser un objeto inicial (y, por lo tanto, un objeto cero en el sentido de la teoría de categorías ) dependen de la definición exacta de la identidad multiplicativa 1 en una estructura específica.
Si la definición de 1 requiere que 1 ≠ 0 , entonces el objeto {0} no puede existir porque puede contener solo un elemento. En particular, el anillo cero no es un cuerpo . Si los matemáticos a veces hablan de un cuerpo con un elemento , este objeto matemático abstracto y algo misterioso no es un cuerpo.
En las categorías donde la identidad multiplicativa debe ser preservada por morfismos, pero puede ser igual a cero, el objeto {0} puede existir. Pero no como objeto inicial porque no existen morfismos que preservan la identidad desde {0} hasta cualquier objeto donde 1 ≠ 0. Por ejemplo, en la categoría de anillos Ring el anillo de números enteros Z es el objeto inicial, no {0} .
Si una estructura algebraica requiere la identidad multiplicativa, pero ni su preservación por morfismos ni 1 ≠ 0 , entonces existen morfismos cero y la situación no es diferente de las estructuras no unitivas consideradas en la sección anterior.
Los espacios vectoriales cero y los módulos cero se denotan habitualmente con 0 (en lugar de {0} ). Este es siempre el caso cuando aparecen en una secuencia exacta .
