Escuchar la forma de un tambor

Los tambores matemáticamente ideales con membranas de estas dos formas diferentes (pero por lo demás idénticas) sonarían igual, porque las frecuencias propias son todas iguales, por lo que los espectros tímbricos contendrían los mismos armónicos. Este ejemplo fue construido por Gordon, Webb y Wolpert. Observa que ambos polígonos tienen la misma área y perímetro.

Escuchar la forma de un tambor es inferir información sobre la forma del parche a partir del sonido que produce, es decir, de la lista de armónicos , mediante el uso de la teoría matemática .

"¿Se puede oír la forma de un tambor?" es el título de un artículo de 1966 de Mark Kac en el American Mathematical Monthly que hizo famosa la pregunta, aunque esta frase en particular tiene su origen en Lipman Bers . Preguntas similares se remontan al físico Arthur Schuster en 1882. ^[1] Por su artículo, Kac recibió el premio Lester R. Ford en 1967 y el premio Chauvenet en 1968. ^[2]

Las frecuencias a las que puede vibrar un parche dependen de su forma. La ecuación de Helmholtz calcula las frecuencias si se conoce la forma. Estas frecuencias son los valores propios del Laplaciano en el espacio. Una cuestión central es si se puede predecir la forma si se conocen las frecuencias; por ejemplo, si se puede reconocer de esta manera un triángulo de Reuleaux . ^[3] Kac admitió que no sabía si era posible que dos formas diferentes produjeran el mismo conjunto de frecuencias. La pregunta de si las frecuencias determinan la forma fue finalmente respondida negativamente a principios de los años 90 por Gordon, Webb y Wolpert.

Declaración formal

Más formalmente, el tambor se concibe como una membrana elástica cuyos límites están fijados. Se representa como un dominio D en el plano . Denotemos por λ _n los valores propios de Dirichlet para D : es decir, los valores propios del problema de Dirichlet para el laplaciano :

${\displaystyle {\begin{cases}\Delta u+\lambda u=0\\u|_{\partial D}=0\end{cases}}}$

Se dice que dos dominios son isoespectrales (u homofónicos) si tienen los mismos valores propios. El término "homofónico" se justifica porque los valores propios de Dirichlet son precisamente los tonos fundamentales que el tambor es capaz de producir: aparecen naturalmente como coeficientes de Fourier en la ecuación de onda solución con límite fijado.

Por lo tanto, la pregunta puede reformularse como: ¿qué se puede inferir sobre D si sólo se conocen los valores de λ _n ? O, más específicamente: ¿hay dos dominios distintos que sean isoespectrales?

Se pueden formular problemas relacionados para el problema de Dirichlet para el laplaciano en dominios de dimensiones superiores o en variedades de Riemann , así como para otros operadores diferenciales elípticos como el operador de Cauchy-Riemann o el operador de Dirac . Se pueden imponer otras condiciones de frontera además de la condición de Dirichlet, como la condición de frontera de Neumann . Ver geometría espectral e isoespectral como artículos relacionados.

La respuesta

Familia de tambores isoespectrales de un parámetro

Modos propios y valores propios correspondientes del operador de Laplace en los dominios GWW

En 1964, John Milnor observó que un teorema sobre redes debido a Ernst Witt implicaba la existencia de un par de toros planos de 16 dimensiones que tienen los mismos valores propios pero formas diferentes. Sin embargo, el problema en dos dimensiones permaneció abierto hasta 1992, cuando Carolyn Gordon , David Webb y Scott Wolpert construyeron, basándose en el método Sunada , un par de regiones en el plano que tienen formas diferentes pero valores propios idénticos. Las regiones son polígonos cóncavos . La prueba de que ambas regiones tienen los mismos valores propios utiliza las simetrías del laplaciano. Esta idea ha sido generalizada por Buser, Conway, Doyle y Semmler ^[4], quienes construyeron numerosos ejemplos similares. Entonces, la respuesta a la pregunta de Kac es: para muchas formas, no se puede escuchar completamente la forma del tambor . Sin embargo, se puede inferir alguna información.

Por otro lado, Steve Zelditch demostró que la respuesta a la pregunta de Kac es positiva si se imponen restricciones a ciertas regiones planas convexas con límite analítico . No se sabe si dos dominios analíticos no convexos pueden tener los mismos valores propios. Se sabe que el conjunto de dominios isoespectrales con uno dado es compacto en la topología C ^∞ . Además, la esfera (por ejemplo) es espectralmente rígida, según el teorema de comparación de valores propios de Cheng . También se sabe, por resultado de Osgood, Phillips y Sarnak, que el espacio de módulos de las superficies de Riemann de un género determinado no admite un flujo isoespectral continuo a través de ningún punto y es compacto en la topología de Fréchet-Schwartz.

la fórmula de weyl

La fórmula de Weyl establece que se puede inferir el área A del tambor contando la rapidez con que crece λ _n . Definimos N ( R ) como el número de valores propios menores que R y obtenemos

${\displaystyle A=\omega _{d}^{-1}(2\pi )^{d}\lim _{R\to \infty }{\frac {N(R)}{R^{d/2}}},}$

donde d es la dimensión y es el volumen de la bola unitaria de d dimensiones. Weyl también conjeturó que el siguiente término en la siguiente aproximación daría el perímetro de D. En otras palabras, si L denota la longitud del perímetro (o el área de la superficie en una dimensión superior), entonces uno debería tener ${\displaystyle \omega _{d}}$

${\displaystyle N(R)=(2\pi )^{-d}\omega _{d}AR^{d/2}\mp {\frac {1}{4}}(2\pi )^{-d+1}\omega _{d-1}LR^{(d-1)/2}+o(R^{(d-1)/2}).}$

Para un límite suave, esto fue demostrado por Victor Ivrii en 1980. Tampoco se permite que la variedad tenga una familia de geodésicas periódicas de dos parámetros, como la que tendría una esfera.

La conjetura de Weyl-Berry

Para límites no suaves, Michael Berry conjeturó en 1979 que la corrección debería ser del orden de

${\displaystyle R^{D/2},}$

donde D es la dimensión de Hausdorff del límite. Esto fue refutado por J. Brossard y R. A. Carmona, quienes luego sugirieron que se debería reemplazar la dimensión de Hausdorff por la dimensión de la caja superior . En el plano, esto se demostró si el límite tiene dimensión 1 (1993), pero en su mayoría se refutó para dimensiones superiores (1996); ambos resultados son de Lapidus y Pomerance .

Ver también

• Triple Gassmann
• isoespectral
• Geometría espectral
• Vibraciones de una membrana circular.

Notas

1. Crowell, Rachel (28 de junio de 2022), "Los matemáticos están intentando 'escuchar' formas y alcanzar dimensiones más altas", Scientific American , consultado el 15 de noviembre de 2022
2. "¿Se puede oír la forma de un tambor? | Asociación Matemática de América"
3. Kac, Mark (abril de 1966), "¿Se puede oír la forma de un tambor?" (PDF) , American Mathematical Monthly , 73 (4, parte 2): 16, doi :10.2307/2313748, JSTOR  2313748
4. Buser y col. 1994.

Referencias

• Abikoff, William (enero de 1995), "Recordando a Lipman Bers" (PDF) , Avisos de la AMS , 42 (1): 8–18
• Brossard, Jean; Carmona, René (1986), "¿Se puede oír la dimensión de un fractal?", Comm. Matemáticas. Física. , 104 (1): 103–122, Bibcode :1986CMaPh.104..103B, doi :10.1007/BF01210795, S2CID  121173871
• Buser, Pedro ; Conway, Juan ; Doyle, Pedro; Semmler, Klaus-Dieter (1994), "Algunos dominios isoespectrales planos", Avisos internacionales de investigación en matemáticas , 1994 (9): 391–400, doi : 10.1155/S1073792894000437
• Chapman, SJ (1995), "Tambores que suenan igual", American Mathematical Monthly , 102 (febrero): 124–138, doi :10.2307/2975346, JSTOR  2975346
• Giraud, Olivier; Thas, Koen (2010), "Escuchar formas de tambores: aspectos matemáticos y físicos de la isospectralidad", Reviews of Modern Physics , 82 (3): 2213–2255, arXiv : 1101.1239 , Bibcode : 2010RvMP...82.2213G, doi : 10.1103/RevModPhys.82.2213, S2CID  119289493
• Gordon, Carolyn ; Webb, David (1996), "No se puede oír la forma de un tambor", American Scientist , 84 (enero-febrero): 46–55, Bibcode :1996AmSci..84...46G
• Gordon, C .; Webb, D .; Wolpert, S. (1992), "Dominios y superficies del plano isoespectral a través de orbifolds de Riemann", Inventiones Mathematicae , 110 (1): 1–22, Bibcode :1992InMat.110....1G, doi :10.1007/BF01231320, S2CID  122258115
• Ivrii, V. Ja. (1980), "El segundo término de las asintóticas espectrales para un operador de Laplace-Beltrami en variedades con límite", Funktsional. Anal. Yo Prilozhen , 14 (2): 25–34, doi :10.1007/BF01086550, S2CID  123935462(En ruso ).
• Kac, Mark (abril de 1966), "¿Se puede oír la forma de un tambor?" (PDF) , American Mathematical Monthly , 73 (4, parte 2): 1–23, doi :10.2307/2313748, JSTOR  2313748
• Lapidus, Michel L. (1991), "¿Se puede oír la forma de un tambor fractal? Resolución parcial de la conjetura de Weyl-Berry", Análisis geométrico y gráficos por computadora , Matemáticas. Ciencia. Res. Inst. Publicado, vol. 17, Nueva York: Springer, págs. 119-126, doi :10.1007/978-1-4613-9711-3_13, ISBN 978-1-4613-9713-7
• Lapidus, Michel L. (1993), "Vibraciones de tambores fractales, la hipótesis de Riemann , ondas en medios fractales y la conjetura de Weyl-Berry", en BD Sleeman; RJ Jarvis (eds.), Ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales, Vol IV, Proc. Duodécimo Intern. Conf. (Dundee, Escocia, Reino Unido, junio de 1992) , Pitman Research Notes in Math. Serie, vol. 289, Londres: Longman and Technical, págs. 126-209
• Lapidus, ML; van Frankenhuysen, M. (2000), Geometría fractal y teoría de números: dimensiones complejas de cadenas fractales y ceros de funciones zeta , Boston: Birkhauser. (La segunda edición revisada y ampliada aparecerá en 2005.)
• Lapidus, Michel L.; Pomerance, Carl (1993), "La función zeta de Riemann y la conjetura unidimensional de Weyl-Berry para tambores fractales" , Proc. Matemáticas de Londres. Soc. , Serie 3, 66 (1): 41–69, CiteSeerX  10.1.1.526.854 , doi :10.1112/plms/s3-66.1.41
• Lapidus, Michel L.; Pomerance, Carl (1996), "Contraejemplos de la conjetura modificada de Weyl-Berry sobre tambores fractales", Matemáticas. Proc. Filosofía de Cambridge. Soc. , 119 (1): 167–178, Bibcode :1996MPCPS.119..167L, doi :10.1017/S0305004100074053, S2CID  33567484
• Milnor, John (1964), "Valores propios del operador de Laplace en ciertas variedades", Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América , 51 (4): 542ff, Bibcode :1964PNAS...51..542M, doi : 10.1073/pnas.51.4.542 , PMC  300113 , PMID  16591156
• Sunada, T. (1985), "Coberturas riemannianas y variedades isoespectrales", Ann. de Matemáticas. , 2, 121 (1): 169–186, doi :10.2307/1971195, JSTOR  1971195
• Zelditch, S. (2000), "Determinación espectral de dominios analíticos del plano biejesimétrico", Análisis geométrico y funcional , 10 (3): 628–677, arXiv : math/9901005 , doi :10.1007/PL00001633, S2CID  16324240

enlaces externos

• Simulación que muestra soluciones de la ecuación de onda en dos tambores isoespectrales.
• Tambores isoespectrales de Toby Driscoll en la Universidad de Delaware
• Algunos dominios isoespectrales planos de Peter Buser, John Horton Conway , Peter Doyle y Klaus-Dieter Semmler
  • Representación 3D de la batería homofónica Buser-Conway-Doyle-Semmler
• Drums That Sound Alike de Ivars Peterson en el sitio web de la Mathematical Association of America
• Weisstein, Eric W. , "Múltiples isoespectrales", MathWorld
• Benguria, Rafael D. (2001) [1994], "Valor propio de Dirichlet", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press