Valor propio de Dirichlet

En matemáticas , los valores propios de Dirichlet son los modos fundamentales de vibración de un tambor idealizado con una forma dada. El problema de si se puede oír la forma de un tambor es: dados los valores propios de Dirichlet, ¿qué características de la forma del tambor se pueden deducir? Aquí se piensa en un "tambor" como una membrana elástica Ω, que se representa como un dominio plano cuyo límite es fijo. Los valores propios de Dirichlet se encuentran resolviendo el siguiente problema para una función desconocida u  ≠ 0 y un valor propio λ

Aquí Δ es el Laplaciano , que se da en coordenadas xy por

${\displaystyle \Delta u={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}.}$

El problema de valor de contorno ( 1 ) es el problema de Dirichlet para la ecuación de Helmholtz , y por lo tanto λ se conoce como un valor propio de Dirichlet para Ω. Los valores propios de Dirichlet se contrastan con los valores propios de Neumann: valores propios para el problema de Neumann correspondiente . El operador de Laplace Δ que aparece en ( 1 ) se conoce a menudo como el laplaciano de Dirichlet cuando se considera que solo acepta funciones u que satisfacen la condición de contorno de Dirichlet. De manera más general, en geometría espectral se considera ( 1 ) en una variedad con contorno Ω. Entonces Δ se toma como el operador de Laplace-Beltrami , también con condiciones de contorno de Dirichlet.

Se puede demostrar, utilizando el teorema espectral para operadores autoadjuntos compactos , que los espacios propios son de dimensión finita y que los valores propios de Dirichlet λ son reales, positivos y no tienen punto límite . Por lo tanto, se pueden ordenar en orden creciente:

${\displaystyle 0<\lambda _{1}\leq \lambda _{2}\leq \cdots ,\quad \lambda _{n}\to \infty ,}$

donde cada valor propio se cuenta de acuerdo con su multiplicidad geométrica. Los espacios propios son ortogonales en el espacio de funciones integrables al cuadrado , y consisten en funciones suaves . De hecho, el laplaciano de Dirichlet tiene una extensión continua de un operador desde el espacio de Sobolev hasta . Este operador es invertible, y su inverso es compacto y autoadjunto de modo que se puede aplicar el teorema espectral habitual para obtener los espacios propios de Δ y los recíprocos 1/λ de sus valores propios. ${\displaystyle H_{0}^{2}(\Omega )}$ ${\displaystyle L^{2}(\Omega )}$

Una de las herramientas principales en el estudio de los valores propios de Dirichlet es el principio de máximo-mínimo : el primer valor propio λ ₁ minimiza la energía de Dirichlet . Es decir,

${\displaystyle \lambda _{1}=\inf _{u\not =0}{\frac {\int _{\Omega }|\nabla u|^{2}}{\int _{\Omega }|u|^{2}}},}$

el ínfimo se toma sobre todos los u de soporte compacto que no se anulan de forma idéntica en Ω. Mediante un argumento de densidad , este ínfimo concuerda con el tomado sobre . Además, utilizando resultados del cálculo de variaciones análogos al teorema de Lax-Milgram , se puede demostrar que existe un minimizador en . De manera más general, se tiene ${\displaystyle u\in H_{0}^{1}(\Omega )}$ ${\displaystyle H_{0}^{1}(\Omega )}$

${\displaystyle \lambda _{k}=\sup \inf {\frac {\int _{\Omega }|\nabla u|^{2}}{\int _{\Omega }|u|^{2}}}}$

donde el supremo se toma sobre todas las ( k −1)-tuplas y el ínfimo sobre todas las u ortogonales a . ${\displaystyle \phi _{1},\dots ,\phi _{k-1}\in H_{0}^{1}(\Omega )}$ ${\displaystyle \phi _{i}}$

Aplicaciones

Fig.1. Límite en forma de espiral del dominio (azul), su fragmento (rojo) y 3 segmentos de un rayo (verde).

El laplaciano de Dirichlet puede surgir de varios problemas de física matemática ; puede referirse a modos de un tambor idealizado, pequeñas ondas en la superficie de un estanque idealizado, así como a un modo de una fibra óptica idealizada en la aproximación paraxial . La última aplicación es más práctica en relación con las fibras de doble revestimiento ; en tales fibras, es importante que la mayoría de los modos del laplaciano de Dirichlet llenen el dominio de manera uniforme, o que la mayoría de los rayos crucen el núcleo. La forma más pobre parece ser el dominio circularmente simétrico ^{[1] [2]} ,. ^{[3] Los modos de bombeo no deben evitar el núcleo activo utilizado en} amplificadores de fibra de doble revestimiento . El dominio en forma de espiral resulta ser especialmente eficiente para tal aplicación debido al comportamiento de los modos del laplaciano de Dirichlet . ^[4]

El teorema sobre el comportamiento en el límite del Laplaciano de Dirichlet es una analogía de la propiedad de los rayos en la óptica geométrica (Fig. 1); el momento angular de un rayo (verde) aumenta en cada reflexión desde la parte espiral del límite (azul), hasta que el rayo golpea el trozo (rojo); todos los rayos (excepto aquellos paralelos al eje óptico) visitan inevitablemente la región cercana al trozo para eliminar el exceso del momento angular. De manera similar, todos los modos del Laplaciano de Dirichlet tienen valores distintos de cero en la vecindad del trozo. El componente normal de la derivada del modo en el límite puede interpretarse como presión ; la presión integrada sobre la superficie da la fuerza . Como el modo es una solución en estado estacionario de la ecuación de propagación (con una dependencia trivial de la coordenada longitudinal), la fuerza total debería ser cero. De manera similar, el momento angular de la fuerza de presión también debería ser cero. Sin embargo, existe una prueba formal, que no se refiere a la analogía con el sistema físico. ^[4]

Véase también

• Desigualdad de Rayleigh-Faber-Krahn

Notas

1. S. Bedo; W. Luthy; HP Weber (1993). "El coeficiente de absorción efectivo en fibras de doble revestimiento". Optics Communications . 99 (5–6): 331–335. Bibcode :1993OptCo..99..331B. doi :10.1016/0030-4018(93)90338-6.
2. Leproux, P.; S. Fevrier; V. Doya; P. Roy; D. Pagnoux (2003). "Modelado y optimización de amplificadores de fibra de doble revestimiento utilizando propagación caótica de bombeo". Tecnología de fibra óptica . 7 (4): 324–339. Bibcode :2001OptFT...7..324L. doi :10.1006/ofte.2001.0361.
3. A. Liu; K. Ueda (1996). "Características de absorción de fibras de doble revestimiento circulares, descentradas y rectangulares". Optics Communications . 132 (5–6): 511–518. Bibcode :1996OptCo.132..511A. doi :10.1016/0030-4018(96)00368-9.
4. Kouznetsov, D.; Moloney, JV (2004). "Comportamiento en el límite de los modos del laplaciano de Dirichlet" (PDF) . Journal of Modern Optics . 51 (13): 1955–1962. Bibcode :2004JMOp...51.1955K. doi :10.1080/09500340408232504. S2CID  209833904.

Referencias

• Benguria, Rafael D. "Dirichlet Eigenvalue". Enciclopedia de Matemáticas . Springer . Consultado el 28 de octubre de 2021 .
• Chavel, Isaac (1984). Valores propios en la geometría de Riemann . Matemáticas aplicadas puras. Vol. 115. Academic Press. ISBN. 978-0-12-170640-1..
• Courant, Richard ; Hilbert, David (1962). Métodos de física matemática, volumen I . Wiley-Interscience..