La cúbica torcida es una variedad proyectiva , definida como la intersección de tres cuádricas . En coordenadas homogéneas en P 3 , la cúbica torcida es el subesquema cerrado definido por la desaparición de los tres polinomios homogéneos
Se puede comprobar que estas tres formas cuadráticas se desvanecen de forma idéntica cuando se utiliza la parametrización explícita anterior; es decir, se sustituye x 3 por X , y así sucesivamente.
Más fuertemente, el ideal homogéneo de la cúbica torcida C es generado por estos tres polinomios homogéneos de grado 2.
Propiedades
La cúbica torcida tiene las siguientes propiedades:
Es la intersección completa de la teoría de conjuntos de y , pero no una intersección completa de la teoría de esquemas o de la teoría de ideales; lo que significa que el ideal de la variedad no puede generarse con solo 2 polinomios; se necesita un mínimo de 3. (Un intento de usar solo dos polinomios hace que el ideal resultante no sea radical , ya que está en él, pero no es).
Cuatro puntos cualesquiera en C abarcan P 3 .
Dados seis puntos en P 3 sin cuatro coplanares, hay un único cúbico torcido que pasa por ellos.
La unión de las rectas tangente y secante (la variedad secante ) de una C cúbica torcida llena P 3 y las rectas son disjuntas por pares, excepto en puntos de la curva misma. De hecho, la unión de las rectas tangente y secante de cualquier curva algebraica suave no plana es tridimensional. Además, cualquier variedad algebraica suave con la propiedad de que cada subesquema de longitud cuatro abarca P 3 tiene la propiedad de que las rectas tangente y secante son disjuntas por pares, excepto en puntos de la variedad misma.
La proyección de C sobre un plano desde un punto en una línea tangente de C produce una cúspide cúspide .
La proyección desde un punto sobre una línea secante de C produce una cúbica nodal .
La proyección desde un punto en C produce una sección cónica .
Referencias
Harris, Joe (1992), Geometría algebraica: un primer curso , Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-97716-3.