Teoría K topológica

Rama de la topología algebraica

En matemáticas , la teoría K topológica es una rama de la topología algebraica . Fue fundada para estudiar los fibrados vectoriales en espacios topológicos , mediante ideas que ahora se reconocen como teoría K (general) y que fueron introducidas por Alexander Grothendieck . Los primeros trabajos sobre la teoría K topológica se deben a Michael Atiyah y Friedrich Hirzebruch .

Definiciones

Sea X un espacio de Hausdorff compacto y o . Entonces se define como el grupo de Grothendieck del monoide conmutativo de clases de isomorfismo de fibrados k -vectoriales de dimensión finita sobre X bajo la suma de Whitney . El producto tensorial de fibrados da a la teoría K una estructura de anillo conmutativo . Sin subíndices, normalmente denota una teoría K compleja , mientras que la teoría K real a veces se escribe como . El resto de la discusión se centra en la teoría K compleja . ${\displaystyle k=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle K_{k}(X)}$ ${\displaystyle K(X)}$ ${\displaystyle KO(X)}$

Como primer ejemplo, observemos que la teoría K de un punto son los números enteros. Esto se debe a que los fibrados vectoriales sobre un punto son triviales y, por lo tanto, se clasifican por su rango, y el grupo de Grothendieck de los números naturales son los números enteros.

También hay una versión reducida de la K -teoría, , definida para X un espacio puntiagudo compacto (cf. homología reducida ). Esta teoría reducida es intuitivamente K ( X ) módulo fibrados triviales . Se define como el grupo de clases de equivalencia estables de fibrados. Se dice que dos fibrados E y F son isomorfos de forma estable si hay fibrados triviales y , de modo que . Esta relación de equivalencia da como resultado un grupo ya que cada fibrado vectorial puede completarse en una fibrado trivial sumándolo con su complemento ortogonal. Alternativamente, puede definirse como el núcleo de la función inducida por la inclusión del punto base x ₀ en X . ${\displaystyle {\widetilde {K}}(X)}$ ${\displaystyle \varepsilon _{1}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{2}}$ ${\displaystyle E\oplus \varepsilon _{1}\cong F\oplus \varepsilon _{2}}$ ${\displaystyle {\widetilde {K}}(X)}$ ${\displaystyle K(X)\to K(x_{0})\cong \mathbb {Z} }$

La teoría K forma una teoría de cohomología multiplicativa (generalizada) de la siguiente manera: La secuencia exacta corta de un par de espacios puntiagudos ( X , A )

${\displaystyle {\widetilde {K}}(X/A)\to {\widetilde {K}}(X)\to {\widetilde {K}}(A)}$

se extiende a una secuencia larga y exacta

${\displaystyle \cdots \to {\widetilde {K}}(SX)\to {\widetilde {K}}(SA)\to {\widetilde {K}}(X/A)\to {\widetilde {K}}(X)\to {\widetilde {K}}(A).}$

Sea S ⁿ la n - ésima suspensión reducida de un espacio y luego definamos

${\displaystyle {\widetilde {K}}^{-n}(X):={\widetilde {K}}(S^{n}X),\qquad n\geq 0.}$

Se eligen índices negativos para que los mapas de colímites aumenten la dimensión.

A menudo es útil tener una versión sin reducir de estos grupos, simplemente definiendo:

${\displaystyle K^{-n}(X)={\widetilde {K}}^{-n}(X_{+}).}$

Aquí se encuentra con un punto base disjunto etiquetado como '+' adjunto. ^[1] ${\displaystyle X_{+}}$ ${\displaystyle X}$

Finalmente, el teorema de periodicidad de Bott , tal como se formula a continuación, extiende las teorías a los números enteros positivos.

Propiedades

• ${\displaystyle K^{n}}$(respectivamente, ) es un funtor contravariante de la categoría de homotopía de espacios (apuntados) a la categoría de anillos conmutativos. Así, por ejemplo, la teoría K sobre espacios contráctiles es siempre ${\displaystyle {\widetilde {K}}^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} .}$
• El espectro de la K -teoría es (con la topología discreta en ), es decir, donde [ , ] denota clases de homotopía puntiagudas y BU es el colimite de los espacios de clasificación de los grupos unitarios : De manera similar, para la K -teoría real , use BO . ${\displaystyle BU\times \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle K(X)\cong \left[X_{+},\mathbb {Z} \times BU\right],}$ ${\displaystyle BU(n)\cong \operatorname {Gr} \left(n,\mathbb {C} ^{\infty }\right).}$ $${\displaystyle {\widetilde {K}}(X)\cong [X,\mathbb {Z} \times BU].}$$
• Existe un homomorfismo de anillo natural , el carácter de Chern , tal que es un isomorfismo. ${\displaystyle K^{0}(X)\to H^{2*}(X,\mathbb {Q} ),}$ ${\displaystyle K^{0}(X)\otimes \mathbb {Q} \to H^{2*}(X,\mathbb {Q} )}$
• El equivalente de las operaciones de Steenrod en la K -teoría son las operaciones de Adams . Se pueden utilizar para definir clases características en la K -teoría topológica.
• El principio de división de la K -teoría topológica permite reducir enunciados sobre fibrados vectoriales arbitrarios a enunciados sobre sumas de fibrados lineales.
• El teorema de isomorfismo de Thom en la teoría K topológica es donde T ( E ) es el espacio de Thom del fibrado vectorial E sobre X . Esto se cumple siempre que E sea un fibrado de espín. $${\displaystyle K(X)\cong {\widetilde {K}}(T(E)),}$$
• La secuencia espectral de Atiyah-Hirzebruch permite el cálculo de grupos K a partir de grupos de cohomología ordinarios.
• La teoría K topológica se puede generalizar ampliamente a un funtor en C*-álgebras , véase teoría K de operadores y teoría KK .

Periodicidad de Bott

El fenómeno de la periodicidad que lleva el nombre de Raoul Bott (ver Teorema de periodicidad de Bott ) se puede formular de esta manera:

• ${\displaystyle K(X\times \mathbb {S} ^{2})=K(X)\otimes K(\mathbb {S} ^{2}),}$y donde H es la clase del fibrado tautológico en, es decir, la esfera de Riemann . ${\displaystyle K(\mathbb {S} ^{2})=\mathbb {Z} [H]/(H-1)^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}=\mathbb {P} ^{1}(\mathbb {C} ),}$
• ${\displaystyle {\widetilde {K}}^{n+2}(X)={\widetilde {K}}^{n}(X).}$
• ${\displaystyle \Omega ^{2}BU\cong BU\times \mathbb {Z} .}$

En la teoría K real hay una periodicidad similar, pero módulo 8.

Aplicaciones

La teoría K topológica se ha aplicado en la prueba de John Frank Adams del problema del “uno invariante de Hopf ” mediante operaciones de Adams . ^{[2] Adams también demostró un límite superior para el número de} campos vectoriales linealmente independientes en esferas . ^[3]

Personaje de Chern

Michael Atiyah y Friedrich Hirzebruch demostraron un teorema que relaciona la teoría K topológica de un complejo CW finito con su cohomología racional. En particular, demostraron que existe un homomorfismo ${\displaystyle X}$

${\displaystyle ch:K_{\text{top}}^{*}(X)\otimes \mathbb {Q} \to H^{*}(X;\mathbb {Q} )}$

de tal manera que

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{\text{top}}^{0}(X)\otimes \mathbb {Q} &\cong \bigoplus _{k}H^{2k}(X;\mathbb {Q} )\\K_{\text{top}}^{1}(X)\otimes \mathbb {Q} &\cong \bigoplus _{k}H^{2k+1}(X;\mathbb {Q} )\end{aligned}}}$

Existe un análogo algebraico que relaciona el grupo de Grothendieck de haces coherentes y el anillo de Chow de una variedad proyectiva suave . ${\displaystyle X}$

Véase también

• Secuencia espectral de Atiyah-Hirzebruch (herramienta computacional para encontrar grupos de la teoría K)
• Teoría KR
• Teorema del índice de Atiyah-Singer
• Teorema de Snaith
• Teoría K algebraica

Referencias

1. Hatcher. Fibrados vectoriales y teoría K (PDF) . p. 57 . Consultado el 27 de julio de 2017 .
2. Adams, John (1960). Sobre la no existencia de elementos del invariante de Hopf . Ann. Math. 72 1.
3. Adams, John (1962). "Campos vectoriales en esferas". Anales de Matemáticas . 75 (3): 603–632.

• Atiyah, Michael Francis (1989). Teoría K. Advanced Book Classics (2.ª edición). Addison-Wesley . ISBN. 978-0-201-09394-0.Señor 1043170  .
• Friedlander, Eric; Grayson, Daniel, eds. (2005). Handbook of K-Theory . Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . doi :10.1007/978-3-540-27855-9. ISBN 978-3-540-30436-4.Señor 2182598  .
• Karoubi, Max (1978). Teoría K: una introducción . Clásicos de las matemáticas. Springer-Verlag. doi :10.1007/978-3-540-79890-3. ISBN. 0-387-08090-2.
• Karoubi, Max (2006). "Teoría K. Una introducción elemental". arXiv : math/0602082 .
• Hatcher, Allen (2003). "Paquetes vectoriales y teoría K".
• Stykow, Maxim (2013). "Conexiones de la teoría K con la geometría y la topología".