En matemáticas , la conjetura de Atiyah es un término colectivo para una serie de afirmaciones sobre restricciones sobre los posibles valores de los números -Betti .
En 1976, Michael Atiyah introdujo la -cohomología de variedades con una acción co-compacta libre de un grupo contable discreto (por ejemplo, la cobertura universal de una variedad compacta junto con la acción del grupo fundamental mediante transformaciones de mazos ). Atiyah definió también los números de -Betti como dimensiones de von Neumann de los grupos de -cohomología resultantes , y calculó varios ejemplos, que resultaron ser todos números racionales . Por lo tanto, preguntó si es posible que los números de -Betti sean irracionales .
Desde entonces, varios investigadores han planteado preguntas más refinadas sobre los posibles valores de los números -Betti, todas ellas conocidas habitualmente como "conjetura de Atiyah".
Peter Linnell demostró muchos resultados positivos. Por ejemplo, si el grupo que actúa es un grupo libre , entonces los números de Betti son números enteros .
La pregunta más general abierta a finales de 2011 es si los números de Betti son racionales si existe un límite en los órdenes de los subgrupos finitos del grupo que actúa. De hecho, se conjetura una relación precisa entre los posibles denominadores y los órdenes en cuestión ; en el caso de los grupos sin torsión , esta afirmación generaliza la conjetura de los divisores cero . Para una discusión, véase el artículo de B. Eckmann.
En el caso de que no exista tal límite, Tim Austin demostró en 2009 que los números de -Betti pueden asumir valores trascendentales . Más tarde se demostró que en ese caso pueden ser cualesquiera números reales no negativos .
