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Michael J. Hopkins

Michael Jerome Hopkins (nacido el 18 de abril de 1958) es un matemático estadounidense conocido por su trabajo en topología algebraica .

Vida

Recibió su doctorado de la Universidad Northwestern en 1984 bajo la dirección de Mark Mahowald , con la tesis Stable Decompositions of Certain Loop Spaces . [1] También en 1984 recibió su D.Phil. de la Universidad de Oxford bajo la supervisión de Ioan James . Ha sido profesor de matemáticas en la Universidad de Harvard desde 2005, después de quince años en el Instituto Tecnológico de Massachusetts , algunos años de docencia en la Universidad de Princeton , un puesto de un año en la Universidad de Chicago y un puesto de profesor visitante en la Universidad de Lehigh .

Trabajar

El trabajo de Hopkins se centra en la topología algebraica, especialmente en la teoría de la homotopía estable . Se puede dividir en cuatro partes (aunque la lista de temas que figura a continuación no es exhaustiva):

Las conjeturas de Ravenel

Las conjeturas de Ravenel dicen, en términos muy generales: el cobordismo complejo (y sus variantes) ve más en la categoría de homotopía estable de lo que se podría pensar. Por ejemplo, la conjetura de nilpotencia establece que alguna suspensión de alguna iteración de una función entre complejos CW finitos es nula-homotópica si y solo si es cero en el cobordismo complejo. Esto fue demostrado por Ethan Devinatz, Hopkins y Jeff Smith (publicado en 1988). [2] El resto de las conjeturas de Ravenel (excepto la conjetura del telescopio) fueron demostradas por Hopkins y Smith poco después (publicado en 1998). [3] Otro resultado en este espíritu demostrado por Hopkins y Douglas Ravenel es el teorema de convergencia cromática, que establece que se puede recuperar un complejo CW finito a partir de sus localizaciones con respecto a cuñas de las K-teorías de Morava .

Teorema de Hopkins-Miller y formas modulares topológicas

Esta parte del trabajo trata de refinar un diagrama conmutativo de homotopía de espectros de anillos hasta la homotopía a un diagrama estrictamente conmutativo de espectros de anillos altamente estructurados . El primer éxito de este programa fue el teorema de Hopkins-Miller: Se trata de la acción del grupo estabilizador de Morava en los espectros de Lubin-Tate (que surgen de la teoría de deformación de las leyes de grupos formales ) y su refinamiento a espectros de anillos - esto permitió tomar puntos fijos de homotopía de subgrupos finitos de los grupos estabilizadores de Morava, lo que condujo a teorías K reales superiores . Junto con Paul Goerss, Hopkins estableció posteriormente una teoría de obstrucción sistemática para refinamientos a espectros de anillos. [4] Esto se utilizó más tarde en la construcción de Hopkins-Miller de formas modulares topológicas . [5] El trabajo posterior de Hopkins sobre este tema incluye artículos sobre la cuestión de la orientabilidad de TMF con respecto al cobordismo de cuerdas (trabajo conjunto con Ando, ​​Strickland y Rezk). [6] [7]

El problema del invariante de Kervaire

El 21 de abril de 2009, Hopkins anunció la solución del problema invariante de Kervaire , en un trabajo conjunto con Mike Hill y Douglas Ravenel . [8] Este problema está relacionado con el estudio de las esferas exóticas , pero se transformó gracias al trabajo de William Browder en un problema de teoría de homotopía estable. La prueba de Hill, Hopkins y Ravenel funciona puramente en el contexto de la homotopía estable y utiliza la teoría de homotopía equivariante de manera crucial. [9]

Trabajo relacionado con la geometría/física

Esto incluye artículos sobre la teoría K suave y retorcida y su relación con los grupos de bucles [10] y también trabajos sobre teorías de campos topológicos (extendidos) , [11] en conjunto con Daniel Freed , Jacob Lurie y Constantin Teleman.

Reconocimiento

Pronunció discursos como invitado en la Reunión de Invierno de 1990 de la Sociedad Matemática Americana en Louisville, Kentucky, en el Congreso Internacional de Matemáticos de 1994 en Zúrich, [12] y fue orador plenario en el Congreso Internacional de Matemáticos de 2002 en Beijing. [13] Presentó las Conferencias Everett Pitcher de 1994 en la Universidad de Lehigh, las Conferencias Namboodiri de 2000 en la Universidad de Chicago, las Conferencias Marston Morse Memorial de 2000 en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, las Conferencias Ritt de 2003 en la Universidad de Columbia y las Conferencias Bowen de 2010 en Berkeley. En 2001 recibió el Premio Oswald Veblen en Geometría de la AMS por su trabajo en teoría de homotopía , [14] [15] en 2012 el Premio NAS en Matemáticas , en 2014 el Premio Senior Berwick y también en 2014 el Premio Nemmers en Matemáticas . Fue nombrado miembro de la clase de 2021 de miembros de la American Mathematical Society "por contribuciones a la topología algebraica y áreas relacionadas de geometría algebraica, teoría de la representación y física matemática". [16] En 2022 recibió por segunda vez el Premio Oswald Veblen en Geometría . [17]

Notas

  1. ^ Michael J. Hopkins en el Proyecto de Genealogía Matemática
  2. ^ Devinatz, Ethan S.; Hopkins, Michael J.; Smith, Jeffrey H. (1988), "Nilpotencia y teoría de homotopía estable I", Anales de Matemáticas , 128 (2): 207–241, doi :10.2307/1971440, JSTOR  1971440, MR  0960945
  3. ^ Hopkins, Michael J.; Smith, Jeffrey H. (1998), "Nilpotencia y teoría de homotopía estable II", Anales de Matemáticas , 148 (1): 1–49, CiteSeerX 10.1.1.568.9148 , doi :10.2307/120991, JSTOR  120991 
  4. ^ Espacios de módulos de espectros de anillos conmutativos (PDF)
  5. ^ Goerss – Formas modulares topológicas (PDF)
  6. ^ Ando, ​​Matthew; Hopkins, Michael J.; Strickland, Neil P. (2001), "Espectros elípticos, el género Witten y el teorema del cubo", Inventiones Mathematicae , 146 (3): 595, Bibcode :2001InMat.146..595A, CiteSeerX 10.1.1.136.5083 , doi :10.1007/s002220100175, S2CID  119932563 
  7. ^ Orientaciones multiplicativas de la teoría KO y del espectro de formas modulares topológicas , CiteSeerX 10.1.1.128.1530 
  8. ^ Geometría y Física: Atiyah80
  9. ^ Hill, Michael A; Hopkins, Michael J; Ravenel, Douglas C (2009), "Sobre la no existencia de elementos del invariante uno de Kervaire", arXiv : 0908.3724 [math.AT]
  10. ^ Freed, Daniel S.; Hopkins, Michael J.; Teleman, Constantin (2003), "Teoría K retorcida y representaciones de grupos de bucles", arXiv : math/0312155
  11. ^ Freed, Daniel S .; Hopkins, Michael J.; Lurie, Jacob ; Teleman, Constantin (2010), "Teorías topológicas de campos cuánticos a partir de grupos de Lie compactos", Una celebración del legado matemático de Raoul Bott , CRM Proc. Lecture Notes, vol. 50, Providence, RI: American Mathematical Society, págs. 367–403, arXiv : 0905.0731 , MR  2648901
  12. ^ Hopkins, MJ (1994). "Formas modulares topológicas, el género Witten y el teorema del cubo" (PDF) .En: Actas del Congreso Internacional de Matemáticos, Zúrich, Suiza 1994. Vol. 1. págs. 554–565.
  13. ^ Hopkins, MJ (2002). "Topología algebraica y formas modulares". Actas del ICM, Pekín . 1 : 283–309. arXiv : math/0212397 . Bibcode :2002math.....12397H.
  14. ^ Mike Hopkins – Reseña biográfica (PDF)
  15. ^ Premio Veblen 2001 (PDF)
  16. ^ Clase de 2021 de miembros de la AMS, American Mathematical Society , consultado el 2 de noviembre de 2020
  17. ^ Premio Oswald Veblen de Geometría 2022

Enlaces externos