Invariante de Kervaire

En matemáticas, el invariante de Kervaire es un invariante de una variedad de dimensión enmarcada que mide si la variedad podría convertirse quirúrgicamente en una esfera. Este invariante evalúa a 0 si la variedad puede convertirse en una esfera y a 1 en caso contrario. Este invariante recibió su nombre en honor a Michel Kervaire, quien se basó en el trabajo de Cahit Arf . ${\displaystyle (4k+2)}$

El invariante de Kervaire se define como el invariante de Arf de la forma anticuadrática en el grupo de homología de dimensión media . Se puede considerar como el grupo L cuadrático simplemente conexo , y por lo tanto análogo a los otros invariantes de la teoría L: la signatura , un invariante -dimensional (simétrico o cuadrático, ), y el invariante de De Rham , un invariante simétrico -dimensional . ${\displaystyle L_{4k+2}}$ ${\displaystyle 4k}$ ${\displaystyle L^{4k}\cong L_{4k}}$ ${\displaystyle (4k+1)}$ ${\displaystyle L^{4k+1}}$

En cualquier dimensión dada, sólo hay dos posibilidades: o todas las variedades tienen invariante Arf–Kervaire igual a 0, o la mitad tiene invariante Arf–Kervaire 0 y la otra mitad tiene invariante Arf–Kervaire 1.

El problema del invariante de Kervaire es el problema de determinar en qué dimensiones el invariante de Kervaire puede ser distinto de cero. Para variedades diferenciables , esto puede suceder en las dimensiones 2, 6, 14, 30, 62 y posiblemente 126, y en ninguna otra dimensión. El 30 de mayo de 2024, Zhouli Xu (en colaboración con Weinan Lin y Guozhen Wang), anunció durante un seminario en la Universidad de Princeton que el caso final de dimensión 126 se había resuelto. Xu afirmó que sobrevive de modo que existe una variedad de invariante de Kervaire 1 en dimensión 126. Xu, Zhouli (30 de mayo de 2024). "Computing Differentials in the Adams spectral sequence". ${\displaystyle h_{6}^{2}}$. (https://www.math.princeton.edu/events/computing- Differentials-adams-spectral-sequence-2024-05-30t170000)

Definición

El invariante de Kervaire es el invariante de Arf de la forma cuadrática determinada por el encuadre en el grupo de homología de coeficientes de dimensión media. ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

${\displaystyle q\colon H_{2m+1}(M;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\to \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,}$

y por eso a veces se la llama invariante de Arf–Kervaire . La forma cuadrática (propiamente, forma cuadrática antihoraria ) es un refinamiento cuadrático de la forma ε-simétrica habitual en la homología de dimensión media de una variedad de dimensión par (sin marco); el marco produce el refinamiento cuadrático.

La forma cuadrática q se puede definir mediante topología algebraica utilizando cuadrados de Steenrod funcionales , y geométricamente a través de las autointersecciones de inmersiones determinadas por el encuadre, o por la trivialidad/no trivialidad de los fibrados normales de incrustaciones (para ) y el invariante de Hopf módulo 2 de mapas (para ). ${\displaystyle S^{2m+1}}$ ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle M^{4m+2}}$ ${\displaystyle S^{2m+1}}$ ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle M^{4m+2}}$ ${\displaystyle m\neq 0,1,3}$ ${\displaystyle S^{4m+2+k}\to S^{2m+1+k}}$ ${\displaystyle m=0,1,3}$

Historia

El invariante de Kervaire es una generalización del invariante de Arf de una superficie enmarcada (es decir, una variedad bidimensional con un fibrado tangente trivializado de manera estable) que fue utilizado por Lev Pontryagin en 1950 para calcular el grupo de homotopía de mapas (para ), que es el grupo de cobordismo de superficies incrustadas en un fibrado normal trivializado. ${\displaystyle \pi _{n+2}(S^{n})=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle S^{n+2}}$ ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle S^{n+2}}$

Kervaire (1960) utilizó su invariante para n  = 10 para construir la variedad de Kervaire , una variedad PL de 10 dimensiones sin estructura diferenciable , el primer ejemplo de dicha variedad, al mostrar que su invariante no se desvanece en esta variedad PL, sino que se desvanece en todas las variedades suaves de dimensión 10.

Kervaire y Milnor (1963) calculan el grupo de esferas exóticas (de dimensión mayor que 4), con un paso en el cálculo que depende del problema invariante de Kervaire. Específicamente, muestran que el conjunto de esferas exóticas de dimensión n – específicamente el monoide de estructuras suaves en la n -esfera estándar – es isomorfo al grupo de clases de h -cobordismo de homotopía orientada n -esferas . Calculan esto último en términos de una función ${\displaystyle \Theta _{n}}$

${\displaystyle \Theta _{n}/bP_{n+1}\to \pi _{n}^{S}/J,\,}$

donde es el subgrupo cíclico de n -esferas que limitan una variedad paralelizable de dimensión , es el n -ésimo grupo de homotopía estable de esferas , y J es la imagen del J-homomorfismo , que también es un grupo cíclico. Los grupos y tienen factores cíclicos fácilmente comprensibles, que son triviales o de orden dos excepto en dimensión , en cuyo caso son grandes, con orden relacionado con los números de Bernoulli . Los cocientes son las partes difíciles de los grupos. La función entre estos grupos de cocientes es un isomorfismo o es inyectiva y tiene una imagen de índice 2. Es esto último si y solo si hay una variedad enmarcada n -dimensional de invariante de Kervaire distinto de cero, y por lo tanto la clasificación de esferas exóticas depende hasta un factor de 2 del problema del invariante de Kervaire. ${\displaystyle bP_{n+1}}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle \pi _{n}^{S}}$ ${\displaystyle bP_{n+1}}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle n=4k+3}$

Ejemplos

Para el toro embebido estándar , la forma antisimétrica viene dada por (con respecto a la base simpléctica estándar ), y el refinamiento anticuadrático viene dado por con respecto a esta base: : las curvas de base no se autoenlazan; y : a (1,1) se autoenlaza, como en la fibración de Hopf . Por lo tanto, esta forma tiene un invariante de Arf 0 (la mayoría de sus elementos tienen norma 0; tiene índice de isotropía 1) y, por lo tanto, el toro embebido estándar tiene un invariante de Kervaire 0. ${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle Q(1,0)=Q(0,1)=0}$ ${\displaystyle Q(1,1)=1}$

Problema invariante de Kervaire

La cuestión de en qué dimensiones n hay variedades enmarcadas n -dimensionales de invariante de Kervaire distinto de cero se llama problema del invariante de Kervaire . Esto solo es posible si n es 2 módulo 4, y de hecho uno debe tener n de la forma (dos menos que una potencia de dos). La cuestión está casi completamente resuelta: hay variedades con invariante de Kervaire distinto de cero en dimensión 2, 6, 14, 30, 62, y ninguna en todas las demás dimensiones excepto posiblemente 126. Sin embargo, Zhouli Xu (en colaboración con Weinan Lin y Guozhen Wang) anunció el 30 de mayo de 2024 que existe una variedad con invariante de Kervaire distinto de cero en dimensión 126. ${\displaystyle 2^{k}-2}$

Los principales resultados son los de William Browder  (1969), quien redujo el problema de la topología diferencial a la teoría de homotopía estable y mostró que las únicas dimensiones posibles son , y los de Michael A. Hill, Michael J. Hopkins y Douglas C. Ravenel  (2016), quienes mostraron que no existían tales variedades para ( ). Junto con las construcciones explícitas para dimensiones inferiores (hasta 62), esto deja abierta solo la dimensión 126. ${\displaystyle 2^{k}-2}$ ${\displaystyle k\geq 8}$ ${\displaystyle n\geq 254}$

Michael Atiyah conjeturó que existe tal variedad en dimensión 126, y que las variedades de dimensiones superiores con invariante de Kervaire distinto de cero están relacionadas con variedades exóticas bien conocidas de dos dimensiones superiores, en dimensiones 16, 32, 64 y 128, a saber, el plano proyectivo de Cayley (dimensión 16, plano proyectivo octoniónico) y los planos proyectivos análogos de Rosenfeld (el plano proyectivo bio-octoniónico en dimensión 32, el plano proyectivo cuateroctoniónico en dimensión 64 y el plano proyectivo octo-octoniónico en dimensión 128), específicamente que existe una construcción que toma estos planos proyectivos y produce una variedad con invariante de Kervaire distinto de cero en dos dimensiones inferiores. ^[1] ${\displaystyle \mathbf {O} P^{2}}$

Historia

• Kervaire (1960) demostró que el invariante de Kervaire es cero para variedades de dimensión 10, 18
• Kervaire y Milnor (1963) demostraron que el invariante de Kervaire puede ser distinto de cero para variedades de dimensión 6, 14
• Anderson, Brown y Peterson (1966) demostraron que el invariante de Kervaire es cero para variedades de dimensión 8 n +2 para n >1
• Mahowald y Tangora (1967) demostraron que el invariante de Kervaire puede ser distinto de cero para variedades de dimensión 30.
• Browder (1969) demostró que el invariante de Kervaire es cero para variedades de dimensión n no de la forma 2 ^k  −  2 .
• Barratt, Jones y Mahowald (1984) demostraron que el invariante de Kervaire es distinto de cero para alguna variedad de dimensión 62. Una prueba alternativa fue dada posteriormente por Xu (2016).
• Hill, Hopkins y Ravenel (2016) demostraron que el invariante de Kervaire es cero para variedades enmarcadas n -dimensionales para n = 2 ^k − 2 con k ≥ 8. Construyeron una teoría de cohomología Ω con las siguientes propiedades de las cuales su resultado se desprende inmediatamente:
  • Los grupos de coeficientes Ω ⁿ (punto) tienen período 2 ⁸  = 256 en n
  • Los grupos de coeficientes Ω ⁿ (punto) tienen un "hueco": desaparecen para n = -1, -2 y -3
  • Los grupos de coeficientes Ω ⁿ (punto) pueden detectar invariantes de Kervaire no nulos: más precisamente, si el invariante de Kervaire para variedades de dimensión n es distinto de cero, entonces tiene una imagen distinta de cero en Ω ^{− n} (punto).

Invariante de Kervaire-Milnor

El invariante de Kervaire–Milnor es un invariante estrechamente relacionado de la cirugía enmarcada de una variedad enmarcada de 2, 6 o 14 dimensiones, que da isomorfismos del 2º y 6º grupo de homotopía estable de esferas a , y un homomorfismo del 14º grupo de homotopía estable de esferas sobre . Para n = 2, 6, 14 hay un enmarcado exótico en con el invariante de Kervaire–Milnor 1. ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle S^{n/2}\times S^{n/2}}$

Véase también

• Firma , un invariante de 4 k -dimensional
• Invariante de De Rham , un invariante de dimensión (4 k  + 1)

Referencias

1. Comentario de André Henriques 1 de julio de 2012 a las 19:26, sobre "Invariante de Kervaire: ¿Por qué la dimensión 126 es especialmente difícil?", MathOverflow

• Anderson, Donald W.; Brown, Edgar H. Jr.; Peterson, Franklin P. (enero de 1966). "SU-corbodismo, números característicos de KO y el invariante de Kervaire". Anales de Matemáticas . Segunda serie. 83 (1). Departamento de Matemáticas, Universidad de Princeton: 54–67. doi :10.2307/1970470. JSTOR  1970470.
• Barratt, Michael G.; Jones, JDS; Mahowald, Mark E. (1984). "Relaciones entre los corchetes de Toda y el invariante de Kervaire en dimensión 62". Revista de la Sociedad Matemática de Londres . 2. 30 (3): 533–550. CiteSeerX  10.1.1.212.1163 . doi :10.1112/jlms/s2-30.3.533. MR  0810962.
• Browder, William (1969). "El invariante de Kervaire de variedades enmarcadas y su generalización". Anales de Matemáticas . 90 (1): 157–186. doi :10.2307/1970686. JSTOR  1970686.
• Browder, William (1972), Cirugía en variedades simplemente conectadas , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , vol. 65, Nueva York-Heidelberg: Springer, págs. ix+132, ISBN 978-0-387-05629-6, Sr.  0358813
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• Snaith, Victor P. (2009), Homotopía estable alrededor del invariante de Arf-Kervaire , Progress in Mathematics, vol. 273, Birkhäuser Verlag, doi :10.1007/978-3-7643-9904-7, ISBN 978-3-7643-9903-0, Sr.  2498881
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• Xu, Zhouli (2016), "El problema del invariante fuerte de Kervaire en dimensión 62", Geometry & Topology , 20 (3): 1611–1624, arXiv : 1410.6199 , doi :10.2140/gt.2016.20.1611, MR  3523064

Enlaces externos

• Diapositivas y vídeo de la conferencia de Hopkins en Edimburgo, 21 de abril de 2009
• Página de inicio de Arf-Kervaire de Doug Ravenel
• Seminario de verano de Harvard-MIT sobre el invariante de Kervaire
• 'El problema de la invariancia de Kervaire' resuelto, 23 de abril de 2009, entrada de blog de John Baez y debate en The n-Category Café
• Esferas exóticas en el atlas múltiple

Noticias populares

• Hypersphere Exotica: ¡El problema de las invariantes de Kervaire tiene solución! Un problema de hace 45 años sobre esferas de dimensiones superiores se ha resuelto, probablemente, por Davide Castelvecchi, agosto de 2009 Scientific American
• Ball, Philip (2009). "Resuelto el enigma oculto de las formas". Nature . doi :10.1038/news.2009.427.
• Los matemáticos resuelven un rompecabezas de invariantes de Kervaire de 45 años de antigüedad, Erica Klarreich, 20 de julio de 2009