Invariante de Arf

El Arf y una fórmula para el invariante del Arf aparecen en el reverso del billete de 10 liras turcas de 2009.

En matemáticas , el invariante de Arf de una forma cuadrática no singular sobre un cuerpo de característica  2 fue definido por el matemático turco Cahit Arf  (1941) cuando comenzó el estudio sistemático de formas cuadráticas sobre cuerpos arbitrarios de característica 2. El invariante de Arf es el sustituto, en característica 2, del discriminante para formas cuadráticas en característica no 2. Arf utilizó su invariante, entre otros, en su esfuerzo por clasificar formas cuadráticas en característica 2.

En el caso especial del cuerpo de 2 elementos F 2 el invariante Arf puede describirse como el elemento de F ₂ que aparece con mayor frecuencia entre los valores de la forma. Dos formas cuadráticas no singulares sobre F ₂ son isomorfas si y solo si tienen la misma dimensión y el mismo invariante Arf. Este hecho era esencialmente conocido por Leonard Dickson  (1901), incluso para cualquier cuerpo finito de característica 2, y Arf lo demostró para un cuerpo perfecto arbitrario .

El invariante Arf se aplica particularmente en topología geométrica , donde se usa principalmente para definir un invariante de variedades (4k + 2) -dimensionales ( variedades de dimensión par simple : superficies (variedades de 2), variedades de 6, variedades de 10, etc.) con cierta estructura adicional llamada encuadre , y por lo tanto el invariante Arf–Kervaire y el invariante Arf de un nudo . El invariante Arf es análogo a la firma de una variedad , que se define para variedades de 4k-dimensionales ( doblemente pares ); esta periodicidad de 4 veces corresponde a la periodicidad de 4 veces de la teoría L. El invariante Arf también se puede definir de forma más general para ciertas variedades de 2 k -dimensionales.

Definiciones

El invariante Arf se define para una forma cuadrática q sobre un cuerpo K de característica 2 tal que q es no singular, en el sentido de que la forma bilineal asociada es no degenerada . La forma es alternante ya que K tiene característica 2; se deduce que una forma cuadrática no singular en característica 2 debe tener dimensión par. Cualquier forma cuadrática no singular binaria (bidimensional) sobre K es equivalente a una forma con en K . El invariante Arf se define como el producto . Si la forma es equivalente a , entonces los productos y difieren en un elemento de la forma con en K . Estos elementos forman un subgrupo aditivo U de K . Por lo tanto, la clase lateral de módulo U es un invariante de , lo que significa que no cambia cuando se reemplaza por una forma equivalente. ${\displaystyle b(u,v)=q(u+v)-q(u)-q(v)}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle q(x,y)=ax^{2}+xy+by^{2}}$ ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle ab}$ ${\displaystyle q'(x,y)=a'x^{2}+xy+b'y^{2}}$ ${\displaystyle q(x,y)}$ ${\displaystyle ab}$ ${\displaystyle a'b'}$ ${\displaystyle u^{2}+u}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle ab}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$

Toda forma cuadrática no singular sobre K es equivalente a una suma directa de formas binarias no singulares. Esto fue demostrado por Arf, pero Dickson lo había observado antes en el caso de cuerpos finitos de característica 2. El invariante Arf Arf( ) se define como la suma de los invariantes Arf de . Por definición, este es un conjunto lateral de K módulo U . Arf ^[1] demostró que de hecho no cambia si se reemplaza por una forma cuadrática equivalente, es decir, que es un invariante de . ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q=q_{1}+\cdots +q_{r}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle \operatorname {Arf} (q)}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$

El invariante Arf es aditivo; en otras palabras, el invariante Arf de una suma ortogonal de dos formas cuadráticas es la suma de sus invariantes Arf.

Para un cuerpo K de característica 2, la teoría de Artin-Schreier identifica el grupo cociente de K por el subgrupo U anterior con el grupo de cohomología de Galois H ¹ ( K , F ₂ ). En otras palabras, los elementos distintos de cero de K / U están en correspondencia biunívoca con los cuerpos de extensión cuadráticos separables de K . Por lo tanto, el invariante Arf de una forma cuadrática no singular sobre K es cero o describe un cuerpo de extensión cuadrático separable de K . Esto es análogo al discriminante de una forma cuadrática no singular sobre un cuerpo F de característica distinta de 2. En ese caso, el discriminante toma valores en F ^* /( F ^* ) ² , que pueden identificarse con H ¹ ( F , F ₂ ) por la teoría de Kummer .

Principales resultados de Arf

Si el cuerpo K es perfecto, entonces cada forma cuadrática no singular sobre K está determinada de manera única (hasta la equivalencia) por su dimensión y su invariante Arf. En particular, esto se cumple sobre el cuerpo F ₂ . En este caso, el subgrupo U anterior es cero y, por lo tanto, el invariante Arf es un elemento del cuerpo base F ₂ ; es 0 o 1.

Si el cuerpo K de característica 2 no es perfecto (es decir, K es diferente de su subcuerpo K ² de cuadrados), entonces el álgebra de Clifford es otro invariante importante de una forma cuadrática. Una versión corregida del enunciado original de Arf es que si el grado [ K : K ² ] es como máximo 2, entonces toda forma cuadrática sobre K está completamente caracterizada por su dimensión, su invariante de Arf y su álgebra de Clifford. ^[2] Ejemplos de tales campos son los campos de funciones (o campos de series de potencias ) de una variable sobre campos base perfectos.

Formas cuadráticas sobre F2

Sobre F ₂ , el invariante Arf es 0 si la forma cuadrática es equivalente a una suma directa de copias de la forma binaria , y es 1 si la forma es una suma directa de con un número de copias de . ${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle x^{2}+xy+y^{2}}$ ${\displaystyle xy}$

William Browder ha llamado al invariante Arf el invariante democrático ^[3] porque es el valor que se asume con más frecuencia por la forma cuadrática. ^[4] Otra caracterización: q tiene Arf invariante 0 si y solo si el espacio vectorial subyacente de 2 k -dimensional sobre el cuerpo F ₂ tiene un subespacio de k -dimensional en el que q es idénticamente 0 – es decir, un subespacio totalmente isótropo de la mitad de la dimensión. En otras palabras, una forma cuadrática no singular de dimensión 2 k tiene Arf invariante 0 si y solo si su índice de isotropía es k (esta es la dimensión máxima de un subespacio totalmente isótropo de una forma no singular).

El invariante Arf en topología

Sea M una variedad compacta , conexa , de 2 k dimensiones, con un límite tal que los morfismos inducidos en homología de coeficientes ${\displaystyle \partial M}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

${\displaystyle H_{k}(M,\partial M;\mathbb {Z} _{2})\to H_{k-1}(\partial M;\mathbb {Z} _{2}),\quad H_{k}(\partial M;\mathbb {Z} _{2})\to H_{k}(M;\mathbb {Z} _{2})}$

son ambos cero (por ejemplo, si es cerrado). La forma de intersección ${\displaystyle M}$

${\displaystyle \lambda :H_{k}(M;\mathbb {Z} _{2})\times H_{k}(M;\mathbb {Z} _{2})\to \mathbb {Z} _{2}}$

no es singular. (Los topólogos suelen escribir F ₂ como ). Un refinamiento cuadrático para es una función que satisface ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu :H_{k}(M;\mathbb {Z} _{2})\to \mathbb {Z} _{2}}$

${\displaystyle \mu (x+y)+\mu (x)+\mu (y)\equiv \lambda (x,y){\pmod {2}}\;\forall \,x,y\in H_{k}(M;\mathbb {Z} _{2})}$

Sea cualquier subespacio bidimensional de , tal que . Entonces hay dos posibilidades. O todos son 1, o bien sólo uno de ellos es 1, y los otros dos son 0. Llamemos al primer caso , y al segundo caso . Como cada forma es equivalente a una forma simpléctica, siempre podemos encontrar subespacios con x e y siendo -duales. Por lo tanto, podemos descomponer en una suma directa de subespacios isomorfos a o . Además, mediante un cambio inteligente de base, Por lo tanto, definimos el invariante Arf ${\displaystyle \{x,y\}}$ ${\displaystyle H_{k}(M;\mathbb {Z} _{2})}$ ${\displaystyle \lambda (x,y)=1}$ ${\displaystyle \mu (x+y),\mu (x),\mu (y)}$ ${\displaystyle H^{1,1}}$ ${\displaystyle H^{0,0}}$ ${\displaystyle \{x,y\}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle H_{k}(M;\mathbb {Z} _{2})}$ ${\displaystyle H^{0,0}}$ ${\displaystyle H^{1,1}}$ ${\displaystyle H^{0,0}\oplus H^{0,0}\cong H^{1,1}\oplus H^{1,1}.}$

${\displaystyle \operatorname {Arf} (H_{k}(M;\mathbb {Z} _{2});\mu )=({\text{number of copies of }}H^{1,1}{\text{ in a decomposition mod 2}})\in \mathbb {Z} _{2}.}$

Ejemplos

• Sea una variedad bidimensional compacta, conexa y orientada , es decir, una superficie , de género tal que el límite está vacío o es conexo. Incruste en , donde . Elija un encuadre de M , que es una trivialización del fibrado vectorial normal del plano ( m  − 2) . (Esto es posible para , por lo que ciertamente es posible para ). Elija una base simpléctica para . Cada elemento de la base está representado por un círculo incrustado . El fibrado vectorial normal del plano ( m  − 1) de tiene dos trivializaciones, una determinada por un encuadre estándar de una incrustación estándar y otra determinada por el encuadre de M , que difieren por una función es decir, un elemento de para . Esto también se puede ver como la clase de cobordismo enmarcada de con este encuadre en el grupo de cobordismo enmarcado unidimensional , que se genera por el círculo con el encuadre del grupo de Lie. El isomorfismo aquí es a través de la construcción de Pontrjagin-Thom . Defina como este elemento. Ahora se define el invariante Arf de la superficie enmarcada ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \partial M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S^{m}}$ ${\displaystyle m\geq 4}$ ${\displaystyle m=3}$ ${\displaystyle m\geq 4}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{2g-1},x_{2g}}$ ${\displaystyle H_{1}(M)=\mathbb {Z} ^{2g}}$ ${\displaystyle x_{i}:S^{1}\subset M}$ ${\displaystyle S^{1}\subset M\subset S^{m}}$ ${\displaystyle S^{1}\subset S^{m}}$ ${\displaystyle S^{1}\to SO(m-1)}$ ${\displaystyle \pi _{1}(SO(m-1))\cong \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle m\geq 4}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle \Omega _{1}^{\text{framed}}\cong \pi _{m}(S^{m-1})\,(m\geq 4)\cong \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle \mu (x)\in \mathbb {Z} _{2}}$

${\displaystyle \Phi (M)=\operatorname {Arf} (H_{1}(M,\partial M;\mathbb {Z} _{2});\mu )\in \mathbb {Z} _{2}}$

Obsérvese que, por lo tanto, tuvimos que estabilizar, tomando como mínimo 4, para obtener un elemento de . El caso también es admisible siempre que tomemos el residuo módulo 2 del marco. ${\displaystyle \pi _{1}(SO(2))\cong \mathbb {Z} ,}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle m=3}$

• El invariante Arf de una superficie enmarcada detecta si hay una variedad tridimensional cuyo límite es la superficie dada que extiende el marco dado. Esto se debe a que no limita. representa un toro con una trivialización en ambos generadores de los cuales se tuerce un número impar de veces. El hecho clave es que hasta la homotopía hay dos opciones de trivialización de un fibrado trivial de 3 planos sobre un círculo, correspondientes a los dos elementos de . Un número impar de giros, conocido como el marco del grupo de Lie, no se extiende a través de un disco, mientras que un número par de giros sí lo hace. (Tenga en cuenta que esto corresponde a poner una estructura de espín en nuestra superficie). Pontrjagin utilizó el invariante Arf de superficies enmarcadas para calcular el grupo de cobordismo enmarcado bidimensional , que es generado por el toro con el marco del grupo de Lie. El isomorfismo aquí es a través de la construcción de Pontrjagin-Thom . ${\displaystyle \Phi (M)}$ ${\displaystyle H^{1,1}}$ ${\displaystyle H^{1,1}}$ ${\displaystyle T^{2}}$ ${\displaystyle H_{1}(T^{2};\mathbb {Z} _{2})}$ ${\displaystyle \pi _{1}(SO(3))}$ ${\displaystyle \Omega _{2}^{\text{framed}}\cong \pi _{m}(S^{m-2})\,(m\geq 4)\cong \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle T^{2}}$

• Sea una superficie de Seifert para un nudo, , que puede representarse como un disco con bandas unidas. Las bandas normalmente estarán torcidas y anudadas. Cada banda corresponde a un generador . puede representarse por un círculo que atraviesa una de las bandas. Definamos como el número de vueltas completas en la banda módulo 2. Supongamos que dejamos acotado , y empujamos la superficie de Seifert hacia , de modo que su límite aún resida en . Alrededor de cualquier generador , ahora tenemos un fibrado vectorial normal trivial de 3 planos. Trivialízalo usando el marco trivial del fibrado normal a la incrustación para 2 de las secciones requeridas. Para la tercera, elige una sección que permanezca normal a , mientras que siempre permanece tangente a . Esta trivialización nuevamente determina un elemento de , que tomamos como . Nótese que esto coincide con la definición anterior de . ${\displaystyle (M^{2},\partial M)\subset S^{3}}$ ${\displaystyle \partial M=K:S^{1}\hookrightarrow S^{3}}$ ${\displaystyle D^{2}}$ ${\displaystyle x\in H_{1}(M;\mathbb {Z} _{2})}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mu (x)}$ ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle D^{4}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle D^{4}}$ ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle x\in H_{1}(M,\partial M)}$ ${\displaystyle M\hookrightarrow D^{4}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \pi _{1}(SO(3))}$ ${\displaystyle \mu (x)}$ ${\displaystyle \mu }$

• El invariante Arf de un nudo se define a través de su superficie Seifert. Es independiente de la elección de la superficie Seifert (el cambio de cirugía básica de S-equivalencia, agregar/quitar un tubo, agrega/elimina un sumando directo), y por lo tanto es un invariante de nudo . Es aditivo bajo suma conexa y se desvanece en nudos de rebanadas , por lo que es un invariante de concordancia de nudo . ${\displaystyle H^{0,0}}$

• La forma de intersección en la homología de coeficientes de dimensión (2 k + 1) de una variedad enmarcada M de dimensión ( 4 k + 2) tiene un refinamiento cuadrático , que depende del enmarcado. Para y representados por una incrustación el valor es 0 o 1, según que el fibrado normal de sea trivial o no. El invariante de Kervaire de la variedad enmarcada M de dimensión (4 k + 2) es el invariante Arf del refinamiento cuadrático en . El invariante de Kervaire es un homomorfismo en el grupo de homotopía estable de dimensión (4 k + 2) de esferas. El invariante de Kervaire también se puede definir para una variedad M de dimensión (4 k + 2) que está enmarcada excepto en un punto. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle H_{2k+1}(M;\mathbb {Z} _{2})}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle k\neq 0,1,3}$ ${\displaystyle x\in H_{2k+1}(M;\mathbb {Z} _{2})}$ ${\displaystyle x\colon S^{2k+1}\subset M}$ ${\displaystyle \mu (x)\in \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle H_{2k+1}(M;\mathbb {Z} _{2})}$ ${\displaystyle \pi _{4k+2}^{S}\to \mathbb {Z} _{2}}$

• En la teoría de la cirugía , para cualquier mapa normal dimensional se define una forma cuadrática no singular en el núcleo de homología del coeficiente α. ${\displaystyle 4k+2}$ ${\displaystyle (f,b):M\to X}$ ${\displaystyle (K_{2k+1}(M;\mathbb {Z} _{2}),\mu )}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

${\displaystyle K_{2k+1}(M;\mathbb {Z} _{2})=ker(f_{*}:H_{2k+1}(M;\mathbb {Z} _{2})\to H_{2k+1}(X;\mathbb {Z} _{2}))}$

refinando la forma de intersección homológica . El invariante Arf de esta forma es el invariante Kervaire de ( f , b ). En el caso especial, este es el invariante Kervaire de M. El invariante Kervaire aparece en la clasificación de esferas exóticas por Michel Kervaire y John Milnor , y más generalmente en la clasificación de variedades por teoría de cirugía . William Browder definió usando cuadrados funcionales de Steenrod y CTC Wall definió usando inmersiones enmarcadas . La mejora cuadrática proporciona crucialmente más información que  : es posible matar x por cirugía si y solo si . El invariante Kervaire correspondiente detecta la obstrucción quirúrgica de en el grupo L. ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle X=S^{4k+2}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu (x)}$ ${\displaystyle \lambda (x,x)}$ ${\displaystyle \mu (x)=0}$ ${\displaystyle (f,b)}$ ${\displaystyle L_{4k+2}(\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} _{2}}$

Véase también

• Invariante de De Rham , un invariante mod 2 de variedades -dimensionales ${\displaystyle (4k+1)}$

Notas

1. Arf (1941)
2. Falko Lorenz y Peter Roquette. Cahit Arf y su invariante. Sección 9.
3. Martino y Priddy, pág. 61
4. Browder, Proposición III.1.8

Referencias

• Véase Lickorish (1997) para la relación entre el invariante Arf y el polinomio de Jones .
• Consulte el Capítulo 3 del libro de Carter para obtener otra definición equivalente del invariante Arf en términos de autointersecciones de discos en el espacio de 4 dimensiones.
• Arf, Cahit (1941), "Untersuchungen über quadratische Formen in Körpern der Charakteristik 2, I", J. Reine Angew. Matemáticas. , 183 : 148–167, doi : 10.1515/crll.1941.183.148, S2CID  122490693
• Glen Bredon : Topología y geometría , 1993, ISBN 0-387-97926-3 . 
• Browder, William (1972), Cirugía en variedades simplemente conexas , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , MR  0358813
• J. Scott Carter: Cómo se intersecan las superficies en el espacio , serie sobre nudos y todo, 1993, ISBN 981-02-1050-7 . 
• AV Chernavskii (2001) [1994], "Invariante de Arf", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Dickson, Leonard Eugene (1901), Grupos lineales: con una exposición de la teoría de campos de Galois , Nueva York: Dover Publications, MR  0104735
• Kirby, Robion (1989), La topología de 4 variedades , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1374, Springer-Verlag, doi :10.1007/BFb0089031, ISBN 0-387-51148-2, Sr.  1001966
• WB Raymond Lickorish , Introducción a la teoría de nudos , Textos de posgrado en matemáticas, Springer, 1997, ISBN 0-387-98254-X 
• Martino, J.; Priddy, S. (2003), "Extensiones de grupo y anillos de grupo de automorfismo", Homología, homotopía y aplicaciones , 5 (1): 53–70, arXiv : 0711.1536 , doi :10.4310/hha.2003.v5.n1.a3, S2CID  15403121
• Lev Pontryagin , Variedades lisas y sus aplicaciones en la teoría de la homotopía , American Mathematical Society Translations, Ser. 2, Vol. 11, págs. 1–114 (1959)

Lectura adicional

• Lorenz, Falko; Roquette, Peter (2013), "Cahit Arf y su invariante" (PDF) , Contribuciones a la historia de la teoría de números en el siglo XX , Patrimonio de las matemáticas europeas, Zúrich: European Mathematical Society , pp. 189–222, ISBN 978-3-03719-113-2, MR  2934052, Zbl  1276.11001
• Knus, Max-Albert (1991), Formas cuadráticas y hermitianas sobre anillos , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 294, Berlín: Springer-Verlag , págs. 211–222, doi :10.1007/978-3-642-75401-2, ISBN 3-540-52117-8, MR  1096299, Zbl  0756.11008