En teoría de calibre y física matemática , una teoría cuántica de campos topológica (o teoría topológica de campos o TQFT ) es una teoría cuántica de campos que calcula invariantes topológicos .
Si bien las TQFT fueron inventadas por físicos, también son de interés matemático, ya que están relacionadas, entre otras cosas, con la teoría de nudos y la teoría de cuatro variedades en topología algebraica , y con la teoría de espacios de módulos en geometría algebraica . Donaldson , Jones , Witten y Kontsevich han ganado medallas Fields por trabajos matemáticos relacionados con la teoría de campos topológicos.
En la física de la materia condensada , las teorías cuánticas de campos topológicos son las teorías efectivas de baja energía de estados ordenados topológicamente , como los estados Hall cuánticos fraccionarios , los estados condensados de redes de cuerdas y otros estados líquidos cuánticos fuertemente correlacionados .
En una teoría de campos topológicos, las funciones de correlación no dependen de la métrica del espacio-tiempo . Esto significa que la teoría no es sensible a los cambios en la forma del espacio-tiempo; si el espacio-tiempo se deforma o se contrae, las funciones de correlación no cambian. En consecuencia, son invariantes topológicas.
Las teorías topológicas de campos no son muy interesantes en el espacio-tiempo plano de Minkowski utilizado en la física de partículas. El espacio de Minkowski se puede contraer hasta un punto , por lo que una TQFT aplicada al espacio de Minkowski da como resultado invariantes topológicos triviales. En consecuencia, las TQFT se aplican generalmente a espacio-tiempos curvos, como, por ejemplo, las superficies de Riemann . La mayoría de las teorías topológicas de campos conocidas se definen en espacio-tiempos de dimensión inferior a cinco. Parece que existen algunas teorías de dimensiones superiores, pero no se entienden muy bien [ cita requerida ] .
Se cree que la gravedad cuántica es independiente del fondo (en algún sentido adecuado), y las TQFT proporcionan ejemplos de teorías cuánticas de campos independientes del fondo. Esto ha impulsado investigaciones teóricas en curso sobre esta clase de modelos.
(Advertencia: A menudo se dice que las TQFT tienen solo un número finito de grados de libertad. Esta no es una propiedad fundamental. Resulta ser cierta en la mayoría de los ejemplos que estudian los físicos y matemáticos, pero no es necesaria. Un modelo sigma topológico apunta a un espacio proyectivo de dimensión infinita, y si tal cosa pudiera definirse, tendría una cantidad infinita de grados de libertad contables).
Las teorías de campos topológicos conocidas se dividen en dos clases generales: TQFT de tipo Schwarz y TQFT de tipo Witten. Las TQFT de Witten también se denominan a veces teorías de campos cohomológicas. Véase (Schwarz 2000).
En las TQFT de tipo Schwarz , las funciones de correlación o las funciones de partición del sistema se calculan mediante la integral de trayectoria de los funcionales de acción independientes de la métrica. Por ejemplo, en el modelo BF , el espacio-tiempo es una variedad bidimensional M, los observables se construyen a partir de una forma bidimensional F, un escalar auxiliar B y sus derivadas. La acción (que determina la integral de trayectoria) es
La métrica del espacio-tiempo no aparece en ninguna parte de la teoría, por lo que la teoría es explícitamente topológicamente invariante. El primer ejemplo apareció en 1977 y se debe a A. Schwarz ; su funcional de acción es:
Otro ejemplo más famoso es la teoría de Chern-Simons , que se puede aplicar a los invariantes de nudos . En general, las funciones de partición dependen de una métrica, pero los ejemplos anteriores son independientes de la métrica.
El primer ejemplo de TQFT de tipo Witten apareció en el artículo de Witten en 1988 (Witten 1988a), es decir, la teoría topológica de Yang-Mills en cuatro dimensiones. Aunque su funcional de acción contiene la métrica del espacio-tiempo g αβ , después de un giro topológico resulta ser independiente de la métrica. La independencia del tensor de tensión-energía T αβ del sistema de la métrica depende de si el operador BRST está cerrado. Siguiendo el ejemplo de Witten, se pueden encontrar muchos otros ejemplos en la teoría de cuerdas .
Las TQFT de tipo Witten surgen si se cumplen las siguientes condiciones:
A modo de ejemplo (Linker 2015): Dado un campo de 2 formas con el operador diferencial que satisface , entonces la acción tiene una simetría si ya que
Además, se cumple lo siguiente (bajo la condición de que sea independiente y actúe de manera similar a una derivada funcional ):
La expresión es proporcional a con otra 2-forma .
Ahora bien, cualquier promedio de observables para la medida de Haar correspondiente es independiente del campo "geométrico" y, por lo tanto, es topológico:
La tercera igualdad utiliza el hecho de que y la invariancia de la medida de Haar bajo transformaciones de simetría. Como es solo un número, su derivada de Lie se anula.
Atiyah sugirió un conjunto de axiomas para la teoría cuántica de campos topológica, inspirados en los axiomas propuestos por Segal para la teoría de campos conforme (posteriormente, la idea de Segal se resumió en Segal (2001)), y el significado geométrico de la supersimetría de Witten en Witten (1982). Los axiomas de Atiyah se construyen pegando el límite con una transformación diferenciable (topológica o continua), mientras que los axiomas de Segal son para transformaciones conformes. Estos axiomas han sido relativamente útiles para los tratamientos matemáticos de las QFT de tipo Schwarz, aunque no está claro que capturen toda la estructura de las QFT de tipo Witten. La idea básica es que una TQFT es un funtor de una determinada categoría de cobordismos a la categoría de espacios vectoriales .
De hecho, existen dos conjuntos diferentes de axiomas que podrían razonablemente denominarse axiomas de Atiyah. Estos axiomas difieren básicamente en si se aplican o no a una TQFT definida en un único espacio-tiempo riemanniano/lorentziano n -dimensional fijo M o a una TQFT definida en todos los espacios-tiempos n -dimensionales a la vez.
Sea Λ un anillo conmutativo con 1 (para casi todos los propósitos del mundo real tendremos Λ = Z , R o C ). Atiyah propuso originalmente los axiomas de una teoría cuántica de campos topológica (TQFT) en dimensión d definida sobre un anillo base Λ de la siguiente manera:
Estos datos están sujetos a los siguientes axiomas (4 y 5 fueron añadidos por Atiyah):
Observación. Si para una variedad cerrada M consideramos a Z ( M ) como un invariante numérico, entonces para una variedad con una frontera deberíamos pensar en Z ( M ) ∈ Z (∂ M ) como un invariante "relativo". Sea f : Σ → Σ un difeomorfismo que preserva la orientación, e identifiquemos los extremos opuestos de Σ × I por f . Esto da una variedad Σ f y nuestros axiomas implican
donde Σ( f ) es el automorfismo inducido de Z (Σ).
Observación. Para una variedad M con borde Σ siempre podemos formar el doble que es una variedad cerrada. El quinto axioma muestra que
donde a la derecha calculamos la norma en la métrica hermítica (posiblemente indefinida).
Físicamente, (2) + (4) están relacionados con la invariancia relativista mientras que (3) + (5) son indicativos de la naturaleza cuántica de la teoría.
Σ se utiliza para indicar el espacio físico (normalmente, d = 3 para la física estándar) y la dimensión extra en Σ × I es el tiempo "imaginario". El espacio Z (Σ) es el espacio de Hilbert de la teoría cuántica y una teoría física, con un hamiltoniano H , tendrá un operador de evolución temporal e itH o un operador de "tiempo imaginario" e −tH . La característica principal de las QFT topológicas es que H = 0, lo que implica que no hay dinámica real o propagación, a lo largo del cilindro Σ × I . Sin embargo, puede haber una "propagación" no trivial (o amplitudes de tunelización) de Σ 0 a Σ 1 a través de una variedad intermedia M con ; esto refleja la topología de M .
Si ∂ M = Σ, entonces el vector distinguido Z ( M ) en el espacio de Hilbert Z (Σ) se considera como el estado de vacío definido por M . Para una variedad cerrada M el número Z ( M ) es el valor esperado del vacío . En analogía con la mecánica estadística también se le llama función de partición .
La razón por la que se puede formular de manera sensata una teoría con un hamiltoniano cero reside en el enfoque de la integral de trayectorias de Feynman para la teoría cuántica de campos. Este enfoque incorpora la invariancia relativista (que se aplica a los "espacio-tiempos" generales de ( d + 1) dimensiones) y la teoría se define formalmente mediante un lagrangiano adecuado , un funcional de los campos clásicos de la teoría. Un lagrangiano que involucra solo las primeras derivadas en el tiempo conduce formalmente a un hamiltoniano cero, pero el lagrangiano en sí mismo puede tener características no triviales que se relacionan con la topología de M .
En 1988, M. Atiyah publicó un artículo en el que describió muchos ejemplos nuevos de teoría cuántica de campos topológica que se consideraban en ese momento (Atiyah 1988a)(Atiyah 1988b). Contiene algunos invariantes topológicos nuevos junto con algunas ideas nuevas: invariante de Casson , invariante de Donaldson , teoría de Gromov , homología de Floer y teoría de Jones-Witten .
En este caso Σ consta de un número finito de puntos. A un único punto asociamos un espacio vectorial V = Z (punto) y a n puntos el producto tensorial n -fold: V ⊗ n = V ⊗ … ⊗ V . El grupo simétrico S n actúa sobre V ⊗ n . Una forma estándar de obtener el espacio de Hilbert cuántico es comenzar con una variedad simpléctica clásica (o espacio de fases ) y luego cuantizarlo. Extendamos S n a un grupo de Lie compacto G y consideremos órbitas "integrables" para las cuales la estructura simpléctica proviene de un fibrado lineal , luego la cuantización conduce a las representaciones irreducibles V de G . Esta es la interpretación física del teorema de Borel–Weil o del teorema de Borel–Weil–Bott . El lagrangiano de estas teorías es la acción clásica ( holonomía del fibrado lineal). Por lo tanto, las QFT topológicas con d = 0 se relacionan naturalmente con la teoría de representación clásica de los grupos de Lie y el grupo simétrico .
Deberíamos considerar condiciones de contorno periódicas dadas por bucles cerrados en una variedad simpléctica compacta X . Junto con la holonomía de Witten (1982), los bucles utilizados en el caso de d = 0 como un lagrangiano se utilizan para modificar el hamiltoniano. Para una superficie cerrada M, el invariante Z ( M ) de la teoría es el número de aplicaciones pseudoholomórficas f : M → X en el sentido de Gromov (son aplicaciones holomorfas ordinarias si X es una variedad de Kähler ). Si este número se vuelve infinito, es decir, si hay "módulos", entonces debemos fijar más datos sobre M . Esto se puede hacer eligiendo algunos puntos P i y luego mirando las aplicaciones holomorfas f : M → X con f ( P i ) restringida a estar en un hiperplano fijo. Witten (1988b) ha escrito el lagrangiano relevante para esta teoría. Floer ha dado un tratamiento riguroso, es decir, la homología de Floer , basada en las ideas de la teoría de Morse de Witten ; para el caso en que las condiciones de contorno están sobre el intervalo en lugar de ser periódicas, los puntos inicial y final de la trayectoria se encuentran en dos subvariedades lagrangianas fijas . Esta teoría se ha desarrollado como teoría invariante de Gromov-Witten .
Otro ejemplo es la teoría de campos conformes holomorfos . Esta podría no haber sido considerada estrictamente teoría cuántica de campos topológica en ese momento porque los espacios de Hilbert son de dimensión infinita. Las teorías de campos conformes también están relacionadas con el grupo de Lie compacto G en el que la fase clásica consiste en una extensión central del grupo de bucles (LG) . La cuantificación de estos produce los espacios de Hilbert de la teoría de representaciones irreducibles (proyectivas) de LG . El grupo Diff + ( S 1 ) ahora sustituye al grupo simétrico y juega un papel importante. Como resultado, la función de partición en tales teorías depende de la estructura compleja , por lo que no es puramente topológica.
La teoría de Jones-Witten es la teoría más importante en este caso. Aquí el espacio de fase clásico, asociado con una superficie cerrada Σ es el espacio de módulos de un fibrado G plano sobre Σ. El lagrangiano es un múltiplo entero de la función de Chern-Simons de una conexión G en una variedad 3 (que tiene que estar "enmarcada"). El múltiplo entero k , llamado nivel, es un parámetro de la teoría y k → ∞ da el límite clásico. Esta teoría se puede acoplar naturalmente con la teoría d = 0 para producir una teoría "relativa". Los detalles han sido descritos por Witten, quien muestra que la función de partición para un enlace (enmarcado) en la esfera 3 es simplemente el valor del polinomio de Jones para una raíz adecuada de la unidad. La teoría se puede definir sobre el campo ciclotómico relevante , véase Atiyah (1988) . Al considerar una superficie de Riemann con límite, podemos acoplarla a la teoría conforme d = 1 en lugar de acoplar la teoría d = 2 a d = 0. Esto se ha convertido en la teoría de Jones-Witten y ha llevado al descubrimiento de conexiones profundas entre la teoría de nudos y la teoría cuántica de campos.
Donaldson ha definido el invariante entero de las 4-variedades lisas utilizando espacios de módulos de SU(2)-instantones. Estos invariantes son polinomios en la segunda homología. Por lo tanto, las 4-variedades deberían tener datos adicionales que consisten en el álgebra simétrica de H 2 . Witten (1988a) ha producido un lagrangiano supersimétrico que reproduce formalmente la teoría de Donaldson. La fórmula de Witten podría entenderse como un análogo de dimensión infinita del teorema de Gauss-Bonnet . En una fecha posterior, esta teoría se desarrolló aún más y se convirtió en la teoría de calibración de Seiberg-Witten que reduce SU(2) a U(1) en la teoría de calibración N = 2, d = 4. La versión hamiltoniana de la teoría ha sido desarrollada por Floer en términos del espacio de conexiones en una 3-variedad. Floer utiliza la función de Chern-Simons , que es el lagrangiano de la teoría de Jones-Witten para modificar el hamiltoniano. Para más detalles, véase Atiyah (1988) . Witten (1988a) también ha demostrado cómo se pueden acoplar las teorías d = 3 y d = 1: esto es bastante análogo al acoplamiento entre d = 2 y d = 0 en la teoría de Jones-Witten.
Ahora, la teoría de campos topológicos se considera como un funtor , no en una dimensión fija sino en todas las dimensiones al mismo tiempo.
Sea Bord M la categoría cuyos morfismos son subvariedades n -dimensionales de M y cuyos objetos son componentes conexos de los límites de dichas subvariedades. Considérense dos morfismos como equivalentes si son homotópicos a través de subvariedades de M , y así forman la categoría cociente hBord M : Los objetos en hBord M son los objetos de Bord M , y los morfismos de hBord M son clases de equivalencia de homotopía de morfismos en Bord M . Una TQFT sobre M es un funtor monoidal simétrico de hBord M a la categoría de espacios vectoriales.
Nótese que los cobordismos pueden, si sus límites coinciden, ser cosidos para formar un nuevo bordismo. Esta es la ley de composición para morfismos en la categoría de cobordismo. Dado que se requieren funtores para preservar la composición, esto dice que la función lineal correspondiente a un morfismo cosido es simplemente la composición de la función lineal para cada pieza.
Existe una equivalencia de categorías entre la categoría de las teorías cuánticas de campos topológicos bidimensionales y la categoría de las álgebras de Frobenius conmutativas .
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Para considerar todos los espacio-tiempos a la vez, es necesario reemplazar hBord M por una categoría mayor. Sea entonces Bord n la categoría de los bordismos, es decir, la categoría cuyos morfismos son variedades n -dimensionales con borde, y cuyos objetos son los componentes conexos de los bordes de variedades n-dimensionales. (Obsérvese que cualquier variedad ( n −1)-dimensional puede aparecer como un objeto en Bord n .) Como antes, considere dos morfismos en Bord n como equivalentes si son homotópicos, y forman la categoría cociente hBord n . Bord n es una categoría monoidal bajo la operación que asigna dos bordismos al bordismo formado a partir de su unión disjunta. Una TQFT sobre variedades n -dimensionales es entonces un funtor de hBord n a la categoría de espacios vectoriales, que asigna uniones disjuntas de bordismos a su producto tensorial.
Por ejemplo, para bordismos de dimensión (1 + 1) (bordismos bidimensionales entre variedades unidimensionales), la función asociada con un par de pantalones da un producto o coproducto, dependiendo de cómo se agrupen los componentes del borde –que es conmutativo o co-conmutativo-, mientras que la función asociada con un disco da una counit (traza) o unidad (escalares), dependiendo de la agrupación de los componentes del borde, y por lo tanto las TQFT de dimensión (1 + 1) corresponden a álgebras de Frobenius .
Además, podemos considerar simultáneamente variedades de 4, 3 y 2 dimensiones relacionadas por los bordismos anteriores, y de ellas podemos obtener ejemplos amplios e importantes.
Si analizamos el desarrollo de la teoría cuántica de campos topológica, deberíamos considerar sus numerosas aplicaciones a la teoría de gauge de Seiberg-Witten , la teoría de cuerdas topológica , la relación entre la teoría de nudos y la teoría cuántica de campos, y los invariantes de nudos cuánticos . Además, ha generado temas de gran interés tanto en matemáticas como en física. También son de interés reciente e importante los operadores no locales en TQFT (Gukov y Kapustin (2013)). Si la teoría de cuerdas se considera fundamental, entonces las TQFT no locales pueden considerarse modelos no físicos que proporcionan una aproximación computacionalmente eficiente a la teoría de cuerdas local.
Las ecuaciones diferenciales (parciales) estocásticas (EDS) son la base de los modelos de todo lo que ocurre en la naturaleza por encima de la escala de la degeneración y la coherencia cuánticas y son esencialmente TQFT de tipo Witten. Todas las EDS poseen supersimetría topológica o BRST , , y en la representación del operador de la dinámica estocástica está la derivada exterior , que es conmutativa con el operador de evolución estocástica. Esta supersimetría preserva la continuidad del espacio de fases mediante flujos continuos, y el fenómeno de la ruptura espontánea supersimétrica mediante un estado fundamental global no supersimétrico abarca conceptos físicos tan bien establecidos como el caos , la turbulencia , 1/f y ruidos crepitantes , criticidad autoorganizada , etc. El sector topológico de la teoría para cualquier EDS puede reconocerse como una TQFT de tipo Witten.
