Teoría de la homotopía estable

El estudio de los espectros

En matemáticas , la teoría de homotopía estable es la parte de la teoría de homotopía (y por lo tanto de la topología algebraica ) que se ocupa de todas las estructuras y fenómenos que permanecen después de un número suficiente de aplicaciones del funtor de suspensión . Un resultado fundacional fue el teorema de suspensión de Freudenthal , que establece que dado cualquier espacio puntiagudo , los grupos de homotopía se estabilizan para suficientemente grandes. En particular, los grupos de homotopía de esferas se estabilizan para . Por ejemplo, ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi _{n+k}(\Sigma ^{n}X)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \pi _{n+k}(S^{n})}$ ${\displaystyle n\geq k+2}$

${\displaystyle \langle {\text{id}}_{S^{1}}\rangle =\mathbb {Z} =\pi _{1}(S^{1})\cong \pi _{2}(S^{2})\cong \pi _{3}(S^{3})\cong \cdots }$

${\displaystyle \langle \eta \rangle =\mathbb {Z} =\pi _{3}(S^{2})\to \pi _{4}(S^{3})\cong \pi _{5}(S^{4})\cong \cdots }$

En los dos ejemplos anteriores, todos los mapas entre grupos de homotopía son aplicaciones del funtor de suspensión . El primer ejemplo es un corolario estándar del teorema de Hurewicz , que . En el segundo ejemplo, el mapa de Hopf , , se mapea a su suspensión , lo que genera . ${\displaystyle \pi _{n}(S^{n})\cong \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \Sigma \eta }$ ${\displaystyle \pi _{4}(S^{3})\cong \mathbb {Z} /2}$

Uno de los problemas más importantes en la teoría de homotopía estable es el cálculo de grupos de homotopía estables de esferas . Según el teorema de Freudenthal, en el rango estable los grupos de homotopía de esferas no dependen de las dimensiones específicas de las esferas en el dominio y el objetivo, sino de la diferencia en esas dimensiones. Con esto en mente, el k -ésimo tallo estable es

${\displaystyle \pi _{k}^{s}:=\lim _{n}\pi _{n+k}(S^{n})}$.

Este es un grupo abeliano para todo k . Es un teorema de Jean-Pierre Serre ^[1] que estos grupos son finitos para . De hecho, la composición hace que n sea un anillo graduado . Un teorema de Goro Nishida ^[2] establece que todos los elementos de gradación positiva en este anillo son nilpotentes. Por lo tanto, los únicos ideales primos son los primos en . Por lo tanto, la estructura de es bastante complicada. ${\displaystyle k\neq 0}$ ${\displaystyle \pi _{*}^{S}}$ ${\displaystyle \pi _{0}^{s}\cong \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \pi _{*}^{s}}$

En el tratamiento moderno de la teoría de homotopía estable, los espacios se suelen sustituir por espectros . Siguiendo esta línea de pensamiento, se puede crear una categoría de homotopía estable completa . Esta categoría tiene muchas propiedades interesantes que no están presentes en la categoría de homotopía (inestable) de espacios, a partir del hecho de que el funtor de suspensión se vuelve invertible. Por ejemplo, la noción de secuencia de cofibración y secuencia de fibración son equivalentes.

Véase también

• Filtración Adams
• Secuencia espectral de Adams
• Teoría de la homotopía cromática
• Teoría de homotopía estable equivariante
• Teorema de nilpotencia

Referencias

1. Serre, Jean-Pierre (1953). "Grupos de homomotopie y clases de grupos abelien". Anales de Matemáticas . 58 (2): 258–295. doi :10.2307/1969789. JSTOR  1969789.
2. Nishida, Goro (1973), "La nilpotencia de los elementos de los grupos de homotopía estable de esferas", Journal of the Mathematical Society of Japan , 25 (4): 707–732, doi : 10.2969/jmsj/02540707 , hdl : 2433/220059 , ISSN  0025-5645, MR  0341485

• Adams, J. Frank (1966), Teoría de la homotopía estable , Segunda edición revisada. Lecciones dictadas en la Universidad de California en Berkeley, vol. 1961, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , MR  0196742
• May, J. Peter (1999), "Topología algebraica estable, 1945-1966" (PDF) , Topología algebraica estable, 1945--1966 , Ámsterdam: Holanda Septentrional, pp. 665–723, CiteSeerX  10.1.1.30.6299 , doi :10.1016/B978-044482375-5/50025-0, ISBN 9780444823755, Sr.  1721119
• Ravenel, Douglas C. (1992), Nilpotencia y periodicidad en la teoría de homotopía estable , Annals of Mathematics Studies, vol. 128, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-02572-8, Sr.  1192553