Cofibración

En matemáticas , en particular en la teoría de la homotopía , una aplicación continua entre espacios topológicos

${\displaystyle i:A\to X}$,

es una cofibración si tiene la propiedad de extensión de homotopía con respecto a todos los espacios topológicos . Es decir, es una cofibración si para cada espacio topológico , y para cualesquiera aplicaciones continuas y con , para cualquier homotopía de a , existe una aplicación continua y una homotopía de a tal que para todas y . (Aquí, denota el intervalo unitario .) ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f,f':A\to S}$ ${\displaystyle g:X\to S}$ ${\displaystyle g\circ i=f}$ ${\displaystyle h:A\times I\to S}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle g':X\to S}$ ${\displaystyle h':X\times I\to S}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g'}$ ${\displaystyle h'(i(a),t)=h(a,t)}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle t\in I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle [0,1]}$

Esta definición es formalmente dual a la de una fibración , que se requiere para satisfacer la propiedad de elevación de homotopía con respecto a todos los espacios; este es un ejemplo de la dualidad más amplia de Eckmann-Hilton en topología.

Las cofibraciones son un concepto fundamental de la teoría de la homotopía. Quillen ha propuesto la noción de categoría modelo como marco formal para realizar la teoría de la homotopía en categorías más generales; una categoría modelo está dotada de tres clases distinguidas de morfismos llamados fibraciones , cofibraciones y equivalencias débiles que satisfacen ciertos axiomas de elevación y factorización.

Definición

Teoría de la homotopía

En lo que sigue, denotemos el intervalo unitario. ${\displaystyle I=[0,1]}$

Un mapa de espacios topológicos se llama cofibración ^{[1] pág. 51} si para cualquier mapa tal que hay una extensión a , es decir, hay un mapa tal que , podemos extender una homotopía de mapas a una homotopía de mapas , donde ${\displaystyle i\colon A\to X}$ ${\displaystyle f:A\to S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f':X\to S}$ ${\displaystyle f'\circ i=f}$ ${\displaystyle H:A\times I\to S}$ ${\displaystyle H':X\times I\to S}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H(a,0)&=f(a)\\H'(x,0)&=f'(x)\end{aligned}}}$

Podemos codificar esta condición en el siguiente diagrama conmutativo

donde es el espacio de trayectorias de equipado con la topología compacta-abierta. ${\displaystyle S^{I}}$ ${\displaystyle S}$

Para el concepto de cofibración en una categoría de modelo, véase categoría de modelo .

Ejemplos

En topología

Los topólogos han estudiado durante mucho tiempo las nociones de "buena incrustación de subespacios", muchas de las cuales implican que la función es una cofibración, o lo contrario, o tiene propiedades formales similares con respecto a la homología. En 1937, Borsuk demostró que si es un espacio binormal ( es normal, y su producto con el intervalo unitario es normal) entonces cada subespacio cerrado de tiene la propiedad de extensión de homotopía con respecto a cualquier retracción de vecindad absoluta. Del mismo modo, si es un subespacio cerrado de y la inclusión del subespacio es una retracción de vecindad absoluta, entonces la inclusión de en es una cofibración. ^{[2] [3]} El libro de texto introductorio de Hatcher, Topología algebraica, utiliza una noción técnica de buen par que tiene la misma secuencia exacta larga en homología singular asociada a una cofibración, pero no es equivalente. La noción de cofibración se distingue de estas porque su definición de teoría de homotopía es más susceptible al análisis formal y la generalización. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\times I}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\times I\cup X\times {1}\subset X\times I}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$

Si es una función continua entre espacios topológicos, existe un espacio topológico asociado llamado cilindro de función de . Existe una incrustación de subespacio canónico y una función de proyección tal que, como se muestra en el diagrama conmutativo a continuación. Además, es una cofibración y es una equivalencia de homotopía. Este resultado se puede resumir diciendo que "toda función es equivalente en la categoría de homotopía a una cofibración". ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Mf}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle i:X\to Mf}$ ${\displaystyle r:Mf\to Y}$ ${\displaystyle r\circ i=f}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle r}$

Arne Strøm ha demostrado un fortalecimiento de este resultado, que cada mapa se factoriza como la composición de una cofibración y una equivalencia de homotopía que también es una fibración . ^[4] ${\displaystyle f:X\to Y}$

Se dice que un espacio topológico con un punto base distinguido está bien apuntado si el mapa de inclusión es una cofibración. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {x}\to X}$

El mapa de inclusión de la esfera límite de un disco sólido es una cofibración para cada . ${\displaystyle S^{n-1}\to D^{n}}$ ${\displaystyle n}$

Un hecho que se utiliza con frecuencia es que una inclusión celular es una cofibración (por lo tanto, por ejemplo, si es un par CW , entonces es una cofibración). Esto se desprende del hecho anterior y del hecho de que las cofibraciones son estables bajo el efecto pushout, porque los pushouts son los mapas de adhesión al esqueleto. ${\displaystyle (X,A)}$ ${\displaystyle A\to X}$ ${\displaystyle n-1}$

En complejos de cadena

Sea una categoría abeliana con suficientes proyectivos. ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Si dejamos que sea la categoría de complejos de cadena que están en grados , entonces hay una estructura de categoría modelo ^{[5] pág. 1.2} donde las equivalencias débiles son los cuasi-isomorfismos , las fibraciones son los epimorfismos y las cofibraciones son mapas ${\displaystyle C_{+}({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle q<<0}$

${\displaystyle i:C_{\bullet }\to D_{\bullet }}$

que son mónicos en grados y el complejo cokernel es un complejo de objetos proyectivos en . De ello se deduce que los objetos cofibrantes son los complejos cuyos objetos son todos proyectivos. ${\displaystyle {\text{Coker}}(i)_{\bullet }}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Conjuntos simpliales

La categoría de conjuntos simpliciales ^{[5] pg 1.3} existe una estructura de categoría modelo donde las fibraciones son precisamente las fibraciones Kan, las cofibraciones son todas las aplicaciones inyectivas y las equivalencias débiles son aplicaciones simpliciales que se convierten en equivalencias de homotopía después de aplicar el funtor de realización geométrica. ${\displaystyle {\textbf {SSet}}}$

Propiedades

• Para los espacios de Hausdorff , cada cofibración es una inclusión cerrada (inyectiva con imagen cerrada); el resultado también se generaliza a los espacios de Hausdorff débiles .
• La expulsión de una cofibración es una cofibración. Es decir, si es cualquier mapa (continuo) (entre espacios generados de forma compacta), y es una cofibración, entonces el mapa inducido es una cofibración. ${\displaystyle g\colon A\to B}$ ${\displaystyle i\colon A\to X}$ ${\displaystyle B\to B\cup _{g}X}$
• El cilindro de mapeo puede ser entendido como el empuje y la incrustación (en un extremo del intervalo unitario) . Es decir, el cilindro de mapeo puede ser definido como . Por la propiedad universal del empuje, es una cofibración precisamente cuando un cilindro de mapeo puede ser construido para cada espacio X . ${\displaystyle i\colon A\to X}$ ${\displaystyle i_{0}\colon A\to A\times I}$ ${\displaystyle Mi=X\cup _{i}(A\times I)}$ ${\displaystyle i}$
• Hay una cofibración ( A , X ), si y sólo si hay una retracción desde a , ya que este es el empuje y por lo tanto induce mapas a cada espacio sensible en el diagrama. ${\displaystyle X\times I}$ ${\displaystyle (A\times I)\cup (X\times \{0\})}$
• Se pueden establecer equivalencias similares para pares deformación-retracción y para pares deformación-retracción vecinos.

Construcciones con cofibraciones

Reemplazo de cofibrant

Nótese que en una categoría de modelo si no es una cofibración, entonces el cilindro de mapeo forma un reemplazo cofibrante . De hecho, si trabajamos solo en la categoría de espacios topológicos, el reemplazo cofibrante para cualquier mapeo de un punto a un espacio forma un reemplazo cofibrante. ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle i:*\to X}$ ${\displaystyle Mi}$

Cofibra

Para una cofibración definimos la cofibra como el espacio cociente inducido . En general, para , la cofibra ^{[1] pg 59} se define como el espacio cociente ${\displaystyle A\to X}$ ${\displaystyle X/A}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$

${\displaystyle C_{f}=M_{f}/(X\times \{0\})}$

que es el cono de mapeo de . Homotópicamente, la cofibra actúa como un conúcleo de homotopía del mapeo . De hecho, para espacios topológicos puntiagudos, el colimite de homotopía de ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$

${\displaystyle {\underset {\to }{\text{hocolim}}}\left({\begin{matrix}X&\xrightarrow {f} &Y\\\downarrow &&\\\end{matrix}}\right)=C_{f}}$

De hecho, la secuencia de mapas viene equipada con la secuencia cofiber que actúa como un triángulo distinguido en categorías trianguladas. ${\displaystyle X\to Y\to C_{f}}$

Véase también

• Fibración
• Colímite de homotopía
• Fibra de homotopía

Referencias

1. May, J. Peter. (1999). Un curso conciso de topología algebraica. Chicago: University of Chicago Press. ISBN 0-226-51182-0.OCLC 41266205  .
2. Edwin Spanier, Topología algebraica , 1966, pág. 57.
3. Garth Warner, Temas en topología y teoría de homotopía , sección 6.
4. Arne Strøm, La categoría de homotopía es una categoría de homotopía
5. Quillen, Daniel G. (1967). Álgebra homotópica. Berlín: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-03914-3.OCLC 294862881  .

• Peter May, "Un curso conciso de topología algebraica": el capítulo 6 define y analiza las cofibraciones, y se utilizan en todo el libro.
• Brown, Ronald . "7. Cofibraciones". Topología y grupoides. ISBN 978-1-4196-2722-4.El capítulo 7 tiene muchos resultados que no se encuentran en ningún otro lugar.