Secuencia de marionetas

En matemáticas , la secuencia de Puppe es una construcción de la teoría de homotopía , llamada así en honor a Dieter Puppe . Se presenta en dos formas: una secuencia larga exacta , construida a partir de la fibra de mapeo (una fibración ), y una secuencia larga coexacta, construida a partir del cono de mapeo (que es una cofibración ). ^[1] Intuitivamente, la secuencia de Puppe nos permite pensar en la teoría de homología como un funtor que lleva espacios a secuencias largas y exactas de grupos. También es útil como herramienta para construir secuencias largas y exactas de grupos de homotopía relativa .

Secuencia exacta de Puppe

Sea una función continua entre espacios puntiagudos y sea la fibra de función (la fibración dual del cono de función ). Se obtiene entonces una sucesión exacta: ${\displaystyle f\colon (X,x_{0})\to (Y,y_{0})}$ ${\displaystyle Mf}$

${\displaystyle Mf\to X\to Y}$

donde la fibra de mapeo se define como: ^[1]

${\displaystyle Mf=\{(x,\omega )\in X\times Y^{I}:\omega (0)=y_{0}{\mbox{ and }}\omega (1)=f(x)\}}$

Observe que el espacio de bucle inyecta en la fibra de mapeo: , ya que consta de aquellos mapas que comienzan y terminan en el punto base . Entonces se puede demostrar que la secuencia anterior se extiende a la secuencia más larga ${\displaystyle \Omega Y}$ ${\displaystyle \Omega Y\to Mf}$ ${\displaystyle y_{0}}$

${\displaystyle \Omega X\to \Omega Y\to Mf\to X\to Y}$

Luego se puede iterar la construcción para obtener la secuencia Puppe exacta.

${\displaystyle \cdots \to \Omega ^{2}(Mf)\to \Omega ^{2}X\to \Omega ^{2}Y\to \Omega (Mf)\to \Omega X\to \Omega Y\to Mf\to X\to Y}$

La secuencia exacta suele ser más conveniente que la secuencia coexacta en aplicaciones prácticas, como explica Joseph J. Rotman : ^[1]

(las) diversas construcciones (de la secuencia coexacta) involucran espacios cocientes en lugar de subespacios, y por eso todos los mapas y homotopías requieren un mayor escrutinio para asegurar que estén bien definidos y sean continuos.

Ejemplos

Ejemplo: homotopía relativa

Como caso especial, ^[1] se puede tomar X como un subespacio A de Y que contiene el punto base y ₀ , y f como la inclusión de A en Y . Se obtiene entonces una secuencia exacta en la categoría de espacios puntiagudos : ${\displaystyle i:A\hookrightarrow Y}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\cdots &\to \pi _{n+1}(A)\to \pi _{n+1}(Y)\to \left[S^{0},\Omega ^{n}(Mi)\right]\to \pi _{n}(A)\to \pi _{n}(Y)\to \cdots \\\cdots &\to \pi _{1}(A)\to \pi _{1}(Y)\to \left[S^{0},Mi\right]\to \pi _{0}(A)\to \pi _{0}(Y)\end{aligned}}}$

donde son los grupos de homotopía , es la esfera cero (es decir, dos puntos) y denota la equivalencia de homotopía de las funciones de U a W . Nótese que . Se puede demostrar entonces que ${\displaystyle \pi _{n}}$ ${\displaystyle S^{0}}$ ${\displaystyle [U,W]}$ ${\displaystyle \pi _{n+1}(X)=\pi _{1}(\Omega ^{n}X)}$

${\displaystyle \left[S^{0},\Omega ^{n}(Mi)\right]=\left[S^{n},Mi\right]=\pi _{n}(Mi)}$

está en biyección con el grupo de homotopía relativa , dando lugar así a la secuencia de pares de homotopía relativa ${\displaystyle \pi _{n+1}(Y,A)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\cdots &\to \pi _{n+1}(A)\to \pi _{n+1}(Y)\to \pi _{n+1}(Y,A)\to \pi _{n}(A)\to \pi _{n}(Y)\to \cdots \\\cdots &\to \pi _{1}(A)\to \pi _{1}(Y)\to \pi _{1}(Y,A)\to \pi _{0}(A)\to \pi _{0}(Y)\end{aligned}}}$

El objeto es un grupo para y es abeliano para . ${\displaystyle \pi _{n}(Y,A)}$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle n\geq 3}$

Ejemplo: Fibración

Como caso especial, ^[1] se puede tomar f como una fibración . Entonces la fibra de aplicación Mp tiene la propiedad de elevación de homotopía y se deduce que Mp y la fibra tienen el mismo tipo de homotopía . Se deduce trivialmente que las aplicaciones de la esfera en Mp son homotópicas a las aplicaciones de la esfera en F , es decir, ${\displaystyle p:E\to B}$ ${\displaystyle F=p^{-1}(b_{0})}$

${\displaystyle \pi _{n}(Mp)=\left[S^{n},Mp\right]\simeq \left[S^{n},F\right]=\pi _{n}(F).}$

A partir de esto, la secuencia de Puppe da la secuencia de homotopía de una fibración :

${\displaystyle {\begin{aligned}\cdots &\to \pi _{n+1}(E)\to \pi _{n+1}(B)\to \pi _{n}(F)\to \pi _{n}(E)\to \pi _{n}(B)\to \cdots \\\cdots &\to \pi _{1}(E)\to \pi _{1}(B)\to \pi _{0}(F)\to \pi _{0}(E)\to \pi _{0}(B)\end{aligned}}}$

Ejemplo: Fibración débil

Las fibraciones débiles son estrictamente más débiles que las fibraciones, sin embargo, el resultado principal anterior sigue siendo válido, aunque la prueba debe modificarse. La observación clave, debida a Jean-Pierre Serre , es que, dada una fibración débil y la fibra en el punto base dado por , existe una biyección ${\displaystyle p\colon E\to B}$ ${\displaystyle F=p^{-1}(b_{0})}$

${\displaystyle p_{*}\colon \pi _{n}(E,F)\to \pi _{n}(B,b_{0})}$.

Esta biyección se puede utilizar en la secuencia de homotopía relativa anterior, para obtener la secuencia de homotopía de una fibración débil , que tiene la misma forma que la secuencia de fibración, aunque con un mapa de conexión diferente.

Secuencia de Puppe coexacta

Sea una función continua entre complejos CW y sea un cono de aplicación de f (es decir, la cofibra de la función f ), de modo que tengamos una secuencia (cofibra): ${\displaystyle f\colon A\to B}$ ${\displaystyle C(f)}$

${\displaystyle A\to B\to C(f)}$.

Ahora podemos formar suspensiones de A y B respectivamente, y además (esto se debe a que la suspensión puede verse como un funtor ), obteniendo una secuencia: ${\displaystyle \Sigma A}$ ${\displaystyle \Sigma B,}$ ${\displaystyle \Sigma f\colon \Sigma A\to \Sigma B}$

${\displaystyle \Sigma A\to \Sigma B\to C(\Sigma f)}$.

Tenga en cuenta que la suspensión preserva las secuencias de cofibra.

Debido a este poderoso hecho sabemos que es homotópicamente equivalente a Al colapsar a un punto, se tiene una función natural. Por lo tanto tenemos una secuencia: ${\displaystyle C(\Sigma f)}$ ${\displaystyle \Sigma C(f).}$ ${\displaystyle B\subset C(f)}$ ${\displaystyle C(f)\to \Sigma A.}$

${\displaystyle A\to B\to C(f)\to \Sigma A\to \Sigma B\to \Sigma C(f).}$

Iterando esta construcción, obtenemos la secuencia de Puppe asociada a : ${\displaystyle A\to B}$

${\displaystyle A\to B\to C(f)\to \Sigma A\to \Sigma B\to \Sigma C(f)\to \Sigma ^{2}A\to \Sigma ^{2}B\to \Sigma ^{2}C(f)\to \Sigma ^{3}A\to \Sigma ^{3}B\to \Sigma ^{3}C(f)\to \cdots }$

Algunas propiedades y consecuencias

Es un ejercicio sencillo de topología ver que cada tres elementos de una secuencia de Puppe son, hasta una homotopía, de la forma:

${\displaystyle X\to Y\to C(f)}$.

Por "hasta una homotopía", queremos decir aquí que cada 3 elementos en una secuencia de Puppe son de la forma anterior si se consideran objetos y morfismos en la categoría de homotopía .

Si ahora se nos da un funtor topológico semiexacto , la propiedad anterior implica que, después de actuar con el funtor en cuestión sobre la secuencia de Puppe asociada a , se obtiene una secuencia exacta larga . ${\displaystyle A\to B}$

Un resultado, debido a John Milnor , ^[2] es que si uno toma los axiomas de Eilenberg-Steenrod para la teoría de homología , y reemplaza la escisión por la secuencia exacta de una fibración débil de pares, entonces se obtiene la analogía de homotopía del teorema de Eilenberg-Steenrod: existe una secuencia única de funtores con P, la categoría de todos los pares puntiagudos de espacios topológicos. ${\displaystyle \pi _{n}\colon P\to {\bf {Sets}}}$

Observaciones

Como hay dos "tipos" de suspensión , no reducida y reducida , también se pueden considerar secuencias de Puppe no reducidas y reducidas (al menos si se trata de espacios puntiagudos , cuando es posible formar suspensiones reducidas).

Referencias

1. Joseph J. Rotman , Introducción a la topología algebraica (1988) Springer-Verlag ISBN  0-387-96678-1 (Consulte el Capítulo 11 para la construcción).
2. John Milnor "Construcción de paquetes universales I" (1956) Anales de Matemáticas , 63 págs. 272-284.

• Edwin Spanier , Topología algebraica , Springer-Verlag (1982) Reimpresión, McGraw Hill (1966)