Fibra de homotopía

En matemáticas , especialmente en teoría de homotopía , la fibra de homotopía (a veces llamada fibra de mapeo ) ^[1] es parte de una construcción que asocia una fibración a una función continua arbitraria de espacios topológicos . Actúa como un núcleo teórico de homotopía de un mapeo de espacios topológicos debido al hecho de que produce una secuencia larga y exacta de grupos de homotopía. ${\displaystyle f:A\to B}$

${\displaystyle \cdots \to \pi _{n+1}(B)\to \pi _{n}({\text{Hofiber}}(f))\to \pi _{n}(A)\to \pi _{n}(B)\to \cdots }$

Además, la fibra de homotopía se puede encontrar en otros contextos, como el álgebra homológica, donde se distingue el triángulo

${\displaystyle C(f)_{\bullet }[-1]\to A_{\bullet }\to B_{\bullet }\xrightarrow {[+1]} }$

da una secuencia larga y exacta análoga a la secuencia larga y exacta de grupos de homotopía. Existe una construcción dual llamada cofibra de homotopía .

Construcción

La fibra de homotopía tiene una descripción sencilla para una función continua . Si reemplazamos por una fibración, entonces la fibra de homotopía es simplemente la fibra de la fibración de reemplazo. Recordemos esta construcción de reemplazo de una función por una fibración: ${\displaystyle f:A\to B}$ ${\displaystyle f}$

Dado un mapa de este tipo, podemos reemplazarlo con una fibración definiendo el espacio de caminos de mapeo como el conjunto de pares donde y (para ) un camino tal que . Damos una topología al darle el subespacio topología como un subconjunto de (donde es el espacio de caminos en el que como espacio de función tiene la topología compacta-abierta ). Entonces el mapa dado por es una fibración. Además, es homotopía equivalente a como sigue: Incrustar como un subespacio de por donde es el camino constante en . Entonces la deformación se retrae a este subespacio contrayendo los caminos. ${\displaystyle E_{f}}$ ${\displaystyle (a,\gamma )}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle \gamma :I\to B}$ ${\displaystyle I=[0,1]}$ ${\displaystyle \gamma (0)=f(a)}$ ${\displaystyle E_{f}}$ ${\displaystyle A\times B^{I}}$ ${\displaystyle B^{I}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle E_{f}\to B}$ ${\displaystyle (a,\gamma )\mapsto \gamma (1)}$ ${\displaystyle E_{f}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E_{f}}$ ${\displaystyle a\mapsto \gamma _{a}}$ ${\displaystyle \gamma _{a}}$ ${\displaystyle f(a)}$ ${\displaystyle E_{f}}$

La fibra de esta fibración (que sólo está bien definida hasta la equivalencia de homotopía) es la fibra de homotopía .

${\displaystyle {\begin{matrix}{\text{Hofiber}}(f)&\to &E_{f}\\&&\downarrow \\&&B\end{matrix}}}$

que puede definirse como el conjunto de todos los componentes con y un camino tal que y para algún punto base fijo . Una consecuencia de esta definición es que si dos puntos de están en el mismo componente conectado por camino, entonces sus fibras de homotopía son homotópicamente equivalentes. ${\displaystyle (a,\gamma )}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle \gamma :I\to B}$ ${\displaystyle \gamma (0)=f(a)}$ ${\displaystyle \gamma (1)=*}$ ${\displaystyle *\in B}$ ${\displaystyle B}$

Como límite de homotopía

Otra forma de construir la fibra de homotopía de un mapa es considerar el límite de homotopía ^{[2] pág. 21} del diagrama

${\displaystyle {\underset {\leftarrow }{\text{holim}}}\left({\begin{matrix}&&*\\&&\downarrow \\A&\xrightarrow {f} &B\end{matrix}}\right)\simeq F_{f}}$

Esto se debe a que calcular el límite de homotopía equivale a encontrar el retroceso del diagrama.

${\displaystyle {\begin{matrix}&&B^{I}\\&&\downarrow \\A\times *&\xrightarrow {f} &B\times B\end{matrix}}}$

donde el mapa vertical es el mapa de origen y destino de una ruta , por lo que ${\displaystyle \gamma :I\to B}$

${\displaystyle \gamma \mapsto (\gamma (0),\gamma (1))}$

Esto significa que el límite de homotopía está en la colección de mapas.

${\displaystyle \left\{(a,\gamma )\in A\times B^{I}:f(a)=\gamma (0){\text{ and }}\gamma (1)=*\right\}}$

que es exactamente la fibra de homotopía tal como se definió anteriormente.

Si y pueden conectarse mediante un camino en , entonces los diagramas ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle {\begin{matrix}&&x_{0}\\&&\downarrow \\A&\xrightarrow {f} &B\end{matrix}}}$

y

${\displaystyle {\begin{matrix}&&x_{1}\\&&\downarrow \\A&\xrightarrow {f} &B\end{matrix}}}$

¿Son homotópicamente equivalentes al diagrama?

${\displaystyle {\begin{matrix}&&[0,1]\\&&\downarrow {\delta }\\A&\xrightarrow {f} &B\end{matrix}}}$

y por lo tanto las fibras de homotopía de y son isomorfas en . Por lo tanto, a menudo hablamos de la fibra de homotopía de una función sin especificar un punto base. ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle {\text{hoTop}}}$

Propiedades

Fibra de homotopía de una fibración

En el caso especial de que la función original fuera una fibración con fibra , entonces la equivalencia de homotopía dada anteriormente será una función de fibraciones sobre . Esto inducirá un morfismo de sus largas secuencias exactas de grupos de homotopía , de donde (aplicando el Lema de los Cinco , como se hace en la secuencia de Puppe ) se puede ver que la función F → F _f es una equivalencia débil . Por lo tanto, la construcción dada anteriormente reproduce el mismo tipo de homotopía si ya existe uno. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A\to E_{f}}$ ${\displaystyle B}$

Dualidad con cono de mapeo

La fibra de homotopía es dual al cono de mapeo , de la misma manera que el espacio de la ruta de mapeo es dual al cilindro de mapeo . ^[3]

Ejemplos

Espacio de bucle

Dado un espacio topológico y la inclusión de un punto ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \iota :\{x_{0}\}\hookrightarrow X}$

La fibra de homotopía de este mapa es entonces

${\displaystyle \left\{(x_{0},\gamma )\in \{x_{0}\}\times X^{I}:x_{0}=\gamma (0){\text{ and }}\gamma (1)=x_{0}\right\}}$

cual es el espacio del bucle . ${\displaystyle \Omega X}$

Ver también: Fibración del espacio de trayectorias .

Desde un espacio de cobertura

Dada una cobertura universal

${\displaystyle \pi :{\tilde {X}}\to X}$

La fibra de homotopía tiene la propiedad ${\displaystyle {\text{Hofiber}}(\pi )}$

${\displaystyle \pi _{k}({\text{Hofiber}}(\pi ))={\begin{cases}\pi _{1}(X)&k<1\\0&k\geq 1\end{cases}}}$

Esto se puede comprobar observando la secuencia larga y exacta de los grupos de homotopía para la fibración. Esto se analiza más adelante observando la torre Whitehead.

Aplicaciones

Torre Postnikov

Una de las principales aplicaciones de la fibra de homotopía es la construcción de la torre de Postnikov . Para un espacio topológico (bastante bueno) , podemos construir una secuencia de espacios y mapas donde ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\{X_{n}\right\}_{n\geq 0}}$ ${\displaystyle f_{n}:X_{n}\to X_{n-1}}$

${\displaystyle \pi _{k}\left(X_{n}\right)={\begin{cases}\pi _{k}(X)&k\leq n\\0&{\text{ otherwise }}\end{cases}}}$

y

${\displaystyle X\simeq {\underset {\leftarrow }{\text{lim}}}\left(X_{k}\right)}$

Ahora bien, estos mapas se pueden construir iterativamente utilizando fibras de homotopía . Esto se debe a que podemos tomar un mapa ${\displaystyle f_{n}}$

${\displaystyle X_{n-1}\to K\left(\pi _{n}(X),n-1\right)}$

representando una clase de cohomología en

${\displaystyle H^{n-1}\left(X_{n-1},\pi _{n}(X)\right)}$

y construir la fibra de homotopía

${\displaystyle {\underset {\leftarrow }{\text{holim}}}\left({\begin{matrix}&&*\\&&\downarrow \\X_{n-1}&\xrightarrow {f} &K\left(\pi _{n}(X),n-1\right)\end{matrix}}\right)\simeq X_{n}}$

Además, observe la fibra de homotopía de es ${\displaystyle f_{n}:X_{n}\to X_{n-1}}$

${\displaystyle {\text{Hofiber}}\left(f_{n}\right)\simeq K\left(\pi _{n}(X),n\right)}$

Demostrando que la fibra de homotopía actúa como un núcleo homotópico-teórico. Nótese que este hecho puede demostrarse observando la secuencia larga y exacta de la fibración que construye la fibra de homotopía.

Mapas de la torre Whitehead

La noción dual de la torre Postnikov es la torre Whitehead que da una secuencia de espacios y mapas donde ${\displaystyle \{X^{n}\}_{n\geq 0}}$ ${\displaystyle f^{n}:X^{n}\to X^{n-1}}$

${\displaystyle \pi _{k}\left(X^{n}\right)={\begin{cases}\pi _{k}(X)&k\geq n\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

Por lo tanto , si tomamos el mapa inducido ${\displaystyle X^{0}\simeq X}$

${\displaystyle f_{0}^{n+1}:X^{n+1}\to X}$

La fibra de homotopía de este mapa recupera la -ésima aproximación postnikov ya que la secuencia exacta larga de la fibración ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X_{n}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}{\text{Hofiber}}\left(f_{0}^{n+1}\right)&\to &X^{n+1}\\&&\downarrow \\&&X\end{matrix}}}$

Nosotros conseguimos

${\displaystyle {\begin{matrix}\to &\pi _{k+1}\left({\text{Hofiber}}\left(f_{0}^{n+1}\right)\right)&\to &\pi _{k+1}(X^{n+1})&\to &\pi _{k+1}(X)&\to \\&\pi _{k}\left({\text{Hofiber}}\left(f_{0}^{n+1}\right)\right)&\to &\pi _{k}\left(X^{n+1}\right)&\to &\pi _{k}(X)&\to \\&\pi _{k-1}\left({\text{Hofiber}}\left(f_{0}^{n+1}\right)\right)&\to &\pi _{k-1}\left(X^{n+1}\right)&\to &\pi _{k-1}(X)&\to \end{matrix}}}$

lo que da isomorfismos

${\displaystyle \pi _{k-1}\left({\text{Hofiber}}\left(f_{0}^{n+1}\right)\right)\cong \pi _{k}(X)}$

para . ${\displaystyle k\leq n}$

Véase también

• Cofibra de homotopía
• Cuasi-fibración
• Resolución de Adams

Referencias

1. Joseph J. Rotman, Introducción a la topología algebraica (1988) Springer-Verlag ISBN  0-387-96678-1 (Consulte el Capítulo 11 para la construcción).
2. Dugger, Daniel. "A Primer on Homotopy Colímites" (PDF) . Archivado (PDF) del original el 3 de diciembre de 2020.
3. JP May, Un curso conciso en topología algebraica , (1999) Chicago Lectures in Mathematics ISBN 0-226-51183-9 (Ver capítulos 6,7.) 

• Hatcher, Allen (2002), Topología algebraica, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0.