En topología algebraica , una cuasifibración es una generalización de los haces de fibras y fibraciones introducida por Albrecht Dold y René Thom . En términos generales, es una función continua p : E → B que tiene el mismo comportamiento que una fibración con respecto a los grupos de homotopía (relativos) de E , B y p −1 ( x ). De manera equivalente, se puede definir una cuasifibración como una función continua tal que la inclusión de cada fibra en su fibra de homotopía es una equivalencia débil . Una de las principales aplicaciones de las cuasifibraciones radica en demostrar el teorema de Dold-Thom .
Una función sobreyectiva continua de espacios topológicos p : E → B se denomina cuasifibración si induce isomorfismos.
para todo x ∈ B , y ∈ p −1 ( x ) e i ≥ 0. Para i = 0,1 sólo se puede hablar de biyecciones entre los dos conjuntos.
Por definición, las cuasifibraciones comparten una propiedad clave de las fibraciones, a saber, que una cuasifibración p : E → B induce una secuencia larga y exacta de grupos de homotopía.
como se desprende directamente de la secuencia larga y exacta para el par ( E , p −1 ( x )).
Esta larga secuencia exacta también es funcional en el siguiente sentido: cualquier función de fibra f : E → E′ induce un morfismo entre las secuencias exactas de los pares ( E , p −1 ( x )) y ( E′ , p′ −1 ( x )) y, por lo tanto, un morfismo entre las secuencias exactas de una cuasifibración. Por lo tanto, el diagrama
conmuta con f 0 siendo la restricción de f a p −1 ( x ) y x′ siendo un elemento de la forma p′ ( f ( e )) para un e ∈ p −1 ( x ).
Una definición equivalente es decir que una función sobreyectiva p : E → B es una cuasifibración si la inclusión de la fibra p −1 ( b ) en la fibra de homotopía F b de p sobre b es una equivalencia débil para todo b ∈ B . Para ver esto, recordemos que F b es la fibra de q bajo b donde q : E p → B es la construcción habitual de fibración de trayectorias . Por lo tanto, se tiene
y q está dada por q ( e , γ) = γ(1). Ahora consideremos la equivalencia de homotopía natural φ : E → E p , dada por φ( e ) = ( e , p ( e )), donde p ( e ) denota la trayectoria constante correspondiente. Por definición, p se factoriza a través de E p de modo que se obtiene un diagrama conmutativo
Aplicando π n obtenemos la definición alternativa.
Lo que sigue es una consecuencia directa de la definición alternativa de una fibración utilizando la fibra de homotopía:
Un corolario de este teorema es que todas las fibras de una cuasifibración son débilmente homotópicamente equivalentes si el espacio base está conexo por trayectorias , como es el caso de las fibraciones.
Comprobar si una función dada es una cuasifibración suele ser bastante tedioso. Los dos teoremas siguientes están diseñados para facilitar este problema. Utilizarán la siguiente noción: Sea p : E → B una función continua. Un subconjunto U ⊂ p ( E ) se dice distinguido (con respecto a p ) si p : p −1 ( U ) → U es una cuasifibración.
Para ver que la última afirmación es válida, sólo hay que tener en cuenta que las imágenes continuas de conjuntos compactos en B ya se encuentran en algún B n . De esa manera, se puede reducir al caso en que la afirmación es conocida. Estos dos teoremas significan que basta con mostrar que una función dada es una cuasifibración en ciertos subconjuntos. Luego se pueden unir estos datos para ver que se cumple en subconjuntos mayores y, finalmente, utilizando un argumento limitante, se ve que la función es una cuasifibración en todo el espacio. Este procedimiento se ha utilizado, por ejemplo, en la demostración del teorema de Dold-Thom.
