En topología algebraica , el teorema de Dold-Thom establece que los grupos de homotopía del producto simétrico infinito de un complejo CW conectado son los mismos que sus grupos de homología reducidos . La versión más común de su prueba consiste en demostrar que la composición de los functores del grupo de homotopía con el producto simétrico infinito define una teoría de homología reducida. Una de las principales herramientas utilizadas para ello son las cuasifibraciones . El teorema se ha generalizado de varias maneras, por ejemplo mediante el teorema del isomorfismo de Almgren .
Hay varios otros teoremas que constituyen relaciones entre homotopía y homología, por ejemplo el teorema de Hurewicz . Otro enfoque viene dado por la teoría de la homotopía estable . Gracias al teorema de suspensión de Freudenthal se puede ver que este último define en realidad una teoría de la homología. Sin embargo, ninguno de estos permite reducir directamente la homología a homotopía. Esta ventaja del teorema de Dold-Thom lo hace particularmente interesante para la geometría algebraica .
También es muy útil que exista un isomorfismo φ : π n SP( X ) → H̃ n ( X ) que es compatible con el homomorfismo de Hurewicz h : π n ( X ) → H̃ n ( X ), lo que significa que se tiene un diagrama conmutativo
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donde i * es el mapa inducido por la inclusión i : X = SP 1 ( X ) → SP( X ).
El siguiente ejemplo ilustra que el requisito de que X sea un complejo CW no se puede dejar de lado: Sea X = C H ∨ C H la suma en cuña de dos copias del cono sobre el arete hawaiano . Se supone que el punto común de las dos copias es el punto 0 ∈ H que cruza cada círculo. Por un lado, H 1 ( X ) es un grupo infinito [1] mientras que H 1 ( C H ) es trivial. Por otro lado, π 1 (SP( X )) ≅ π 1 (SP( C H )) × π 1 (SP( C H )) se cumple ya que φ : SP( X ) × SP( Y ) → SP( X ∨ Y ) definido por φ([ x 1 , ..., x n ], [ y 1 , ..., y n ]) = ([ x 1 , ..., x n , y 1 , ... , y n ]) es un homeomorfismo para X e Y compactos .
Pero esto implica que π 1 (SP( C H )) ≅ H 1 ( C H ) o π 1 (SP( X )) ≅ H 1 ( X ) no se cumple.
Se quiere demostrar que la familia de functores h n = π n ∘ SP define una teoría de homología . Dold y Thom eligieron en su prueba inicial una ligera modificación de los axiomas de Eilenberg-Steenrod , es decir, llamar a una familia de functores ( h̃ n ) n ∈ N 0 desde la categoría de complejos CW conectados y con base a la categoría de grupos abelianos como una homología reducida. teoría si satisfacen
Se puede demostrar que para una teoría de homología reducida ( h̃ n ) n ∈ N 0 existe un isomorfismo natural h̃ n ( X ) ≅ H̃ n ( X ; G ) con G = h̃ 1 ( S 1 ). [2]
Claramente, h n es un funtor que cumple la propiedad 1 ya que SP es un funtor de homotopía. Además, la tercera propiedad es clara ya que se tiene SP( S 1 ) ≃ S 1 . Así que sólo queda verificar los axiomas 2 y 4. El quid de esta tarea será el primer punto. Aquí es donde entran en juego las cuasifibraciones :
El objetivo es demostrar que el mapa p * : SP( X ) → SP( X / A ) inducido por el mapa cociente p : X → X / A es una cuasifibración para un par CW ( X , A ) que consta de complejos conectados . En primer lugar, como cada complejo CW es homotópicamente equivalente a un complejo simplicial, [3] se puede suponer que X y A son complejos simpliciales . Además, X será reemplazado por el cilindro de mapeo de la inclusión A → X . Esto no cambiará nada ya que SP es un funtor de homotopía. Basta demostrar por inducción que p * : E n → B n es una cuasifibración con B n = SP n ( X / A ) y E n = p * −1 ( B n ). Para n = 0 esto se cumple trivialmente. En el paso de inducción, se descompone B n en una vecindad abierta de B n −1 y B n − B n −1 y se muestra que estos dos conjuntos, junto con su intersección, se distinguen, es decir, que p está restringido a cada una de las preimágenes. de estos tres conjuntos es una cuasifibración. Se puede demostrar que B n ya se distingue por sí mismo. Por lo tanto, p * es de hecho una cuasifibración de todo SP( X ) y la larga secuencia exacta de tal implica que el axioma 2 se satisface ya que se cumple p * −1 ([e]) ≅ SP( A ).
Uno podría preguntarse si p * ni siquiera es una fibración. Sin embargo, resulta que ese no es el caso: tomar un camino arbitrario x t para t ∈ [0, 1) en X − A acercándose a algún a ∈ A e interpretarlo como un camino en X / A ⊂ SP( X / A ). Entonces, cualquier elevación de este camino hacia SP( X ) es de la forma x t α t con α t ∈ A para cada t . Pero esto significa que su punto final a α 1 es múltiplo de a , por lo tanto, diferente del punto base, por lo que la propiedad de elevación de homotopía no se cumple.
La verificación del cuarto axioma se puede realizar de forma bastante elemental, a diferencia del anterior.
Hay que tener en cuenta que existe una variedad de pruebas diferentes, aunque ésta parece ser la más popular. Por ejemplo, las pruebas se han establecido mediante homología de factorización o conjuntos simpliciales . También se puede probar el teorema utilizando otras nociones de una teoría de homología (por ejemplo, los axiomas de Eilenberg-Steenrod).
Para verificar la compatibilidad con el homomorfismo de Hurewicz, basta demostrar que la afirmación es válida para X = S n . Esto se debe a que entonces se obtiene un prisma.
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para cada Elemento [ f ] ∈ π n ( X ) representado por un mapa f : S n → X . Todos los lados, excepto posiblemente el que está en la parte inferior, se desplazan en este diagrama. Por lo tanto, se ve que todo el diagrama conmuta al considerar dónde se asigna 1 ∈ π n ( S n ) ≅ Z. Sin embargo, al utilizar los isomorfismos de suspensión para los grupos de homotopía y homología respectivamente, la tarea se reduce a mostrar la afirmación para S 1 . Pero en este caso la inclusión SP 1 ( S 1 ) → SP( S 1 ) es una equivalencia de homotopía.
Una consecuencia directa del teorema de Dold-Thom es una nueva forma de derivar la secuencia de Mayer-Vietoris . Se obtiene el resultado formando primero el cuadrado de expulsión de homotopía de las inclusiones de la intersección A ∩ B de dos subespacios A , B ⊂ X en A y B. Luego se aplica SP a ese cuadrado y finalmente π * al cuadrado de retroceso resultante. [4]
Otra aplicación es una nueva demostración de un teorema enunciado por primera vez por Moore. Básicamente predica lo siguiente:
Tenga en cuenta que SP( Y ) tiene esta propiedad para cada complejo CW Y conectado y que, por lo tanto, tiene el tipo de homotopía débil de un espacio de Eilenberg-MacLane generalizado. El teorema equivale a decir que todos los k -invariantes de un espacio H conmutativo y asociativo conexo por caminos con unidad estricta desaparecen.
Sea G n = π n ( X ). Entonces existen mapas M ( G n , n ) → X que inducen un isomorfismo en π n si n ≥ 2 y un isomorfismo en H 1 si n = 1 para un espacio de Moore M ( G n , n ). [5] Estos dan un mapa.
si se considera que los mapas preservan el punto de base. Entonces la estructura especial del espacio H de X produce un mapa
dado resumiendo las imágenes de las coordenadas. Pero como existen homeomorfismos naturales
con Π denotando el producto débil, f induce isomorfismos en π n para n ≥ 2. Pero como π 1 ( X ) → π 1 SP( X ) = H 1 ( X ) inducido por la inclusión X → SP( X ) es el Homomorfismo de Hurewicz y como los espacios H tienen grupos fundamentales abelianos, f también induce isomorfismos en π 1 . Gracias al teorema de Dold-Thom, cada SP( M ( G n , n )) es ahora un espacio de Eilenberg-MacLane K ( G n , n ). Esto también implica que la inclusión natural del producto débil Π n SP( M ( G n , n )) en el producto cartesiano es una equivalencia de homotopía débil. Por tanto, X tiene el tipo de homotopía débil de un espacio de Eilenberg-MacLane generalizado.
Lo que distingue al teorema de Dold-Thom de otros fundamentos alternativos de la homología como la cohomología de Cech o Alexander-Spanier es que es de particular interés para la geometría algebraica, ya que permite reformular la homología únicamente utilizando la homotopía. Dado que la aplicación de métodos de topología algebraica puede resultar muy reveladora en este campo, se intenta transferirlos a la geometría algebraica. Esto podría lograrse para la teoría de la homotopía, pero para la teoría de la homología sólo de una manera bastante limitada utilizando una formulación mediante gavillas . Por tanto, el teorema de Dold-Thom proporciona una base de homología que tiene un análogo algebraico. [6]
