Producto simétrico (topología)

En topología algebraica , el enésimo producto simétrico ^de un espacio topológico consta de las n -tuplas desordenadas de sus elementos. Si uno fija un punto base , existe una forma canónica de incrustar los productos simétricos de dimensiones inferiores en los de dimensiones superiores. De esa forma, se puede considerar el colimit sobre los productos simétricos, el producto simétrico infinito. Esta construcción se puede ampliar fácilmente para obtener un funtor de homotopía.

Desde un punto de vista algebraico, el producto simétrico infinito es el monoide conmutativo libre generado por el espacio menos el punto base, el punto base que produce el elemento identidad. De esa manera, podemos verlo como la versión abeliana del producto reducido de James .

Una de sus aplicaciones esenciales es el teorema de Dold-Thom , que establece que los grupos de homotopía del producto simétrico infinito de un complejo CW conectado son los mismos que los grupos de homología reducida de ese complejo. De esa manera, se puede dar una definición homotópica de homología .

Definición

Sea X un espacio topológico y n ≥ 1 un número natural. Defina el n- ^ésimo producto simétrico de X o el n -producto simétrico de X como el espacio

${\displaystyle \operatorname {SP} ^{n}(X)=X^{n}/S_{n}.}$

Aquí, el grupo simétrico S _n actúa sobre X ⁿ permutando los factores. Por lo tanto, los elementos de SP ⁿ ( X ) son las n -tuplas desordenadas de elementos de X . Escribe [ x ₁ , ..., x _n ] para el punto en SP ⁿ ( X ) definido por ( x ₁ , ..., x _n ) ∈ X ⁿ .

Tenga en cuenta que se puede definir el enésimo producto ^simétrico en cualquier categoría donde existan productos y colimits . Es decir, entonces se tienen isomorfismos canónicos φ : X × Y → Y × X para cualquier objeto X e Y y se puede definir la acción de la transposición sobre X ⁿ como , induciendo así una acción del conjunto S _n sobre X ⁿ . Esto significa que también se pueden considerar productos simétricos de objetos como conjuntos simpliciales . Además, si la categoría es cartesiana cerrada , la ley distributiva X × ( Y ∐ Z ) ≅ X × Y ∐ X × Z se cumple y por lo tanto se obtiene ${\displaystyle (k\ k+1)\in S_{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {Id} ^{k-1}\times \phi \times \operatorname {Id} ^{n-k-1}}$

${\displaystyle \operatorname {SP} ^{n}(X\amalg Y)=\coprod _{k=0}^{n}\operatorname {SP} ^{k}(X)\times \operatorname {SP} ^{n-k}(Y).}$

Si ( X , e ) es un espacio basado, es común establecer SP ⁰ ( X ) = { e }. Además, X ⁿ se puede incrustar en X ^{n +1} enviando ( x ₁ , ..., x _n ) a ( x ₁ , ..., x _n , e ). Esto induce claramente una incorporación de SP ⁿ ( X ) en SP ^{n +1} ( X ). Por lo tanto, el producto simétrico infinito se puede definir como

${\displaystyle \operatorname {SP} (X)=\operatorname {colim} \operatorname {SP} ^{n}(X).}$

Se puede dar una definición que evite las nociones de teoría de categorías tomando SP( X ) como la unión de la secuencia creciente de espacios SP ⁿ ( X ) equipados con la topología de límite directo . Esto significa que un subconjunto de SP( X ) es abierto si y sólo si todas sus intersecciones con el SP ⁿ ( X ) están abiertas. Definimos el punto base de SP( X ) como [ e ]. De esa manera, SP( X ) también se convierte en un espacio basado.

También se puede generalizar esta definición a categorías específicas donde existen productos y colimits. Es decir, en este caso se tiene una aplicación canónica X ⁿ → X ^{n +1} , inducida por la identidad X ⁿ → X ⁿ y la aplicación cero X ⁿ → X . Entonces, esto también da como resultado un sistema directo de productos simétricos y, por lo tanto, se puede definir su colímite como el producto simétrico infinito.

Ejemplos

• SP ⁿ ( I ) es lo mismo que el estándar simplex de n dimensiones Δ ⁿ , donde I denota el intervalo unitario.
• SP ⁿ ( S ¹ ) se puede identificar con el espacio de clases de conjugación de matrices unitarias n × n , donde se supone que S ¹ es el círculo. Esto se debe a que dicha clase está determinada únicamente por los valores propios de un elemento de la clase, todos ubicados en S ¹ . Al principio, se puede ver fácilmente que este espacio es homotópicamente equivalente a S ¹ : como SP ⁿ es un funtor de homotopía (ver Propiedades), el espacio en cuestión es homotópicamente equivalente a SP ⁿ ( C − {0}). Considere el mapa SP ⁿ ( C − {0}) → P _n en el espacio P _n de polinomios sobre C de grado como máximo n , mapeando [ w ₁ , ..., w _n ] a ( z - w ₁ ) ⋅ ⋅⋅ ( z - w _norte ). De esta manera, se puede identificar SP ⁿ ( C − {0}) con el espacio de polinomios mónicos de grado n que tienen un término constante diferente de cero, es decir, C ^{n − 1} × ( C − {0}), que es equivalente a homotopía. a S1 .^​ Esto implica que el producto simétrico infinito SP( S ¹ ) también es equivalente en homotopía a S ¹ . Sin embargo, se sabe mucho más sobre el espacio SP ⁿ ( S ¹ ). Es decir, que el mapa
  ${\displaystyle {\begin{aligned}\qquad \operatorname {SP} ^{n}(S^{1})&\to S^{1},\\{\color {white}.}[w_{1},\dots ,w_{n}]&\mapsto w_{1}\cdots w_{n}\end{aligned}}}$
  es un haz de fibras siendo la fibra homeomorfa al simplex estándar ( n − 1) dimensional ∆ ^{n −1} . Es orientable si y sólo si n es impar. ^{[1] [2]}
• SP( S ² ) es homeomorfo al espacio proyectivo complejo de dimensión infinita CP ^∞ de la siguiente manera: El espacio CP ⁿ se puede identificar con el espacio de polinomios distintos de cero de grado como máximo n sobre C hasta la multiplicación escalar enviando un ₀ + . .. + a _n z ⁿ a la línea que pasa por ( a ₀ , ..., a _n ). Interpretar S ² como la esfera de Riemann C ∪ {∞} produce un mapa
  ${\displaystyle {\begin{aligned}\qquad f\colon (S^{2})^{n}&\to \mathbf {CP} ^{n},\\(a_{1},\dots ,a_{n})&\mapsto (z+a_{1})\cdots (z+a_{n}),\end{aligned}}}$
  donde se omiten los posibles factores z + ∞. Se puede comprobar que este mapa efectivamente es continuo. ^[3] Como f ( a ₁ , ..., _an ) permanece sin cambios bajo la permutación de los a _i , f induce una biyección continua SP ⁿ (S ² ) → CP ⁿ . Pero como ambos son espacios compactos de Hausdorff , esta aplicación es un homeomorfismo . Dejando que n llegue al infinito se demuestra que la afirmación se cumple.

Aunque calcular SP( S ⁿ ) para n ≥ 3 resulta bastante difícil, aún se puede describir bastante bien SP ² ( S ⁿ ) como el cono de mapeo de un mapa Σ ⁿ RP ^n-1 → S ⁿ , donde Σ ⁿ significa aplicar la suspensión reducida n veces y RP ^{n −1} es el espacio proyectivo real ( n − 1) dimensional : se puede ver SP ² ( S ⁿ ) como un cierto cociente de D ⁿ × D ⁿ identificando S ⁿ con re ^norte /∂ re ^norte . Interpretando D ⁿ × D ⁿ como el cono en su límite D ⁿ × ∂ D ⁿ ∪ ∂ D ⁿ × D ⁿ , las identificaciones para SP ² respetan las copias concéntricas del límite. Por lo tanto, basta con considerar sólo estos. Las identificaciones en el límite ∂ D ⁿ × D ⁿ ∪ D ⁿ × ∂ D ⁿ de D ⁿ × D ⁿ en sí producen S ⁿ . Esto está claro ya que es un cociente de D ⁿ × ∂ D ⁿ y como ∂ D ⁿ se colapsa en un punto en S ⁿ . Las identificaciones en las otras copias concéntricas del límite producen el espacio cociente Z de D ⁿ × ∂ D ⁿ , obtenido identificando ( x , y ) con ( y , x ) siempre que ambas coordenadas se encuentren en ∂ D ⁿ . Defina un mapa f : D ⁿ × RP ^{n −1} → Z enviando un par ( x , L ) a ( w , z ). Aquí, z ∈ ∂ D ⁿ y w ∈ D ⁿse eligen en la línea que pasa por x paralela a L tal que x es su punto medio. Si x es el punto medio del segmento zz′ , no hay forma de distinguir entre z y w , pero esto no es un problema ya que f toma valores en el espacio cociente Z. Por tanto, f está bien definida. Como f ( x , L ) = f ( x , L′ ) se cumple para cada x ∈ ∂ D ⁿ , f se factoriza a través de Σ ⁿ RP ^{n −1} y se ve fácilmente que es un homeomorfismo en este dominio.

Propiedades

estructura del espacio H

Como SP( X ) es el monoide conmutativo libre generado por X − { e } con elemento de identidad e , se puede considerar como un análogo conmutativo del producto reducido de James J ( X ). Esto significa que SP( X ) es el cociente de J ( X ) obtenido identificando puntos que difieren sólo por una permutación de coordenadas. Por lo tanto, la estructura del espacio H en J ( X ) induce una en SP ( X ) si X es un complejo CW, lo que lo convierte en un espacio H conmutativo y asociativo con identidad estricta. Como tal, el teorema de Dold-Thom implica que todos sus k -invariantes desaparecen, lo que significa que tiene el tipo de homotopía débil de un espacio de Eilenberg-MacLane generalizado si X está conexo por caminos. ^[4] Sin embargo, si X es un espacio arbitrario, la multiplicación en SP( X ) puede no ser continua. ^[5]

Funcionalidad

SP ⁿ es un funtor de homotopía: Un mapa f : X → Y induce claramente un mapa SP ⁿ ( f ) : SP ⁿ ( X ) → SP ⁿ ( Y ) dado por SP ⁿ ( f )[ x ₁ , ..., x _norte ] = [ f ( x ₁ ), ..., f ( x _norte )]. Una homotopía entre dos mapas f , g : X → Y produce uno entre SP ⁿ ( f ) y SP ⁿ ( g ). Además, se puede ver fácilmente que el diagrama

conmuta, lo que significa que SP también es un funtor . De manera similar, SP es incluso un functor de homotopía en la categoría de espacios puntiagudos y clases de mapas de homotopía que preservan el punto base. En particular, X ≃ Y implica SP ⁿ ( X ) ≃ SP ⁿ ( Y ), pero en general no SP( X ) ≃ SP( Y ) ya que la equivalencia de homotopía puede verse afectada al requerir que los mapas y homotopías preserven el punto de base. Sin embargo, este no es el caso si se requiere que X e Y sean complejos CW conectados. ^[6]

Estructura simple y CW.

SP( X ) hereda ciertas estructuras de X : Para un complejo simplicial X , también se puede instalar una estructura simplicial en X ⁿ tal que cada n -permutación sea la identidad en un simplex o un homeomorfismo de un simplex a otro. Esto significa que se obtiene una estructura simple en SP ⁿ ( X ). Además, SP ⁿ ( X ) también es un subsímplejo de SP ^{n +1} ( X ) si el punto base e ∈ X es un vértice, lo que significa que SP( X ) hereda una estructura simplicial también en este caso. ^[7] Sin embargo, se debe tener en cuenta que X ⁿ y SP ⁿ ( X ) no necesitan tener la topología débil si X tiene incontables símbolos simples. ^[8] Se puede hacer una afirmación análoga si X es un complejo CW. Sin embargo, todavía es posible equipar a SP( X ) con la estructura de un complejo CW de modo que ambas topologías tengan los mismos conjuntos compactos si X es un complejo simplicial arbitrario. ^[9] Por lo tanto, la distinción entre las dos topologías no causará ninguna diferencia a efectos de homotopía, por ejemplo

homotopía

Uno de los principales usos de los productos simétricos infinitos es el teorema de Dold-Thom. Afirma que los grupos de homología reducidos coinciden con los grupos de homotopía del producto simétrico infinito de un complejo CW conectado. Esto permite reformular la homología únicamente utilizando la homotopía, lo que puede resultar muy útil en geometría algebraica . También significa que el functor SP asigna espacios de Moore M ( G , n ) a espacios de Eilenberg-MacLane K ( G , n ). Por lo tanto, proporciona una forma natural de construir estos últimos espacios dados los espacios de Moore adecuados.

También se ha estudiado cómo otras construcciones combinadas con el producto simétrico infinito afectan a los grupos de homotopía. Por ejemplo, se ha demostrado que el mapa

${\displaystyle \rho \colon \operatorname {SP} (X)\to \Omega \operatorname {SP} (\Sigma X),\quad \rho [x_{1},\dots ,x_{n}](t)=[(x_{1},t),\dots ,(x_{n},t)]}$

es una equivalencia de homotopía débil, donde Σ X = X ∧ S ¹ denota la suspensión reducida y Ω Y representa el espacio de bucle del espacio puntiagudo Y. ^[10]

Homología

Como era de esperar, los grupos de homología del producto simétrico no pueden describirse tan fácilmente como los grupos de homotopía. Sin embargo, se sabe que los grupos de homología del producto simétrico de un complejo CW están determinados por los grupos de homología del complejo. Más precisamente, si X e Y son complejos CW y R es un dominio ideal principal tal que H _i ( X , R ) ≅ H _i ( Y , R ) para todo i ≤ k , entonces Hi ₍ SP ⁿ ( X ), R ) ≅ H _i (SP ⁿ ( Y ), R ) también se cumple para todo i ≤ k . Esto se puede generalizar a Γ-productos, definidos en la siguiente sección. ^[11]

Para un conjunto simplicial K , se tiene además

${\displaystyle H_{*}(\operatorname {SP} ^{n+1}(K))\cong H_{*}(\operatorname {SP} ^{n+1}(K),\operatorname {SP} ^{n}(K))\oplus H_{*}(\operatorname {SP} ^{n}(K)).}$

Pasando a las realizaciones geométricas , se ve que esta afirmación también es válida para complejos CW conectados. ^[12] La inducción produce además

${\displaystyle H_{*}(\operatorname {SP} (K))\cong \bigoplus _{n=1}^{\infty }H_{*}(\operatorname {SP} ^{n}(K),\operatorname {SP} ^{n-1}(K)).}$^[13]

Construcciones y generalizaciones relacionadas.

S. Liao introdujo una versión ligeramente más general de productos simétricos, llamados Γ-productos para un subgrupo Γ del grupo simétrico S _n . ^[14] La operación fue la misma y por eso definió X ^Γ = X ⁿ /Γ como el Γ-producto de X. Eso le permitió estudiar productos cíclicos , siendo también el caso especial de Γ el grupo cíclico .

Al establecer el teorema de Dold-Thom, también consideraron el "grupo cociente" Z [ X ] de SP( X ). Este es el grupo abeliano libre sobre X con el punto base como elemento cero. Si X es un complejo CW, es incluso un grupo topológico . Para dotar a este grupo de una topología, Dold y Thom lo introdujeron inicialmente como el siguiente cociente sobre el producto simétrico infinito de la suma cuña de X con una copia de sí mismo: Sea τ : X ∨ X → X ∨ X intercambiando los mandamientos. Además, sea ~ la relación de equivalencia en SP( X ∨ X ) generada por

${\displaystyle x\sim x+y+\operatorname {SP} (\tau )(y)}$

para x , y ∈ SP( X ∨ X ). Entonces se puede definir Z [ X ] como

${\displaystyle \mathbb {Z} [X]=\operatorname {SP} (X\vee X)/\sim .}$

Dado que ~ es compatible con la suma en SP( X ∨ X ), se obtiene una suma asociativa y conmutativa en Z [ X ]. También se tienen las inclusiones topológicas X ⊂ SP( X ) ⊂ Z [ X ] ^[15] y se puede ver fácilmente que esta construcción tiene propiedades similares a las de SP, como ser un functor.

McCord dio una construcción que generaliza tanto SP( X ) como Z [ X ]: Sea G un monoide con elemento de identidad 1 y sea ( X , e ) un conjunto puntiagudo. Definir

${\displaystyle B(G,X)=\{u\colon X\to G:u(e)=1{\text{ and }}u(x)=1{\text{ for all but finitely many }}x\in X\}.}$

Entonces B ( G , X ) es nuevamente un monoide bajo multiplicación puntual que se denotará por ⋅. Sea gx el elemento de B ( G , X ) que toma el valor g en x y es 1 en otro lugar para g ∈ G , x ∈ X − { e }. Además, ge denotará que la función es 1 en todas partes, la unidad de B ( G , X ).

Para instalar una topología en B ( G , X ), es necesario exigir que X se genere de forma compacta y que G sea un monoide topológico abeliano . Defina B _n ( G , X ) como el subconjunto de B ( G , X ) que consta de todos los mapas que difieren de la función constante 1 en no más de n puntos. B _n ( G , X ) se equipa con la topología final del mapa

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{n}\colon (G\times X)^{n}&\to B_{n}(G,X),\\((g_{1},x_{1}),\dots ,(g_{n},x_{n}))&\mapsto g_{1}x_{1}\cdots g_{n}x_{n}.\end{aligned}}}$

Ahora, B _n ( G , X ) es un subconjunto cerrado de B _n+1 ( G , X ). ^[16] Entonces B ( G , X ) puede equiparse con la topología de límite directo, convirtiéndolo nuevamente en un espacio generado de forma compacta. Entonces se puede identificar SP( X ) respectivamente Z [ X ] con B ( N , X ) respectivamente B ( Z , X ).

Además, B (⋅,⋅) es functorial en el sentido de que B : C × D → C es un bifunctor porque C es la categoría de monoides topológicos abelianos y D es la categoría de complejos CW puntiagudos. ^[17] Aquí, se define el mapa B (φ, f ): B ( G , X ) → B ( H , Y ) para un morfismo φ: G → H de monoides topológicos abelianos y un mapa continuo f : X → Y como

${\displaystyle B(\varphi ,f)(g_{1}x_{1}\cdots g_{n}x_{n})=(\varphi g_{1})(fx_{1})\cdots (\varphi g_{n})(fx_{n})}$

para todo gramo _yo ∈ GRAMO y x _yo ∈ X . Como en los casos anteriores, se ve que una homotopía basada f _t  : X → Y induce una homotopía B (Id, ft ₎ : B ( G , X ) → B ( G , Y ) para un monoide topológico abeliano G .

Utilizando esta construcción, se puede generalizar el teorema de Dold-Thom. Es decir, para un módulo discreto M sobre un anillo conmutativo con unidad se tiene

${\displaystyle [X,B(M,Y)]\cong \prod _{n=0}^{\infty }{\tilde {H}}^{n}(X,{\tilde {H}}_{n}(Y,M))}$

para espacios basados ​​X e Y que tienen el tipo de homotopía de un complejo CW. ^[18] Aquí, H̃ _n denota homología reducida y [ X , Z ] representa el conjunto de todas las clases de homotopía basadas en mapas X → Z que preservan el punto base . Como M es un módulo, [ X , B ( M , Y )] tiene una estructura de grupo obvia. Insertando X = S ⁿ y M = Z se obtiene el teorema de Dold-Thom para Z [ X ].

Es digno de mención también que B ( G , S ¹ ) es un espacio de clasificación para G si G es un grupo topológico tal que la inclusión {1} → G es una cofibración . ^[19]

Notas

1. Morton, Hugh R. (1967). "Productos simétricos del círculo". Actas matemáticas de la Sociedad Filosófica de Cambridge . vol. 63. Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 349–352.
2. Producto simétrico de círculos en nLab
3. Hatcher (2002), Ejemplo 4K.4
4. Dold y Thom (1958), Satz 7.1
5. Spanier (1959), nota al pie 2
6. Hatcher (2002), página 481
7. Aguilar, Gitler y Prieto (2008), Nota 5.2.2
8. Dold y Thom (1958), 3.3
9. Hatcher (2002), páginas 482-483
10. Spanier (1959), Teorema 10.1
11. Dold (1958), Teorema 7.2
12. Milgram, R. James (1969), "La homología de productos simétricos", Transactions of the American Mathematical Society , 138 : 251–265
13. Spanier (1959), Teorema 7.2
14. Liao (1954)
15. Dold y Thom (1958), 4,7
16. McCord (1969), Lema 6.2
17. McCord (1969), Corolario 6.9
18. McCord (1969), Teorema 11.5
19. McCord (1969), Teorema 9.17

Referencias

• Aguilar, Marcelo; Gitler, Samuel; Prieto, Carlos (2008). Topología algebraica desde un punto de vista homotópico . Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 978-0-387-22489-3.
• Dold, Albrecht (1958), "Homología de productos simétricos y otros functores de complejos", Annals of Mathematics : 54–80
• Döld, Albrecht; Thom, René (1958), "Quasifaserungen und unendliche symmetrische Produkte", Annals of Mathematics , segunda serie, 67 (2): 239–281, doi :10.2307/1970005, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970005, MR  0097062
• Hatcher, Allen (2002). Topología algebraica. Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-79540-1.
• Liao, SD (1954), "Sobre la topología de productos cíclicos de esferas", Transactions of the American Mathematical Society , 77 (3): 520–551
• McCord, Michael C. (1969), "Clasificación de espacios y productos simétricos infinitos", Transactions of the American Mathematical Society , 146 : 273–298
• Piccinini, Renzo A. (1992). Conferencias sobre teoría de la homotopía . Elsevier. ISBN 9780080872827.
• Spanier, Edwin (1959), "Productos simétricos infinitos, espacios funcionales y dualidad", Annals of Mathematics : 142–198

enlaces externos

• ¿Producto simétrico en categorías arbitrarias? en MathOverflow