Homología reducida

En matemáticas , la homología reducida es una modificación menor que se hace a la teoría de homología en la topología algebraica , motivada por la intuición de que todos los grupos de homología de un único punto deben ser iguales a cero. Esta modificación permite hacer afirmaciones más concisas (como en la dualidad de Alexander ) y elimina muchos casos excepcionales (como en los grupos de homología de esferas ).

Si P es un espacio de un solo punto, entonces con las definiciones habituales el grupo de homología integral

H0 ( P )_​

es isomorfo a (un grupo cíclico infinito ), mientras que para i ≥ 1 tenemos ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Hi ( P ) ₌ {0}.

De manera más general, si X es un complejo simplicial o un complejo CW finito , entonces el grupo H ₀ ( X ) es el grupo abeliano libre con los componentes conexos de X como generadores. La homología reducida debería reemplazar este grupo, de rango r, por ejemplo, por uno de rango r − 1. De lo contrario, los grupos de homología deberían permanecer sin cambios. Una forma ad hoc de hacer esto es pensar en una clase de homología 0-ésima no como una suma formal de componentes conexos, sino como una suma formal donde los coeficientes suman cero.

En la definición habitual de homología de un espacio X , consideramos el complejo de cadena

${\displaystyle \dotsb {\overset {\partial _{n+1}}{\longrightarrow \,}}C_{n}{\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow \,}}C_{n-1}{\overset {\partial _{n-1}}{\longrightarrow \,}}\dotsb {\overset {\partial _{2}}{\longrightarrow \,}}C_{1}{\overset {\partial _{1}}{\longrightarrow \,}}C_{0}{\overset {\partial _{0}}{\longrightarrow \,}}0}$

y definir los grupos de homología por . ${\displaystyle H_{n}(X)=\ker(\partial _{n})/\mathrm {im} (\partial _{n+1})}$

Para definir la homología reducida, comenzamos con el complejo de cadena aumentada .

${\displaystyle \dotsb {\overset {\partial _{n+1}}{\longrightarrow \,}}C_{n}{\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow \,}}C_{n-1}{\overset {\partial _{n-1}}{\longrightarrow \,}}\dotsb {\overset {\partial _{2}}{\longrightarrow \,}}C_{1}{\overset {\partial _{1}}{\longrightarrow \,}}C_{0}{\overset {\epsilon }{\longrightarrow \,}}\mathbb {Z} \to 0}$

donde . Ahora definimos los grupos de homología reducidos por ${\displaystyle \epsilon \left(\sum _{i}n_{i}\sigma _{i}\right)=\sum _{i}n_{i}}$

${\displaystyle {\tilde {H}}_{n}(X)=\ker(\partial _{n})/\mathrm {im} (\partial _{n+1})}$para n positivo y . ${\displaystyle {\tilde {H}}_{0}(X)=\ker(\epsilon )/\mathrm {im} (\partial _{1})}$

Se puede demostrar que ; evidentemente para todo n positivo . ${\displaystyle H_{0}(X)={\tilde {H}}_{0}(X)\oplus \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle H_{n}(X)={\tilde {H}}_{n}(X)}$

Armados con este complejo modificado, se pueden aplicar las formas estándar para obtener homología con coeficientes mediante la aplicación del producto tensorial , o grupos de cohomología reducidos del complejo de cocadena creados mediante el uso de un funtor Hom .

Referencias

• Hatcher, A. , (2002) Topología algebraica Cambridge University Press, ISBN  0-521-79540-0 . Discusión detallada de teorías de homología para complejos y variedades simpliciales, homología singular, etc.