Fibración del espacio de trayectoria

En topología algebraica , la fibración del espacio de caminos sobre un espacio puntiagudo ^[1] es una fibración de la forma ^[2] ${\displaystyle (X,*)}$

${\displaystyle \Omega X\hookrightarrow PX{\overset {\chi \mapsto \chi (1)}{\to }}X}$

dónde

• ${\displaystyle PX}$es el espacio de trayectorias base del espacio apuntado ; es decir, equipado con la topología compacta-abierta . ${\displaystyle (X,*)}$ ${\displaystyle PX=\{f\colon I\to X\mid f\ {\text{continuous}},f(0)=*\}}$
• ${\displaystyle \Omega X}$es la fibra de sobre el punto base de ; por lo tanto, es el espacio de bucle de . ${\displaystyle \chi \mapsto \chi (1)}$ ${\displaystyle (X,*)}$ ${\displaystyle (X,*)}$

El espacio de caminos libres de X , es decir, , consiste en todos los mapas de I a X que no necesariamente comienzan en un punto base, y la fibración dada por, digamos, , se llama fibración del espacio de caminos libres . ${\displaystyle \operatorname {Map} (I,X)=X^{I}}$ ${\displaystyle X^{I}\to X}$ ${\displaystyle \chi \mapsto \chi (1)}$

La fibración del espacio de trayectoria puede entenderse como dual al cono de mapeo . ^{[ aclaración necesaria ]} La fibra de la fibración basada se llama fibra de mapeo o, equivalentemente, fibra de homotopía .

Mapeo del espacio de rutas

Si es cualquier mapa, entonces el espacio de trayectorias de mapeo de es el retroceso de la fibración a lo largo de . (Un espacio de trayectorias de mapeo satisface la propiedad universal que es dual a la de un cilindro de mapeo, que es un empuje hacia afuera. Debido a esto, un espacio de trayectorias de mapeo también se llama cocilindro de mapeo . ^[3] ) ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle P_{f}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Y^{I}\to Y,\,\chi \mapsto \chi (1)}$ ${\displaystyle f}$

Dado que una fibración se retrae hacia una fibración, si Y está basado, se tiene la fibración

${\displaystyle F_{f}\hookrightarrow P_{f}{\overset {p}{\to }}Y}$

donde y es la fibra de homotopía , el retroceso de la fibración a lo largo de . ${\displaystyle p(x,\chi )=\chi (0)}$ ${\displaystyle F_{f}}$ ${\displaystyle PY{\overset {\chi \mapsto \chi (1)}{\longrightarrow }}Y}$ ${\displaystyle f}$

Obsérvese también la composición. ${\displaystyle f}$

${\displaystyle X{\overset {\phi }{\to }}P_{f}{\overset {p}{\to }}Y}$

donde el primer mapa envía x a ; aquí denota la ruta constante con valor . Claramente, es una equivalencia de homotopía ; por lo tanto, la descomposición anterior dice que cualquier mapa es una fibración hasta la equivalencia de homotopía. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle (x,c_{f(x)})}$ ${\displaystyle c_{f(x)}}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \phi }$

Si es una fibración para empezar, entonces el mapa es una equivalencia de homotopía de fibra y, en consecuencia, ^[4] las fibras de sobre el componente de trayectoria del punto base son homotópicamente equivalentes a la fibra de homotopía de . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \phi \colon X\to P_{f}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F_{f}}$ ${\displaystyle f}$

El espacio de trayectoria de Moore

Por definición, un camino en un espacio X es una función del intervalo unitario I a X. Nuevamente por definición, el producto de dos caminos tales que es el camino dado por: ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ ${\displaystyle \alpha (1)=\beta (0)}$ ${\displaystyle \beta \cdot \alpha \colon I\to X}$

${\displaystyle (\beta \cdot \alpha )(t)={\begin{cases}\alpha (2t)&{\text{if }}0\leq t\leq 1/2\\\beta (2t-1)&{\text{if }}1/2\leq t\leq 1\\\end{cases}}}$.

Este producto, en general, no es asociativo en absoluto: , como se ve directamente. Una solución a esta falla es pasar a clases de homotopía : se tiene . Otra solución es trabajar con caminos de longitudes arbitrarias, lo que lleva a las nociones de espacio de caminos de Moore y fibración del espacio de caminos de Moore, que se describen a continuación. ^[5] (Una solución más sofisticada es repensar la composición: trabajar con una familia arbitraria de composiciones; ver la introducción del artículo de Lurie, ^[6] que lleva a la noción de un operado .) ${\displaystyle (\gamma \cdot \beta )\cdot \alpha \neq \gamma \cdot (\beta \cdot \alpha )}$ ${\displaystyle [(\gamma \cdot \beta )\cdot \alpha ]=[\gamma \cdot (\beta \cdot \alpha )]}$

Dado un espacio base , dejamos ${\displaystyle (X,*)}$

${\displaystyle P'X=\{f\colon [0,r]\to X\mid r\geq 0,f(0)=*\}.}$

Un elemento f de este conjunto tiene una extensión única del intervalo tal que . Por lo tanto, el conjunto puede identificarse como un subespacio de . El espacio resultante se denomina espacio de caminos de Moore de X , en honor a John Coleman Moore , quien introdujo el concepto. Entonces, al igual que antes, existe una fibración, la fibración del espacio de caminos de Moore : ${\displaystyle {\widetilde {f}}}$ ${\displaystyle [0,\infty )}$ ${\displaystyle {\widetilde {f}}(t)=f(r),\,t\geq r}$ ${\displaystyle \operatorname {Map} ([0,\infty ),X)}$

${\displaystyle \Omega 'X\hookrightarrow P'X{\overset {p}{\to }}X}$

donde p envía cada uno a y es la fibra. Resulta que y son homotópicamente equivalentes. ${\displaystyle f:[0,r]\to X}$ ${\displaystyle f(r)}$ ${\displaystyle \Omega 'X=p^{-1}(*)}$ ${\displaystyle \Omega X}$ ${\displaystyle \Omega 'X}$

Ahora, definimos el mapa del producto.

${\displaystyle \mu :P'X\times \Omega 'X\to P'X}$

por: para y , ${\displaystyle f\colon [0,r]\to X}$ ${\displaystyle g\colon [0,s]\to X}$

${\displaystyle \mu (g,f)(t)={\begin{cases}f(t)&{\text{if }}0\leq t\leq r\\g(t-r)&{\text{if }}r\leq t\leq s+r\\\end{cases}}}$.

Este producto es manifiestamente asociativo. En particular, con μ restringido a Ω ' X × Ω ' X , tenemos que Ω ' X es un monoide topológico (en la categoría de todos los espacios). Además, este monoide Ω ' X actúa sobre P ' X a través del μ original . De hecho, es una Ω' X -fibración . ^[7] ${\displaystyle p:P'X\to X}$

Notas

1. A lo largo del artículo, los espacios son objetos de la categoría de espacios "razonables"; por ejemplo, la categoría de espacios de Hausdorff débiles generados de forma compacta .
2. Davis y Kirk 2001, Teorema 6.15.2.
3. Davis y Kirk 2001, § 6.8.
4. utilizando el cambio de fibra
5. Whitehead 1978, Cap. III, § 2.
6. Lurie, Jacob (30 de octubre de 2009). "Geometría algebraica derivada VI: E[k]-Álgebras" (PDF) .
7. Sea G = Ω ' X y P = P ' X . Está claro que G conserva las fibras. Para ver que, para cada γ en P , la función es una equivalencia débil, podemos utilizar el siguiente lema: ${\displaystyle G\to p^{-1}(p(\gamma )),\,g\mapsto \gamma g}$

   Lema  —  Sean p : D → B , q : E → B fibraciones sobre un espacio no basado B , f : D → E una función sobre B . Si B está conexo por caminos, entonces las siguientes son equivalentes:

   • f es una equivalencia débil.
   • ${\displaystyle f:p^{-1}(b)\to q^{-1}(b)}$es una equivalencia débil para algún b en B .
   • ${\displaystyle f:p^{-1}(b)\to q^{-1}(b)}$es una equivalencia débil para cada b en B .

   Aplicamos el lema con donde α es un camino en P e I → X es t → el punto final de α ( t ). Dado que si γ es el camino constante, la afirmación se sigue del lema. (En pocas palabras, el lema se sigue de la larga secuencia de homotopía exacta y del lema de los cinco). ${\displaystyle B=I,D=I\times G,E=I\times _{X}P,f(t,g)=(t,\alpha (t)g)}$ ${\displaystyle p^{-1}(p(\gamma ))=G}$

Referencias

• Davis, James F.; Kirk, Paul (2001). Apuntes de clase sobre topología algebraica (PDF) . Estudios de posgrado en matemáticas. Vol. 35. Providence, RI: American Mathematical Society . págs. xvi+367. doi :10.1090/gsm/035. ISBN. 0-8218-2160-1. Sr.  1841974.
• May, J. Peter (1999). Un curso conciso de topología algebraica (PDF) . Chicago Lectures in Mathematics. Chicago, IL: University of Chicago Press . pp. x+243. ISBN. 0-226-51182-0.Señor 1702278  .
• Whitehead, George W. (1978). Elementos de la teoría de la homotopía. Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 61 (3.ª ed.). Nueva York-Berlín: Springer-Verlag . pp. xxi+744. ISBN. 978-0-387-90336-1.Sr. 0516508  .