Equivalencia de homotopía de fibra

En topología algebraica , una equivalencia de homotopía de fibra es una equivalencia de homotopía entre fibras de mapas en un espacio B desde los espacios D y E (es decir, un mapa entre preimágenes que es bidireccionalmente invertible hasta la homotopía). Es un análogo en fibra de una equivalencia de homotopía entre espacios.

Dados los mapas p : D → B , q : E → B , si ƒ: D → E es una equivalencia de homotopía de fibra, entonces para cualquier b en B la restricción

${\displaystyle f:p^{-1}(b)\to q^{-1}(b)}$

es una equivalencia de homotopía. Si p , q son fibraciones, este es siempre el caso para las equivalencias de homotopía según la siguiente proposición.

Proposición  —  Sean fibraciones .​ Entonces un mapa sobre B es una equivalencia de homotopía si y sólo si es una equivalencia de homotopía de fibra. ${\displaystyle p:D\to B,q:E\to B}$ ${\displaystyle f:D\to E}$

Prueba de la proposición

La siguiente prueba se basa en la prueba de la proposición del cap. 6, § 5 de (mayo de 1999). Escribimos para una homotopía sobre B . ${\displaystyle \sim _{B}}$

Primero observamos que es suficiente demostrar que ƒ admite una homotopía izquierda inversa sobre B. De hecho, si con g sobre B , entonces g es en particular una equivalencia de homotopía. Por lo tanto, g también admite una homotopía izquierda inversa h sobre B y entonces formalmente tenemos ; eso es, . ${\displaystyle gf\sim _{B}\operatorname {id} }$ ${\displaystyle h\sim f}$ ${\displaystyle fg\sim _{B}\operatorname {id} }$

Ahora, dado que ƒ es una equivalencia de homotopía, tiene una homotopía inversa g . Desde , tenemos: . Dado que p es una fibración, la homotopía se eleva a una homotopía de g a, digamos, g' que satisface . Por tanto, podemos suponer que g está sobre B . Entonces basta con mostrar que g ƒ, que ahora está sobre B , tiene una homotopía inversa izquierda sobre B, ya que eso implicaría que ƒ tiene dicha inversa izquierda. ${\displaystyle fg\sim \operatorname {id} }$ ${\displaystyle pg=qfg\sim q}$ ${\displaystyle pg\sim q}$ ${\displaystyle pg'=q}$

Por lo tanto, la prueba se reduce a la situación en la que ƒ: D → D está sobre B vía p y . Sea una homotopía de ƒ a . Entonces, dado que p es una fibración, la homotopía se eleva a una homotopía ; explícitamente, tenemos . La nota también está sobre B . ${\displaystyle f\sim \operatorname {id} _{D}}$ ${\displaystyle h_{t}}$ ${\displaystyle \operatorname {id} _{D}}$ ${\displaystyle ph_{0}=p}$ ${\displaystyle ph_{t}}$ ${\displaystyle k_{t}:\operatorname {id} _{D}\sim k_{1}}$ ${\displaystyle ph_{t}=pk_{t}}$ ${\displaystyle k_{1}}$

Lo que mostramos es una homotopía izquierda inversa de ƒ sobre B . Sea la homotopía dada como la composición de homotopías . Entonces podemos encontrar una homotopía K desde la homotopía pJ hasta la homotopía constante . Dado que p es una fibración, podemos elevar K a, digamos, L . Podemos terminar rodeando el borde correspondiente a J : ${\displaystyle k_{1}}$ ${\displaystyle J:k_{1}f\sim h_{1}=\operatorname {id} _{D}}$ ${\displaystyle k_{1}f\sim f=h_{0}\sim \operatorname {id} _{D}}$ ${\displaystyle pk_{1}=ph_{1}}$

${\displaystyle k_{1}f=J_{0}=L_{0,0}\sim _{B}L_{0,1}\sim _{B}L_{1,1}\sim _{B}L_{1,0}=J_{1}=\operatorname {id} .}$

Referencias

• Mayo, J. Peter (1999). Un curso conciso en topología algebraica (PDF) . Conferencias de Matemáticas de Chicago. Chicago: Prensa de la Universidad de Chicago. ISBN 0-226-51182-0. OCLC  41266205. (Ver capítulo 6.){{cite book}}: Mantenimiento CS1: posdata ( enlace )