Equivalencia de homotopía de fibra

En topología algebraica , una equivalencia de homotopía de fibra es una función sobre un espacio B que tiene homotopía inversa sobre B (es decir, si es una homotopía entre las dos funciones, es una función sobre B para t ). Es un análogo relativo de una equivalencia de homotopía entre espacios. ${\displaystyle h_{t}}$ ${\displaystyle h_{t}}$

Dados los mapas p : D → B , q : E → B , si ƒ: D → E es una equivalencia de homotopía de fibra, entonces para cualquier b en B la restricción

${\displaystyle f:p^{-1}(b)\to q^{-1}(b)}$

es una equivalencia de homotopía. Si p , q son fibraciones, este es siempre el caso para las equivalencias de homotopía por la siguiente proposición.

Proposición  —  Sean fibraciones . Entonces una función sobre B es una equivalencia de homotopía si y solo si es una equivalencia de homotopía de fibra . ${\displaystyle p:D\to B,q:E\to B}$ ${\displaystyle f:D\to E}$

Prueba de la proposición

La siguiente prueba se basa en la prueba de la Proposición del Capítulo 6, § 5 de (mayo de 1999). Escribimos para una homotopía sobre B . ${\displaystyle \sim _{B}}$

Observamos primero que basta con mostrar que ƒ admite una homotopía inversa izquierda sobre B . En efecto, si con g sobre B , entonces g es en particular una equivalencia de homotopía. Por lo tanto, g también admite una homotopía inversa izquierda h sobre B y entonces formalmente tenemos ; es decir, . ${\displaystyle gf\sim _{B}\operatorname {id} }$ ${\displaystyle h\sim f}$ ${\displaystyle fg\sim _{B}\operatorname {id} }$

Ahora bien, como ƒ es una equivalencia de homotopía, tiene una homotopía inversa g . Como , tenemos: . Como p es una fibración, la homotopía se eleva a una homotopía de g a, digamos, g' que satisface . Por lo tanto, podemos suponer que g está sobre B . Entonces basta con mostrar que g ƒ, que ahora está sobre B , tiene una homotopía inversa izquierda sobre B ya que eso implicaría que ƒ tiene dicha inversa izquierda. ${\displaystyle fg\sim \operatorname {id} }$ ${\displaystyle pg=qfg\sim q}$ ${\displaystyle pg\sim q}$ ${\displaystyle pg'=q}$

Por lo tanto, la prueba se reduce a la situación donde ƒ: D → D está sobre B vía p y . Sea una homotopía de ƒ a . Entonces, como y como p es una fibración, la homotopía se eleva a una homotopía ; explícitamente, tenemos . Nótese también que está sobre B . ${\displaystyle f\sim \operatorname {id} _{D}}$ ${\displaystyle h_{t}}$ ${\displaystyle \operatorname {id} _{D}}$ ${\displaystyle ph_{0}=p}$ ${\displaystyle ph_{t}}$ ${\displaystyle k_{t}:\operatorname {id} _{D}\sim k_{1}}$ ${\displaystyle ph_{t}=pk_{t}}$ ${\displaystyle k_{1}}$

Mostramos que es una homotopía izquierda inversa de ƒ sobre B . Sea la homotopía dada como la composición de homotopías . Entonces podemos encontrar una homotopía K desde la homotopía pJ hasta la homotopía constante . Como p es una fibración, podemos elevar K a, digamos, L . Podemos terminar dando la vuelta al borde correspondiente a J : ${\displaystyle k_{1}}$ ${\displaystyle J:k_{1}f\sim h_{1}=\operatorname {id} _{D}}$ ${\displaystyle k_{1}f\sim f=h_{0}\sim \operatorname {id} _{D}}$ ${\displaystyle pk_{1}=ph_{1}}$

${\displaystyle k_{1}f=J_{0}=L_{0,0}\sim _{B}L_{0,1}\sim _{B}L_{1,1}\sim _{B}L_{1,0}=J_{1}=\operatorname {id} .}$

Referencias

• May, J. Peter (1999). Un curso conciso de topología algebraica (PDF) . Chicago Lectures in Mathematics. Chicago: University of Chicago Press. ISBN 0-226-51182-0. OCLC  41266205. (Ver capítulo 6.){{cite book}}: Mantenimiento de CS1: postscript ( enlace )