En matemáticas , las formas modulares topológicas (tmf) son el nombre de un espectro que describe una teoría de cohomología generalizada . En términos concretos, para cualquier entero n existe un espacio topológico , y estos espacios están equipados con ciertas funciones entre ellos, de modo que para cualquier espacio topológico X , se obtiene una estructura de grupo abeliano en el conjunto de clases de homotopía de funciones continuas de X a . Una característica que distingue a las tmf es el hecho de que su anillo de coeficientes , (punto), es casi el mismo que el anillo graduado de formas modulares holomorfas con expansiones de cúspide integrales . De hecho, estos dos anillos se vuelven isomorfos después de invertir los primos 2 y 3, pero esta inversión borra mucha información de torsión en el anillo de coeficientes.
El espectro de formas modulares topológicas se construye como las secciones globales de un haz de espectros de anillos E-infinitos en la pila de módulos de curvas elípticas (generalizadas) . Esta teoría tiene relaciones con la teoría de formas modulares en teoría de números , los grupos de homotopía de esferas y las teorías de índices conjeturales en espacios de bucles de variedades . tmf fue construido por primera vez por Michael Hopkins y Haynes Miller ; muchos de los cálculos se pueden encontrar en preimpresiones y artículos de Paul Goerss, Hopkins, Mark Mahowald , Miller, Charles Rezk y Tilman Bauer.
La construcción original de tmf utiliza la teoría de obstrucción de Hopkins , Miller y Paul Goerss, y se basa en las ideas de Dwyer, Kan y Stover. En este enfoque, se define un haz de teorías de cohomología multiplicativa O top ("top" significa topológico ) en el sitio étale de la pila de módulos de curvas elípticas y se muestra que esto se puede elevar de una manera esencialmente única a un haz de espectros de anillo E-infinito. Este haz tiene la siguiente propiedad: a cualquier curva elíptica étale sobre un anillo R, se asigna un espectro de anillo E-infinito (una teoría de cohomología elíptica clásica ) cuyo grupo formal asociado es el grupo formal de esa curva elíptica.
Una segunda construcción, debida a Jacob Lurie , construye tmf más bien describiendo el problema de módulos que representa y aplicando la teoría de representabilidad general para luego mostrar su existencia: así como la pila de módulos de curvas elípticas representa el funtor que asigna a un anillo la categoría de curvas elípticas sobre él, la pila junto con el haz de espectros de anillos E-infinitos representa el funtor que asigna a un anillo E-infinito su categoría de curvas elípticas derivadas orientadas, interpretadas apropiadamente. Estas construcciones funcionan sobre la pila de módulos de curvas elípticas suaves , y también funcionan para la compactificación de Deligne-Mumford de esta pila de módulos, en la que se incluyen curvas elípticas con singularidades nodales. TMF es el espectro que resulta de las secciones globales sobre la pila de módulos de curvas suaves, y tmf es el espectro que surge como las secciones globales de la compactificación de Deligne-Mumford.
TMF es una versión periódica del tmf conectivo. Si bien los espectros de anillo utilizados para construir TMF son periódicos con un período de 2, el propio TMF tiene un período de 576. La periodicidad está relacionada con el discriminante modular .
Algunos de los intereses en tmf provienen de la teoría de cuerdas y la teoría conforme de campos . Graeme Segal propuso por primera vez en la década de 1980 proporcionar una construcción geométrica de la cohomología elíptica (el precursor de tmf) como una especie de espacio de módulos de teorías conformes de campos, y estas ideas han sido continuadas y expandidas por Stephan Stolz y Peter Teichner. Su programa es tratar de construir TMF como un espacio de módulos de teorías de campos euclidianos supersimétricos .
En un trabajo más directamente motivado por la teoría de cuerdas, Edward Witten introdujo el género Witten , un homomorfismo del anillo de bordismo de cuerdas al anillo de formas modulares, usando la teoría de índices equivariantes en un vecindario formal del lugar trivial en el espacio de bucles de una variedad. Esto asocia a cualquier variedad de espín con primera clase de Pontryagin que se desvanece a la mitad una forma modular. Por el trabajo de Hopkins, Matthew Ando, Charles Rezk y Neil Strickland, el género Witten puede ser elevado a la topología. Es decir, hay un mapa del espectro de bordismo de cuerdas a tmf (una llamada orientación ) tal que el género Witten se recupera como la composición del mapa inducido en los grupos de homotopía de estos espectros y un mapa de los grupos de homotopía de tmf a formas modulares. Esto permitió probar ciertas afirmaciones de divisibilidad sobre el género Witten. La orientación de tmf es análoga al mapa de Atiyah-Bott-Shapiro del espectro del bordismo de espín a la teoría K clásica , que es una elevación de la ecuación de Dirac a la topología.
