En matemáticas , formas modulares topológicas (tmf) es el nombre de un espectro que describe una teoría de cohomología generalizada . En términos concretos, para cualquier número entero n existe un espacio topológico , y estos espacios están equipados con ciertos mapas entre ellos, de modo que para cualquier espacio topológico X , se obtiene una estructura de grupo abeliano en el conjunto de clases de homotopía de mapas continuos de X a . Una característica que distingue a tmf es el hecho de que su anillo de coeficientes , (punto), es casi el mismo que el anillo graduado de formas modulares holomorfas con expansiones de cúspides integrales . De hecho, estos dos anillos se vuelven isomórficos después de invertir los números primos 2 y 3, pero esta inversión borra mucha información de torsión en el anillo de coeficientes.
El espectro de formas modulares topológicas se construye como las secciones globales de un haz de espectros de anillos E-infinito en la pila de módulos de curvas elípticas (generalizadas) . Esta teoría tiene relaciones con la teoría de las formas modulares en la teoría de números , los grupos homotópicos de esferas y las teorías de índices conjeturales sobre espacios de bucles de variedades . tmf fue construido por primera vez por Michael Hopkins y Haynes Miller ; Muchos de los cálculos se pueden encontrar en preimpresiones y artículos de Paul Goerss, Hopkins, Mark Mahowald , Miller, Charles Rezk y Tilman Bauer.
La construcción original de tmf utiliza la teoría de la obstrucción de Hopkins , Miller y Paul Goerss, y se basa en ideas de Dwyer, Kan y Stover. En este enfoque, se define un prehaz O top ("top" significa topológico ) de teorías de cohomología multiplicativa en el sitio etale de la pila de módulos de curvas elípticas y se muestra que esto se puede elevar de una manera esencialmente única a un haz de E. -espectros de anillo infinito. Este haz tiene la siguiente propiedad: a cualquier curva elíptica etale sobre un anillo R, le asigna un espectro de anillo E-infinito (una teoría de cohomología elíptica clásica ) cuyo grupo formal asociado es el grupo formal de esa curva elíptica.
Una segunda construcción, debida a Jacob Lurie , construye tmf más bien describiendo el problema de módulos que representa y aplicando la teoría de la representabilidad general para luego mostrar su existencia: así como la pila de módulos de curvas elípticas representa el funtor que asigna a un anillo la categoría de curvas elípticas. encima, la pila junto con el haz de espectros de anillos E-infinito representa el functor que asigna a un anillo E-infinito su categoría de curvas elípticas derivadas orientadas, interpretadas apropiadamente. Estas construcciones funcionan sobre la pila de módulos de curvas elípticas suaves , y también funcionan para la compactación Deligne-Mumford de esta pila de módulos, en la que se incluyen curvas elípticas con singularidades nodales. TMF es el espectro que resulta de las secciones globales sobre la pila de módulos de curvas suaves, y tmf es el espectro que surge como las secciones globales de la compactificación Deligne-Mumford.
TMF es una versión periódica del conectivo tmf. Mientras que los espectros de anillo utilizados para construir TMF son periódicos con período 2, el propio TMF tiene período 576. La periodicidad está relacionada con el discriminante modular .
Cierto interés en tmf proviene de la teoría de cuerdas y la teoría de campos conforme . Graeme Segal propuso por primera vez en la década de 1980 proporcionar una construcción geométrica de la cohomología elíptica (la precursora de tmf) como una especie de espacio de módulos de teorías de campos conformes, y estas ideas han sido continuadas y ampliadas por Stephan Stolz y Peter Teichner. Su programa es intentar construir TMF como un espacio de módulos de teorías de campos euclidianas supersimétricas .
En un trabajo motivado más directamente por la teoría de cuerdas, Edward Witten introdujo el género Witten , un homomorfismo del anillo de bordismo de cuerdas al anillo de formas modulares, utilizando la teoría del índice equivariante en una vecindad formal del lugar trivial en el espacio de bucle de una variedad. Esto se asocia a cualquier colector de espín con la mitad de la primera clase Pontryagin que desaparece en forma modular. Gracias al trabajo de Hopkins, Matthew Ando, Charles Rezk y Neil Strickland, el género Witten puede elevarse a la topología. Es decir, existe un mapa desde el espectro del bordismo de cuerdas hasta tmf (una denominada orientación ) tal que el género Witten se recupera como la composición del mapa inducido sobre los grupos de homotopía de estos espectros y un mapa de los grupos de homotopía de tmf a formas modulares. Esto permitió comprobar ciertas afirmaciones de divisibilidad sobre el género Witten. La orientación de tmf es análoga al mapa de Atiyah-Bott-Shapiro desde el espectro del bordismo de espín hasta la teoría K clásica , que es una elevación de la ecuación de Dirac a la topología.
