Género de una secuencia multiplicativa.

Un homomorfismo de anillo del anillo de cobordismo de variedades a otro anillo

Un cobordismo ( W ; M , N ).

En matemáticas , un género de una secuencia multiplicativa es un homomorfismo de anillo desde el anillo de variedades compactas suaves hasta la equivalencia de acotar una variedad suave con límite (es decir, hasta un cobordismo adecuado ) a otro anillo, generalmente los números racionales , que tienen el propiedad de que se construyen a partir de una secuencia de polinomios en clases características que surgen como coeficientes en series de potencias formales con buenas propiedades multiplicativas.

Definición

Un género asigna un número a cada variedad X tal que ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \Phi (X)}$

1. ${\displaystyle \Phi (X\sqcup Y)=\Phi (X)+\Phi (Y)}$(dónde está la unión disjunta); ${\displaystyle \sqcup }$
2. ${\displaystyle \Phi (X\times Y)=\Phi (X)\Phi (Y)}$;
3. ${\displaystyle \Phi (X)=0}$ si X es el límite de una variedad con límite.

Es posible que se requiera que los colectores y los colectores con límite tengan una estructura adicional; por ejemplo, podrían estar orientados, girar, ser complejos de manera estable, etc. (consulte la lista de teorías del cobordismo para ver muchos más ejemplos). El valor está en algún anillo, a menudo el anillo de números racionales, aunque pueden ser otros anillos como el anillo de formas modulares. ${\displaystyle \Phi (X)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

Las condiciones se pueden reformular diciendo que es un homomorfismo de anillo del anillo de cobordismo de variedades (con estructura adicional) a otro anillo. ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \varphi }$

Ejemplo: si es la firma de la variedad orientada X , entonces es un género desde las variedades orientadas hasta el anillo de números enteros. ${\displaystyle \Phi (X)}$ ${\displaystyle \Phi }$

El género asociado a una serie de potencias formales.

Una secuencia de polinomios en variables se llama multiplicativa si ${\displaystyle K_{1},K_{2},\ldots }$ ${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots }$

${\displaystyle 1+p_{1}z+p_{2}z^{2}+\cdots =(1+q_{1}z+q_{2}z^{2}+\cdots )(1+r_{1}z+r_{2}z^{2}+\cdots )}$

implica que

${\displaystyle \sum _{j}K_{j}(p_{1},p_{2},\ldots )z^{j}=\sum _{j}K_{j}(q_{1},q_{2},\ldots )z^{j}\sum _{k}K_{k}(r_{1},r_{2},\ldots )z^{k}}$

Si es una serie de potencias formal en z con término constante 1, podemos definir una secuencia multiplicativa ${\displaystyle Q(z)}$

${\displaystyle K=1+K_{1}+K_{2}+\cdots }$

por

${\displaystyle K(p_{1},p_{2},p_{3},\ldots )=Q(z_{1})Q(z_{2})Q(z_{3})\cdots }$,

donde es la k -ésima función simétrica elemental de los indeterminados . (En la práctica, las variables suelen ser clases de Pontryagin ). ${\displaystyle p_{k}}$ ${\displaystyle z_{i}}$ ${\displaystyle p_{k}}$

El género de variedades compactas , conectadas , suaves y orientadas correspondientes a Q viene dado por ${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle \Phi (X)=K(p_{1},p_{2},p_{3},\ldots )}$

donde están las clases Pontryagin de X . La serie de potencias Q se denomina serie de potencias característica del género . Un teorema de René Thom , que establece que los racionales tensorizados con el anillo de cobordismo es un álgebra polinomial en generadores de grado 4 k para enteros positivos k , implica que esto da una biyección entre la serie de potencias formal Q con coeficientes racionales y el coeficiente principal 1, y géneros desde variedades orientadas hasta los números racionales. ${\displaystyle p_{k}}$ ${\displaystyle \Phi }$

género L

El género L es el género de la serie de potencias formales.

${\displaystyle {{\sqrt {z}} \over \tanh({\sqrt {z}})}=\sum _{k\geq 0}{\frac {2^{2k}B_{2k}z^{k}}{(2k)!}}=1+{z \over 3}-{z^{2} \over 45}+\cdots }$

donde los números son los números de Bernoulli . Los primeros valores son: ${\displaystyle B_{2k}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{0}&=1\\L_{1}&={\tfrac {1}{3}}p_{1}\\L_{2}&={\tfrac {1}{45}}\left(7p_{2}-p_{1}^{2}\right)\\L_{3}&={\tfrac {1}{945}}\left(62p_{3}-13p_{1}p_{2}+2p_{1}^{3}\right)\\L_{4}&={\tfrac {1}{14175}}\left(381p_{4}-71p_{1}p_{3}-19p_{2}^{2}+22p_{1}^{2}p_{2}-3p_{1}^{4}\right)\end{aligned}}}$

(para más polinomios L , consulte ^[1] o OEIS : A237111 ). Ahora sea M una variedad cerrada orientada suave de dimensión 4 n con clases de Pontrjagin . Friedrich Hirzebruch demostró que el género L de M en dimensión 4 n evaluado en la clase fundamental de , denotado , es igual a , la firma de M (es decir, la firma de la forma de intersección en el 2 n º grupo de cohomología de M ): ${\displaystyle p_{i}=p_{i}(M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle [M]}$ ${\displaystyle \sigma (M)}$

${\displaystyle \sigma (M)=\langle L_{n}(p_{1}(M),\ldots ,p_{n}(M)),[M]\rangle }$.

Esto ahora se conoce como teorema de la firma de Hirzebruch (o, a veces, teorema del índice de Hirzebruch ).

John Milnor utilizó el hecho de que siempre es integral para una variedad suave para dar un ejemplo de una variedad PL de 8 dimensiones sin estructura suave . Los números de Pontryagin también se pueden definir para variedades PL, y Milnor demostró que su variedad PL tenía un valor no integral de , por lo que no se podía suavizar. ${\displaystyle L_{2}}$ ${\displaystyle p_{2}}$

Aplicación sobre superficies K3

Dado que las superficies proyectivas K3 son variedades complejas suaves de dimensión dos, su única clase Pontryagin no trivial está en . Se puede calcular como -48 usando la secuencia tangente y comparaciones con clases complejas de chern. Desde , tenemos su firma. Esto se puede usar para calcular su forma de intersección como una red unimodular ya que tiene y usando la clasificación de redes unimodulares. ^[2] ${\displaystyle p_{1}}$ ${\displaystyle H^{4}(X)}$ ${\displaystyle L_{1}=-16}$ ${\displaystyle \operatorname {dim} \left(H^{2}(X)\right)=22}$

Género Todd

El género Todd es el género de la serie de potencias formales.

${\displaystyle {\frac {z}{1-\exp(-z)}}=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {B_{i}}{i!}}z^{i}}$

con , como antes, números de Bernoulli. Los primeros valores son ${\displaystyle B_{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}Td_{0}&=1\\Td_{1}&={\frac {1}{2}}c_{1}\\Td_{2}&={\frac {1}{12}}\left(c_{2}+c_{1}^{2}\right)\\Td_{3}&={\frac {1}{24}}c_{1}c_{2}\\Td_{4}&={\frac {1}{720}}\left(-c_{1}^{4}+4c_{2}c_{1}^{2}+3c_{2}^{2}+c_{3}c_{1}-c_{4}\right)\end{aligned}}}$

El género Todd tiene la propiedad particular de que asigna el valor 1 a todos los espacios proyectivos complejos (es decir ), y esto es suficiente para mostrar que el género Todd concuerda con el género aritmético para variedades algebraicas ya que el género aritmético también es 1 para espacios proyectivos complejos. . Esta observación es una consecuencia del teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch y, de hecho, es uno de los desarrollos clave que llevaron a la formulación de ese teorema. ${\displaystyle \mathrm {Td} _{n}(\mathbb {CP} ^{n})=1}$

género

El género  es el género asociado a la serie de potencias característica.

${\displaystyle Q(z)={\frac {{\frac {1}{2}}{\sqrt {z}}}{\sinh \left({\frac {1}{2}}{\sqrt {z}}\right)}}=1-{\frac {z}{24}}+{\frac {7z^{2}}{5760}}-\cdots }$

(También existe un género A, menos utilizado, asociado a la serie característica ). Los primeros valores son ${\displaystyle Q(16z)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {A}}_{0}&=1\\{\hat {A}}_{1}&=-{\tfrac {1}{24}}p_{1}\\{\hat {A}}_{2}&={\tfrac {1}{5760}}\left(-4p_{2}+7p_{1}^{2}\right)\\{\hat {A}}_{3}&={\tfrac {1}{967680}}\left(-16p_{3}+44p_{2}p_{1}-31p_{1}^{3}\right)\\{\hat {A}}_{4}&={\tfrac {1}{464486400}}\left(-192p_{4}+512p_{3}p_{1}+208p_{2}^{2}-904p_{2}p_{1}^{2}+381p_{1}^{4}\right)\end{aligned}}}$

El género  de una variedad de espín es un número entero, y un número entero par si la dimensión es 4 mod 8 (que en la dimensión 4 implica el teorema de Rochlin ); para variedades generales, el género  no siempre es un número entero. Así lo demostraron Hirzebruch y Armand Borel ; este resultado motivó y luego fue explicado por el teorema del índice de Atiyah-Singer , que demostró que el género  de una variedad de espín es igual al índice de su operador de Dirac .

Al combinar el resultado de este índice con una fórmula de Weitzenbock para el laplaciano de Dirac, André Lichnerowicz dedujo que si una variedad de espín compacta admite una métrica con curvatura escalar positiva, su género debe desaparecer. Esto sólo obstruye la curvatura escalar positiva cuando la dimensión es múltiplo de 4, pero Nigel Hitchin descubrió más tarde una obstrucción de valor análogo en las dimensiones 1 o 2 mod 8. Estos resultados son esencialmente nítidos. De hecho, Mikhail Gromov , H. Blaine Lawson y Stephan Stolz demostraron más tarde que el género  y el análogo valorado de Hitchin son los únicos obstáculos a la existencia de métricas de curvatura escalar positiva en variedades de espín simplemente conectadas de dimensión mayor o igual a 5. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

Género elíptico

Un género se llama género elíptico si la serie de potencias satisface la condición ${\displaystyle Q(z)=z/f(z)}$

${\displaystyle {f'}^{2}=1-2\delta f^{2}+\epsilon f^{4}}$

para constantes y . (Como de costumbre, Q es la serie de potencias característica del género). ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \epsilon }$

Una expresión explícita para f ( z ) es

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{a}}\operatorname {sn} \left(az,{\frac {\sqrt {\epsilon }}{a^{2}}}\right)}$

dónde

${\displaystyle a={\sqrt {\delta +{\sqrt {\delta ^{2}-\epsilon }}}}}$

y sn es la función elíptica de Jacobi.

Ejemplos:

• ${\displaystyle \delta =\epsilon =1,f(z)=\tanh(z)}$. Este es el género L.
• ${\displaystyle \delta =-{\frac {1}{8}},\epsilon =0,f(z)=2\sinh \left({\frac {1}{2}}z\right)}$. Este es el género .
• ${\displaystyle \epsilon =\delta ^{2},f(z)={\frac {\tanh({\sqrt {\delta }}z)}{\sqrt {\delta }}}}$. Esta es una generalización del género L.

Los primeros valores de dichos géneros son:

${\displaystyle {\frac {1}{3}}\delta p_{1}}$

${\displaystyle {\frac {1}{90}}\left[\left(-4\delta ^{2}+18\epsilon \right)p_{2}+\left(7\delta ^{2}-9\epsilon \right)p_{1}^{2}\right]}$

${\displaystyle {\frac {1}{1890}}\left[\left(16\delta ^{3}+108\delta \epsilon \right)p_{3}+\left(-44\delta ^{3}+18\delta \epsilon \right)p_{2}p_{1}+\left(31\delta ^{3}-27\delta \epsilon \right)p_{1}^{3}\right]}$

Ejemplo (género elíptico para plano proyectivo cuaterniónico):

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{ell}(HP^{2})&=\int _{HP^{2}}{\tfrac {1}{90}}{\big [}(-4\delta ^{2}+18\epsilon )p_{2}+(7\delta ^{2}-9\epsilon )p_{1}^{2}{\big ]}\\&=\int _{HP^{2}}{\tfrac {1}{90}}{\big [}(-4\delta ^{2}+18\epsilon )(7u^{2})+(7\delta ^{2}-9\epsilon )(2u)^{2}{\big ]}\\&=\int _{HP^{2}}[u^{2}\epsilon ]\\&=\epsilon \int _{HP^{2}}[u^{2}]\\&=\epsilon *1=\epsilon \end{aligned}}}$

Ejemplo (género elíptico de plano proyectivo octoniónico o plano de Cayley):

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{ell}(OP^{2})&=\int _{OP^{2}}{\tfrac {1}{113400}}\left[(-192\delta ^{4}+1728\delta ^{2}\epsilon +1512\epsilon ^{2})p_{4}+(208\delta ^{4}-1872\delta ^{2}\epsilon +1512\epsilon ^{2})p_{2}^{2}\right]\\&=\int _{OP^{2}}{\tfrac {1}{113400}}{\big [}(-192\delta ^{4}+1728\delta ^{2}\epsilon +1512\epsilon ^{2})(39u^{2})+(208\delta ^{4}-1872\delta ^{2}\epsilon +1512\epsilon ^{2})(6u)^{2}{\big ]}\\&=\int _{OP^{2}}{\big [}\epsilon ^{2}u^{2}{\big ]}\\&=\epsilon ^{2}\int _{OP^{2}}{\big [}u^{2}{\big ]}\\&=\epsilon ^{2}*1=\epsilon ^{2}\\&=\Phi _{ell}(HP^{2})^{2}\end{aligned}}}$

Género Witten

El género Witten es el género asociado a la serie de potencias característica.

${\displaystyle Q(z)={\frac {z}{\sigma _{L}(z)}}=\exp \left(\sum _{k\geq 2}{2G_{2k}(\tau )z^{2k} \over (2k)!}\right)}$

donde σ _L es la función sigma de Weierstrass para la red L y G es un múltiplo de una serie de Eisenstein .

El género Witten de una variedad de giro suave orientada compacta de 4 k dimensiones con la primera clase Pontryagin que desaparece es una forma modular de peso 2 k , con coeficientes integrales de Fourier.

Ver también

• Teorema del índice Atiyah-Singer
• Lista de teorías de cohomología

Notas

1. McTague, Carl (2014) "Cálculo de polinomios L de Hirzebruch".
2. Huybrechts, Daniel. "14.1 Existencia, unicidad e incrustaciones de celosías". Conferencias sobre Superficies K3 (PDF) . pag. 285.

Referencias

• Métodos topológicos de Friedrich Hirzebruch en geometría algebraica ISBN 3-540-58663-6 Texto de la versión original en alemán: http://hirzebruch.mpim-bonn.mpg.de/120/6/NeueTopologischeMethoden_2.Aufl.pdf 
• Friedrich Hirzebruch, Thomas Berger, Rainer Jung Colectores y formas modulares ISBN 3-528-06414-5 
• Milnor, Stasheff, Clases características , ISBN 0-691-08122-0 
• AF Kharshiladze (2001) [1994], "Clase Pontryagin", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• "Géneros elípticos", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]