Axiomas de Eilenberg-Steenrod

Propiedades que las teorías de homología de los espacios topológicos tienen en común

En matemáticas , específicamente en topología algebraica , los axiomas de Eilenberg-Steenrod son propiedades que las teorías de homología de los espacios topológicos tienen en común. El ejemplo por excelencia de una teoría de homología que satisface los axiomas es la homología singular , desarrollada por Samuel Eilenberg y Norman Steenrod .

Se puede definir una teoría de homología como una secuencia de funtores que satisfacen los axiomas de Eilenberg-Steenrod. El enfoque axiomático, desarrollado en 1945, permite demostrar resultados, como la secuencia de Mayer-Vietoris , que son comunes a todas las teorías de homología que satisfacen los axiomas. ^[1]

Si se omite el axioma de dimensión (descrito a continuación), los axiomas restantes definen lo que se denomina una teoría de homología extraordinaria . Las teorías de cohomología extraordinaria surgieron por primera vez en la teoría K y el cobordismo .

Definición formal

Los axiomas de Eilenberg-Steenrod se aplican a una secuencia de funtores desde la categoría de pares de espacios topológicos hasta la categoría de grupos abelianos , junto con una transformación natural llamada función de frontera (aquí se ofrece una abreviatura de ). Los axiomas son: ${\displaystyle H_{n}}$ ${\displaystyle (X,A)}$ ${\displaystyle \partial \colon H_{i}(X,A)\to H_{i-1}(A)}$ ${\displaystyle H_{i-1}(A)}$ ${\displaystyle H_{i-1}(A,\varnothing )}$

1. Homotopía : Los mapas homotópicos inducen el mismo mapa en homología. Es decir, si es homotópico a , entonces sus homomorfismos inducidos son los mismos. ${\displaystyle g\colon (X,A)\rightarrow (Y,B)}$ ${\displaystyle h\colon (X,A)\rightarrow (Y,B)}$
2. Escisión : Sies un par y U es un subconjunto de A tal que el cierre de U está contenido en el interior de A , entonces el mapa de inclusióninduce un isomorfismo en la homología. ${\displaystyle (X,A)}$ ${\displaystyle i\colon (X\setminus U,A\setminus U)\to (X,A)}$
3. Dimensión : Sea P el espacio de un punto; entonces, para todo . ${\displaystyle H_{n}(P)=0}$ ${\displaystyle n\neq 0}$
4. Aditividad : Si , la unión disjunta de una familia de espacios topológicos , entonces ${\displaystyle X=\coprod _{\alpha }{X_{\alpha }}}$ ${\displaystyle X_{\alpha }}$ ${\displaystyle H_{n}(X)\cong \bigoplus _{\alpha }H_{n}(X_{\alpha }).}$
5. Exactitud : Cada par (X, A) induce una secuencia larga y exacta en homología, a través de las inclusiones y : ${\displaystyle i\colon A\to X}$ ${\displaystyle j\colon X\to (X,A)}$

${\displaystyle \cdots \to H_{n}(A)\,{\xrightarrow {i_{*}}}\,H_{n}(X)\,{\xrightarrow {j_{*}}}\,H_{n}(X,A)\,{\xrightarrow {\partial }}\,H_{n-1}(A)\to \cdots .}$

Si P es el espacio de un punto, entonces se denomina grupo de coeficientes . Por ejemplo, la homología singular (tomada con coeficientes enteros, como es lo más común) tiene como coeficientes los números enteros. ${\displaystyle H_{0}(P)}$

Consecuencias

Algunos hechos sobre los grupos de homología pueden derivarse directamente de los axiomas, como el hecho de que los espacios homotópicamente equivalentes tienen grupos de homología isomorfos.

La homología de algunos espacios relativamente simples, como las n-esferas , se puede calcular directamente a partir de los axiomas. A partir de esto se puede demostrar fácilmente que la ( n  − 1)-esfera no es un retracto del n -disco. Esto se utiliza en una prueba del teorema del punto fijo de Brouwer .

Axioma de dimensión

Una teoría "similar a la homología" que satisface todos los axiomas de Eilenberg-Steenrod excepto el axioma de dimensión se denomina teoría de homología extraordinaria (dualmente, teoría de cohomología extraordinaria ). Ejemplos importantes de estas teorías se encontraron en la década de 1950, como la teoría K topológica y la teoría del cobordismo , que son teorías de cohomología extraordinarias y vienen con teorías de homología duales.

Véase también

• Lema en zigzag

Notas

1. Weibel, Charles A. (1999). "Historia del álgebra homológica". En James, IM (ed.). Historia de la topología . Ámsterdam: Elsevier. pp. 797–836. ISBN 0-444-82375-1.

Referencias

• Eilenberg, Samuel ; Steenrod, Norman E. (1945). "Enfoque axiomático a la teoría de la homología". Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América . 31 (4): 117–120. Bibcode :1945PNAS...31..117E. doi : 10.1073/pnas.31.4.117 . MR  0012228. PMC  1078770 . PMID  16578143.
• Eilenberg, Samuel ; Steenrod, Norman E. (1952). Fundamentos de topología algebraica . Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press . MR  0050886.
• Bredon, Glen (1993). Topología y geometría . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 139. Nueva York: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4757-6848-0. ISBN . 0-387-97926-3.Señor 1224675  .