Cohomología elíptica

Invariante algebraico de espacios topológicos

En matemáticas , la cohomología elíptica es una teoría de cohomología en el sentido de topología algebraica . Está relacionada con las curvas elípticas y las formas modulares .

Historia y motivación

Históricamente, la cohomología elíptica surgió del estudio de los géneros elípticos . Atiyah y Hirzebruch sabían que si actúa de manera suave y no trivial en una variedad de espín, entonces el índice del operador de Dirac se anula. En 1983, Witten conjeturó que en esta situación el índice equivariante de un cierto operador de Dirac retorcido es al menos constante. Esto condujo a ciertos otros problemas relacionados con las -acciones en variedades, que Ochanine pudo resolver mediante la introducción de géneros elípticos. A su vez, Witten los relacionó con la teoría de índices (conjetural) en espacios de bucles libres . La cohomología elíptica, inventada en su forma original por Landweber , Stong y Ravenel a fines de la década de 1980, se introdujo para aclarar ciertas cuestiones con los géneros elípticos y proporcionar un contexto para la teoría de índices (conjetural) de familias de operadores diferenciales en espacios de bucles libres. En cierto sentido, puede verse como una aproximación a la teoría K del espacio de bucles libres. ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle S^{1}}$

Definiciones y construcciones

Llamemos a una teoría de cohomología periódica par si para i impar y hay un elemento invertible . Estas teorías poseen una orientación compleja , lo que da una ley de grupo formal . Una fuente particularmente rica de leyes de grupo formales son las curvas elípticas . Una teoría de cohomología con ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle A^{i}=0}$ ${\displaystyle u\in A^{2}}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A^{0}=R}$

se llama elíptica si es periódica par y su ley de grupo formal es isomorfa a una ley de grupo formal de una curva elíptica sobre . La construcción habitual de tales teorías de cohomología elíptica utiliza el teorema del functor exacto de Landweber . Si la ley de grupo formal de es exacta de Landweber, se puede definir una teoría de cohomología elíptica (sobre complejos finitos) mediante ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle A^{*}(X)=MU^{*}(X)\otimes _{MU^{*}}R[u,u^{-1}].\,}$

Franke ha identificado la condición necesaria para cumplir la exactitud de Landweber:

1. ${\displaystyle R}$necesita ser plano ${\displaystyle \mathbb {Z} }$
2. No existe ningún componente irreducible de , donde la fibra es supersingular para cada ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\text{Spec }}R/pR}$ ${\displaystyle E_{x}}$ ${\displaystyle x\in X}$

Estas condiciones se pueden verificar en muchos casos relacionados con géneros elípticos. Además, las condiciones se cumplen en el caso universal en el sentido de que la función de la pila de módulos de curvas elípticas a la pila de módulos de grupos formales

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1,1}\to {\mathcal {M}}_{fg}}$

es plano . Esto nos da entonces un conjunto de teorías de cohomología

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{e\ell \ell }^{pre}:{\text{Aff}}/({\mathcal {M}}_{1,1})_{flat}\to {\textbf {Spectra}}}$

sobre el sitio de esquemas afines planos sobre la pila de módulos de curvas elípticas. El deseo de obtener una teoría de cohomología elíptica universal tomando secciones globales ha llevado a la construcción de las formas modulares topológicas ^{[1] pg 20}

${\displaystyle \mathbf {Tmf} ={\underset {X\to {\mathcal {M}}_{1,1}}{\textbf {Holim}}}{\text{ }}{\mathcal {O}}_{e\ell \ell }^{pre}(X)}$

como el límite de homotopía de este prehaz sobre el sitio anterior.

Véase también

• Geometría algebraica espectral
• Jacobiano intermedio
• Teoría de la homotopía cromática

Referencias

1. Goerss, Paul G. (8 de mayo de 2009). "Realización de familias de teorías de homología exacta de Landweber". arXiv : 0905.1319 [math.AT].

• Franke, Jens (1992), "Sobre la construcción de la cohomología elíptica", Mathematische Nachrichten , 158 (1): 43–65, doi :10.1002/mana.19921580104.
• Landweber, Peter S. (1988), "Géneros elípticos: una descripción introductoria", en Landweber, PS (ed.), Curvas elípticas y formas modulares en topología algebraica , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1326, Berlín: Springer, págs. 1–10, ISBN 3-540-19490-8.
• Landweber, Peter S. (1988), "Cohomología elíptica y formas modulares", en Landweber, PS (ed.), Curvas elípticas y formas modulares en topología algebraica , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1326, Berlín: Springer, págs. 55–68, ISBN 3-540-19490-8.
• Landweber, PS; Ravenel, D. y Stong, R. (1995), "Teorías de cohomología periódica definidas por curvas elípticas", en Cenkl, M. y Miller, H. (eds.), The Čech Centennial 1993 , Contemp. Math., vol. 181, Boston: Amer. Math. Soc., págs. 317–338, ISBN 0-8218-0296-8.
• Lurie, Jacob (2009), "Un estudio de la cohomología elíptica", en Baas, Nils; Friedlander, Eric M.; Jahren, Björn; et al. (eds.), Topología algebraica: el simposio Abel 2007 , Berlín: Springer, págs. 219–277, doi :10.1007/978-3-642-01200-6, hdl : 2158/373831 , ISBN 978-3-642-01199-3.

Artículos fundacionales

• Cohomología elíptica - Graeme Segal

Extensiones de las variedades de Calabi-Yau

• Espectros K3
• Construcción de espectros K3 explícitos
• Las curvas elípticas en la teoría de calibre, la teoría de cuerdas y la cohomología