Geometría algebraica derivada

Rama de las matemáticas

La geometría algebraica derivada es una rama de las matemáticas que generaliza la geometría algebraica a una situación en la que los anillos conmutativos , que proporcionan gráficos locales, se reemplazan por álgebras graduadas diferenciales (sobre ), anillos conmutativos simpliciales o espectros de anillos de la topología algebraica , cuyos grupos de homotopía superiores explican la no discreción (por ejemplo, Tor) del haz de estructura. La teoría de esquemas de Grothendieck permite que el haz de estructura lleve elementos nilpotentes . La geometría algebraica derivada puede considerarse una extensión de esta idea y proporciona configuraciones naturales para la teoría de la intersección (o teoría de homotopía motívica ^[1] ) de variedades algebraicas singulares y complejos cotangentes en la teoría de la deformación (cf. J. Francis), entre otras aplicaciones. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle E_{\infty }}$

Introducción

Los objetos básicos de estudio en este campo son los esquemas derivados y las pilas derivadas . La motivación que se cita con frecuencia es la fórmula de intersección de Serre . ^[2] En la formulación habitual, la fórmula involucra al funtor Tor y, por lo tanto, a menos que Tor superior se anule, la intersección teórica del esquema (es decir, el producto de fibra de las inmersiones) no produce el número de intersección correcto . En el contexto derivado, se toma el producto tensorial derivado , cuya homotopía superior es Tor superior, cuyo Spec no es un esquema sino un esquema derivado . Por lo tanto, el producto de fibra "derivado" produce el número de intersección correcto. (Actualmente esto es hipotético; la teoría de intersección derivada aún debe desarrollarse). ${\displaystyle A\otimes ^{L}B}$

El término "derivado" se utiliza de la misma manera que funtor derivado o categoría derivada , en el sentido de que la categoría de anillos conmutativos se reemplaza por una ∞-categoría de "anillos derivados". En la geometría algebraica clásica, la categoría derivada de haces cuasi-coherentes se considera una categoría triangulada , pero tiene una mejora natural hacia una ∞-categoría estable , que puede considerarse como el análogo ∞-categórico de una categoría abeliana .

Definiciones

La geometría algebraica derivada es fundamentalmente el estudio de objetos geométricos utilizando el álgebra homológica y la homotopía. Dado que los objetos en este campo deben codificar la información homológica y de homotopía, existen varias nociones de lo que encapsulan los espacios derivados. Los objetos básicos de estudio en la geometría algebraica derivada son los esquemas derivados y, de manera más general, las pilas derivadas. Heurísticamente, los esquemas derivados deben ser funtores de alguna categoría de anillos derivados a la categoría de conjuntos.

${\displaystyle F:{\text{DerRings}}\to {\text{Sets}}}$

que se pueden generalizar aún más para tener objetivos de grupoides superiores (que se espera que sean modelados por tipos de homotopía). Estas pilas derivadas son funtores adecuados de la forma

${\displaystyle F:{\text{DerRings}}\to {\text{HoT}}}$

Muchos autores modelan estos funtores como funtores con valores en conjuntos simpliciales, ya que modelan tipos de homotopía y están bien estudiados. Las diferentes definiciones de estos espacios derivados dependen de la elección de qué son los anillos derivados y cómo deberían ser los tipos de homotopía. Algunos ejemplos de anillos derivados incluyen álgebras graduadas diferenciales conmutativas, anillos simpliciales y anillos-. ${\displaystyle E_{\infty }}$

Geometría derivada sobre la característica 0

Sobre la característica 0 muchas de las geometrías derivadas concuerdan ya que los anillos derivados son los mismos. Las álgebras son simplemente álgebras diferenciales graduadas conmutativas sobre la característica cero. Podemos entonces definir esquemas derivados de manera similar a los esquemas en geometría algebraica. De manera similar a la geometría algebraica, también podríamos ver estos objetos como un par que es un espacio topológico con un haz de álgebras diferenciales graduadas conmutativas. A veces los autores toman la convención de que estos son graduados negativamente, por lo que para . La condición del haz también podría debilitarse de modo que para una cubierta de , los haces se pegarían en superposiciones solo por cuasi-isomorfismo. ${\displaystyle E_{\infty }}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X}^{\bullet })}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{n}=0}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{U_{i}}^{\bullet }}$ ${\displaystyle U_{ij}}$

Desafortunadamente, sobre la característica p, las álgebras graduadas diferenciales funcionan mal para la teoría de homotopía, debido al hecho [1]. Esto se puede superar utilizando álgebras simpliciales. ${\displaystyle d[x^{p}]=pd[x^{p-1}]}$

Geometría derivada sobre característica arbitraria

Los anillos derivados sobre una característica arbitraria se toman como anillos conmutativos simpliciales debido a las agradables propiedades categóricas que tienen. En particular, la categoría de anillos simpliciales se enriquece simplicialmente, lo que significa que los conjuntos hom son en sí mismos conjuntos simpliciales. Además, existe una estructura de modelo canónica sobre anillos conmutativos simpliciales que proviene de conjuntos simpliciales. ^[3] De hecho, es un teorema de Quillen que la estructura de modelo sobre conjuntos simpliciales se puede transferir a anillos conmutativos simpliciales.

Pilas más altas

Se conjetura que existe una teoría final de pilas superiores que modelan tipos de homotopía . Grothendieck conjeturó que estos serían modelados por grupoides globulares, o una forma débil de su definición. Simpson ^[4] da una definición útil en el espíritu de las ideas de Grothendieck. Recordemos que una pila algebraica (aquí una pila 1) se llama representable si el producto de fibras de dos esquemas cualesquiera es isomorfo a un esquema. ^[5] Si tomamos el ansatz de que una pila 0 es simplemente un espacio algebraico y una pila 1 es simplemente una pila, podemos definir recursivamente una pila n como un objeto tal que el producto de fibras a lo largo de dos esquemas cualesquiera es una pila (n-1). Si volvemos a la definición de una pila algebraica, esta nueva definición concuerda.

Esquemas espectrales

Otra teoría de la geometría algebraica derivada está encapsulada por la teoría de esquemas espectrales. Su definición requiere una buena cantidad de tecnología para poder expresarla con precisión. ^[6] Pero, en resumen, los esquemas espectrales están dados por un -topos anillado espectralmente junto con un haz de -anillos sobre él sujetos a algunas condiciones de localidad similares a la definición de esquemas afines. En particular ${\displaystyle X=({\mathfrak {X}},{\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}})}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$ ${\displaystyle \mathbb {E} _{\infty }}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}}}$

1. ${\displaystyle {\mathfrak {X}}\cong {\text{Shv}}(X_{top})}$debe ser equivalente al -topos de algún espacio topológico ${\displaystyle \infty }$
2. Debe existir una cubierta tal que el topos inducido sea equivalente a un topos anillado espectralmente para algún anillo - ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle X_{top}}$ ${\displaystyle ({\mathfrak {X}}_{U_{i}},{\mathcal {O}}_{{\mathfrak {X}}_{U_{i}}})}$ ${\displaystyle {\text{Spec}}(A_{i})}$ ${\displaystyle \mathbb {E} _{\infty }}$ ${\displaystyle A_{i}}$

Además, el esquema espectral se llama conectivo si para . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi _{i}({\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}})=0}$ ${\displaystyle i<0}$

Ejemplos

Recordemos que el topos de un punto es equivalente a la categoría de conjuntos. Entonces, en la configuración -topos, en cambio consideramos -haces de -grupoides (que son -categorías con todos los morfismos invertibles), denotados , dando un análogo del topos de punto en la configuración -topos. Entonces, la estructura de un espacio espectralmente anillado puede darse adjuntando un -anillo . Nótese que esto implica que los espacios espectralmente anillados generalizan -anillos ya que cada -anillo puede asociarse con un sitio espectralmente anillado. ${\displaystyle {\text{Sh}}(*)}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle {\text{Shv}}(*)}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \mathbb {E} _{\infty }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {E} _{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {E} _{\infty }}$

Este topos espectralmente anillado puede ser un esquema espectral si el espectro de este anillo da un -topos equivalente, de modo que su espacio subyacente sea un punto. Por ejemplo, esto puede darse por el espectro del anillo , llamado espectro de Eilenberg-Maclane, construido a partir de los espacios de Eilenberg-MacLane . ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle H\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle K(\mathbb {Q} ,n)}$

Aplicaciones

• Kerz, Strunk y Tamme (2018) utilizaron la geometría algebraica derivada para demostrar la conjetura de Weibel sobre la desaparición de la teoría K negativa .
• La formulación de la conjetura geométrica de Langlands de Arinkin y Gaitsgory utiliza geometría algebraica derivada. ^[7]

Véase también

• Esquema derivado
• Persiguiendo pilas
• Geometría algebraica no conmutativa
• Anillo conmutativo simple
• Derivador
• Álgebra sobre una operación
• En-ring
• Teoría de los topos superiores
• ∞-topos
• espectro de estrellas

Notas

1. Khan, Adeel A. (2019). "Nueva y valiente teoría de la homotopía motívica I". Geom. Topol . 23 : 3647–3685. arXiv : 1610.06871 . doi :10.2140/gt.2019.23.3647. S2CID  119661301.
2. Fórmula de intersección de Serre y geometría algebraica derivada?
3. Mathew, Akhil. "Anillos conmutativos simples, I" (PDF) . Archivado (PDF) del original el 16 de junio de 2019.
4. Simpson, Carlos (17 de septiembre de 1996). "Pilas $n$ algebraicas (geométricas)". arXiv : alg-geom/9609014 .
5. Esto se puede comprobar observando el morfismo diagonal y comprobando si es representable. Consulta https://math.dartmouth.edu/~jvoight/notes/moduli-red-harvard.pdf para obtener más información
6. Rezk, Charles. "Geometría algebraica espectral" (PDF) . pág. 23 (sección 10.6). Archivado (PDF) desde el original el 25 de abril de 2020.
7. Arinkin, Dima; Gaitsgory, Dennis (2015). "Soporte singular de haces coherentes y la conjetura geométrica de Langlands". Selecta Math . 21 (1): 1–199. CiteSeerX 10.1.1.763.8289 . doi :10.1007/s00029-014-0167-5. S2CID  119136874. 

Referencias

DAG simple

• Toën, Bertrand (6 de enero de 2014). "Geometría algebraica derivada". arXiv : 1401.1044 [math.AG].
• Toën, Bertrand ; Vezzosi, Gabriele (2004). "From HAG to DAG: derived moduli stacks". En Greenlees, JPC (ed.). Teoría de homotopía axiomática, enriquecida y motívica. Actas del NATO Advanced Study Institute, Cambridge, Reino Unido, 9-20 de septiembre de 2002. NATO Science Series II: Mathematics, Physics and Chemistry. Vol. 131. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. págs. 173-216. ISBN. 1-4020-1833-9.Zbl 1076.14002  .
• Vezzosi, Gabriele (2011). "¿Qué es... una pila derivada?" (PDF) . Avisos Am. Math. Soc . 58 (7): 955–958. Zbl  1228.14004.

DAG con clasificación diferencial

• Eugster, J.; Pridham, JP (25 de octubre de 2021). "Introducción a la geometría (algebraica) derivada". arXiv : 2109.14594 [math.AG].

minortey E∞-anillos

• Geometría algebraica espectral - Rezk
• Operadas y cohomología de haces - JP May - -anillos sobre la característica 0 y -estructura para cohomología de haces ${\displaystyle E_{\infty }}$ ${\displaystyle E_{\infty }}$
• Complejo tangente y cohomología de Hochschild de anillos E _n https://arxiv.org/abs/1104.0181
• Francis, John; Geometría algebraica derivada sobre anillos E n {\displaystyle {\mathcal {E}}_{n}}

Aplicaciones

• Lowrey, Parker; Schürg, Timo. (2018). Grothendieck-Riemann-Roch para esquemas derivados
• Ciocan-Fontanine, I., Kapranov, M. (2007). Clases fundamentales virtuales a través de dg-manifolds
• Mann, E., Robalo M. (2018). Teoría de Gromov-Witten con geometría algebraica derivada
• Ben-Zvi, D. , Francis, J., y D. Nadler. Transformadas integrales y centros de Drinfeld en geometría algebraica derivada.
• Kerz, Moritz; Strunk, Florian; Tamme, Georg (2018), " Teoría K algebraica y descenso para explosiones", Invent. Math. , 211 (2): 523–577, arXiv : 1611.08466 , Bibcode :2018InMat.211..523K, doi :10.1007/s00222-017-0752-2, MR  3748313, S2CID  119165673

Teorías cuánticas de campos

• Notas sobre teorías de campos supersimétricos y holomorfos en dimensiones 2 y 4

Enlaces externos

• Página de inicio de Jacob Lurie
• Descripción general de la geometría algebraica espectral
• Grupo de lectura DAG (otoño de 2011) en Harvard
• http://ncatlab.org/nlab/show/derived+algebraic+geometry
• Taller de aprendizaje de geometría algebraica derivada de Michigan RTG, 2012
• Geometría algebraica derivada: ¿cómo alcanzar el nivel de investigación matemática?
• Geometría algebraica derivada y anillos Chow/motivos Chow
• Gabriele Vezzosi, Una visión general de la geometría algebraica derivada, octubre de 2013