Teorema del funtor exacto de Landweber

Teorema relativo a la topología algebraica

En matemáticas, el teorema del funtor exacto de Landweber , llamado así por Peter Landweber , es un teorema de topología algebraica . Se sabe que una orientación compleja de una teoría de homología conduce a una ley de grupo formal . El teorema del funtor exacto de Landweber (o LEFT para abreviar) puede verse como un método para revertir este proceso: construye una teoría de homología a partir de una ley de grupo formal.

Declaración

El anillo de coeficientes del cobordismo complejo es , donde el grado de es . Esto es isomorfo al anillo graduado de Lazard . Esto significa que dar una ley de grupo formal F (de grado ) sobre un anillo graduado es equivalente a dar un morfismo de anillo graduado . La multiplicación por un entero se define inductivamente como una serie de potencias , por ${\displaystyle MU_{*}(*)=MU_{*}\cong \mathbb {Z} [x_{1},x_{2},\dots ]}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle 2i}$ ${\displaystyle {\mathcal {}}L_{*}}$ ${\displaystyle -2}$ ${\displaystyle R_{*}}$ ${\displaystyle L_{*}\to R_{*}}$ ${\displaystyle n>0}$

${\displaystyle [n+1]^{F}x=F(x,[n]^{F}x)}$y ${\displaystyle [1]^{F}x=x.}$

Sea ahora F una ley de grupo formal sobre un anillo . Definamos para un espacio topológico X ${\displaystyle {\mathcal {}}R_{*}}$

${\displaystyle E_{*}(X)=MU_{*}(X)\otimes _{MU_{*}}R_{*}}$

Aquí obtiene su estructura de álgebra a través de F. La pregunta es: ¿es E una teoría de homología? Obviamente es un funtor invariante de homotopía, que cumple con la escisión. El problema es que la tensificación en general no preserva las secuencias exactas. Se podría exigir que sea plana sobre , pero eso sería demasiado fuerte en la práctica. Peter Landweber encontró otro criterio: ${\displaystyle R_{*}}$ ${\displaystyle MU_{*}}$ ${\displaystyle R_{*}}$ ${\displaystyle MU_{*}}$

Teorema (teorema del funtor exacto de Landweber)

Para cada primo p, existen elementos tales que tenemos lo siguiente: Supongamos que es un módulo graduado y la sucesión es regular para , para cada p y n . Entonces ${\displaystyle v_{1},v_{2},\dots \in MU_{*}}$ ${\displaystyle M_{*}}$ ${\displaystyle MU_{*}}$ ${\displaystyle (p,v_{1},v_{2},\dots ,v_{n})}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle E_{*}(X)=MU_{*}(X)\otimes _{MU_{*}}M_{*}}$

es una teoría de homología sobre complejos CW .

En particular, toda ley de grupo formal F sobre un anillo produce un módulo sobre ya que obtenemos a través de F un morfismo de anillo . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\mathcal {}}MU_{*}}$ ${\displaystyle MU_{*}\to R}$

Observaciones

• También existe una versión para la cohomología Brown-Peterson BP. El espectro BP es una suma directa de con coeficientes . La afirmación de la IZQUIERDA sigue siendo cierta si se fija un primo p y se sustituye BP por MU. ${\displaystyle MU_{(p)}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}[v_{1},v_{2},\dots ]}$
• La prueba clásica de la LEFT utiliza el teorema del ideal invariante de Landweber-Morava: los únicos ideales primos de los cuales son invariantes bajo la coacción de son los . Esto permite comprobar la planicidad solo con respecto a los (véase Landweber, 1976). ${\displaystyle BP_{*}}$ ${\displaystyle BP_{*}BP}$ ${\displaystyle I_{n}=(p,v_{1},\dots ,v_{n})}$ ${\displaystyle BP_{*}/I_{n}}$
• La IZQUIERDA se puede fortalecer de la siguiente manera: sea la categoría (homotópica) de los -módulos exactos de Landweber y la categoría de los espectros de MU-módulos M tales que es exacta de Landweber. Entonces el funtor es una equivalencia de categorías. El funtor inverso (dado por la IZQUIERDA) convierte las -álgebras en espectros de MU-álgebras (homotópicas) (véase Hovey, Strickland, 1999, Teoría 2.7). ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{*}}$ ${\displaystyle MU_{*}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle \pi _{*}M}$ ${\displaystyle \pi _{*}\colon {\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}}_{*}}$ ${\displaystyle {\mathcal {}}MU_{*}}$

Ejemplos

El ejemplo arquetípico y el primero conocido (no trivial) es la teoría K compleja K. La teoría K compleja está orientada a lo complejo y tiene como ley de grupo formal . El morfismo correspondiente también se conoce como género de Todd . Tenemos entonces un isomorfismo ${\displaystyle x+y+xy}$ ${\displaystyle MU_{*}\to K_{*}}$

${\displaystyle K_{*}(X)=MU_{*}(X)\otimes _{MU_{*}}K_{*},}$

llamado isomorfismo de Conner-Floyd .

Si bien la teoría K compleja se construyó antes por medios geométricos, muchas teorías de homología se construyeron primero a través del teorema del functor exacto de Landweber. Esto incluye la homología elíptica , las teorías de Johnson-Wilson y los espectros de Lubin-Tate . ${\displaystyle E(n)}$ ${\displaystyle E_{n}}$

Mientras que la homología con coeficientes racionales es exacta a Landweber, la homología con coeficientes enteros no lo es. Además, la teoría K de Morava, K(n), no es exacta a Landweber. ${\displaystyle H\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle H\mathbb {Z} }$

Reformulación moderna

Un módulo M sobre es lo mismo que un haz cuasi coherente sobre , donde L es el anillo de Lazard. Si , entonces M tiene el dato extra de una coacción. Una coacción en el nivel del anillo corresponde a que es un haz equivariante con respecto a una acción de un esquema de grupo afín G. Es un teorema de Quillen que y asigna a cada anillo R el grupo de series de potencias ${\displaystyle {\mathcal {}}MU_{*}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\text{Spec }}L}$ ${\displaystyle M={\mathcal {}}MU_{*}(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {}}MU_{*}MU}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle G\cong \mathbb {Z} [b_{1},b_{2},\dots ]}$

${\displaystyle g(t)=t+b_{1}t^{2}+b_{2}t^{3}+\cdots \in R[[t]]}$.

Actúa sobre el conjunto de leyes formales del grupo a través de ${\displaystyle {\text{Spec }}L(R)}$

${\displaystyle F(x,y)\mapsto gF(g^{-1}x,g^{-1}y)}$.

Estos son solo los cambios de coordenadas de las leyes de grupos formales. Por lo tanto, se puede identificar el cociente de la pila con la pila de grupos formales (unidimensionales) y definir un haz cuasi coherente sobre esta pila. Ahora es bastante fácil ver que basta con que M defina un haz cuasi coherente que sea plano para que sea una teoría de homología. El teorema de exactitud de Landweber puede entonces interpretarse como un criterio de planitud para (ver Lurie 2010). ${\displaystyle {\text{Spec }}L//G}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{fg}}$ ${\displaystyle M=MU_{*}(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{fg}}$ ${\displaystyle MU_{*}(X)\otimes _{MU_{*}}M}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{fg}}$

Refinamientos a mi ∞ {\displaystyle E_{\infty}} -espectros de anillos

Si bien se sabe que LEFT produce espectros de anillos (de homotopía) a partir de , es una cuestión mucho más delicada entender cuándo estos espectros son en realidad espectros de anillos . A partir de 2010, el mejor progreso fue realizado por Jacob Lurie . Si X es una pila algebraica y una función plana de pilas, la discusión anterior muestra que obtenemos un prehaz de espectros de anillos (de homotopía) en X. Si esta función se factoriza sobre (la pila de grupos p-divisibles unidimensionales de altura n) y la función es etale , entonces este prehaz se puede refinar a un haz de espectros de anillos (ver Goerss). Este teorema es importante para la construcción de formas modulares topológicas . ${\displaystyle {\mathcal {}}MU_{*}}$ ${\displaystyle E_{\infty }}$ ${\displaystyle X\to {\mathcal {M}}_{fg}}$ ${\displaystyle M_{p}(n)}$ ${\displaystyle X\to M_{p}(n)}$ ${\displaystyle E_{\infty }}$

Véase también

• Teoría de la homotopía cromática

Referencias

• Goerss, Paul. "Realización de familias de teorías de homología exacta de Landweber" (PDF) .
• Hovey, Mark; Strickland, Neil P. (1999), "Teorías K de Morava y localización", Memorias de la American Mathematical Society , 139 (666), doi :10.1090/memo/0666, MR  1601906, archivado desde el original el 7 de diciembre de 2004
• Landweber, Peter S. (1976). "Propiedades homológicas de los comodulos sobre y ". American Journal of Mathematics . 98 (3): 591–610. doi :10.2307/2373808. JSTOR  2373808. ${\displaystyle MU_{*}(MU)}$ ${\displaystyle BP_{*}(BP)}$.
• Lurie, Jacob (2010). "Teoría de la homotopía cromática. Notas de clase".