gavilla coherente

Generalización de paquetes de vectores.

En matemáticas, especialmente en geometría algebraica y teoría de variedades complejas , las gavillas coherentes son una clase de gavillas estrechamente vinculadas a las propiedades geométricas del espacio subyacente. La definición de haces coherentes se hace con referencia a un haz de anillos que codifica esta información geométrica.

Las gavillas coherentes pueden verse como una generalización de haces de vectores . A diferencia de los paquetes de vectores, forman una categoría abeliana y, por lo tanto, se cierran en operaciones como la toma de núcleos , imágenes y cokernels . Las gavillas cuasi coherentes son una generalización de las gavillas coherentes e incluyen las gavillas localmente libres de rango infinito.

La cohomología de gavilla coherente es una técnica poderosa, en particular para estudiar las secciones de una gavilla coherente determinada.

Definiciones

Un haz cuasi coherente en un espacio anillado es un haz de módulos que tiene una presentación local, es decir, cada punto tiene una vecindad abierta en la que hay una secuencia exacta. ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\oplus I}|_{U}\to {\mathcal {O}}_{X}^{\oplus J}|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}\to 0}$

para algunos conjuntos (posiblemente infinitos) y . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle J}$

Un haz coherente en un espacio anillado es un haz de módulos que satisfacen las dos propiedades siguientes: ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$es de tipo finito over , es decir, cada punto in tiene una vecindad abierta in tal que existe un morfismo sobreyectivo para algún número natural ; ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{n}|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}}$ ${\displaystyle n}$
2. para cualquier conjunto abierto , cualquier número natural y cualquier morfismo de -módulos, el núcleo de es de tipo finito. ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \varphi :{\mathcal {O}}_{X}^{n}|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle \varphi }$

Los morfismos entre haces (cuasi) coherentes son los mismos que los morfismos de haces de módulos. ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

El caso de los esquemas

Cuando se trata de un esquema, las definiciones generales anteriores equivalen a otras más explícitas. Un haz de módulos es cuasi coherente si y solo si sobre cada subesquema afín abierto la restricción es isomorfa al haz asociado al módulo sobre . Cuando es un esquema localmente noetheriano, es coherente si y sólo si es cuasi coherente y se puede considerar que los módulos anteriores se generan de forma finita . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle U=\operatorname {Spec} A}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}|_{U}}$ ${\displaystyle {\tilde {M}}}$ ${\displaystyle M=\Gamma (U,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle M}$

En un esquema afín , existe una equivalencia de categorías desde módulos hasta haces cuasi coherentes, llevando un módulo a la gavilla asociada . La equivalencia inversa lleva un haz cuasi coherente al módulo de secciones globales de . ${\displaystyle U=\operatorname {Spec} A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\tilde {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

A continuación se presentan varias caracterizaciones adicionales de haces cuasi coherentes en un esquema. ^[1]

Teorema  :  sea un esquema y un módulo. Entonces los siguientes son equivalentes. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

• ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$es casi coherente.
• Para cada subesquema afín abierto de , es isomorfo como un módulo a la gavilla asociada a algún módulo . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}|_{U}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{U}}$ ${\displaystyle {\tilde {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(U)}$ ${\displaystyle M}$
• Hay una cubierta afín abierta de tal manera que para cada una de las cubiertas, es isomorfa a la gavilla asociada a algún módulo. ${\displaystyle \{U_{\alpha }\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{\alpha }}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}|_{U_{\alpha }}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(U_{\alpha })}$
• Para cada par de subesquemas afines abiertos de , el homomorfismo natural ${\displaystyle V\subseteq U}$ ${\displaystyle X}$

  ${\displaystyle {\mathcal {O}}(V)\otimes _{{\mathcal {O}}(U)}{\mathcal {F}}(U)\to {\mathcal {F}}(V),\,f\otimes s\mapsto f\cdot s|_{V}}$

es un isomorfismo.

• Para cada subesquema afín abierto de y cada , escribiendo para el subesquema abierto de donde no es cero, el homomorfismo natural ${\displaystyle U=\operatorname {Spec} A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\in A}$ ${\displaystyle U_{f}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f}$

  ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U){\bigg [}{\frac {1}{f}}{\bigg ]}\to {\mathcal {F}}(U_{f})}$

es un isomorfismo. El homomorfismo proviene de la propiedad universal de localización .

Propiedades

En un espacio anillado arbitrario, haces cuasi coherentes no necesariamente forman una categoría abeliana. Por otro lado, los haces cuasi coherentes de cualquier esquema forman una categoría abeliana y son extremadamente útiles en ese contexto. ^[2]

En cualquier espacio anillado , los haces coherentes forman una categoría abeliana, una subcategoría completa de la categoría de -módulos. ^[3] (De manera análoga, la categoría de módulos coherentes sobre cualquier anillo es una subcategoría abeliana completa de la categoría de todos los módulos). Por lo tanto, el núcleo, la imagen y el cokernel de cualquier mapa de haces coherentes son coherentes. La suma directa de dos haces coherentes es coherente; De manera más general, un módulo que es una extensión de dos haces coherentes es coherente. ^[4] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

Un submódulo de un haz coherente es coherente si es de tipo finito. Un haz coherente es siempre un módulo de presentación finita , lo que significa que cada punto tiene una vecindad abierta tal que la restricción de a es isomorfa al cokernel de un morfismo para algunos números naturales y . Si es coherente, entonces, a la inversa, todo haz de presentación finita es coherente. ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}|_{U}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{n}|_{U}\to {\mathcal {O}}_{X}^{m}|_{U}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

El haz de anillos se llama coherente si es coherente considerado como un haz de módulos sobre sí mismo. En particular, el teorema de coherencia de Oka establece que el haz de funciones holomorfas en un espacio analítico complejo es un haz coherente de anillos. La parte principal de la prueba es el caso . Asimismo, en un esquema localmente noetheriano , la estructura del haz es un haz coherente de anillos. ^[5] ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X=\mathbf {C} ^{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

Construcciones básicas de gavillas coherentes.

• Un módulo en un espacio anillado se llama localmente libre de rango finito , o paquete vectorial , si cada punto tiene una vecindad abierta tal que la restricción es isomorfa a una suma directa finita de copias de . Si está libre del mismo rango cerca de cada punto de , entonces se dice que el paquete de vectores tiene rango . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}|_{U}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}|_{U}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle n}$

Los paquetes de vectores en este sentido de la teoría de la gavilla sobre un esquema son equivalentes a los paquetes de vectores definidos de una manera más geométrica, como un esquema con un morfismo y con una cobertura de conjuntos abiertos con isomorfismos dados de manera que los dos isomorfismos sobre una intersección difieren. por un automorfismo lineal. ^[6] (La equivalencia análoga también es válida para espacios analíticos complejos.) Por ejemplo, dado un paquete de vectores en este sentido geométrico, la gavilla correspondiente se define por: sobre un conjunto abierto de , el módulo es el conjunto de secciones del morfismo . La interpretación teórica de haces de haces de vectores tiene la ventaja de que los haces de vectores (en un esquema localmente noetheriano) se incluyen en la categoría abeliana de haces coherentes. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \pi :E\to X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{\alpha }}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(U_{\alpha })\cong \mathbb {A} ^{n}\times U_{\alpha }}$ ${\displaystyle U_{\alpha }}$ ${\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(U)\to U}$

• Las poleas libres localmente vienen equipadas con operaciones de módulo estándar, pero estas devuelven poleas libres localmente. ^{[ impreciso ]} ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

• Vamos , un anillo noetheriano. Entonces, los paquetes de vectores son exactamente las gavillas asociadas a módulos proyectivos generados finitamente sobre , o (equivalentemente) a módulos planos generados finitamente sobre . ^[7] ${\displaystyle X=\operatorname {Spec} (R)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$
• Sea un anillo graduado noetheriano un esquema proyectivo sobre un anillo noetheriano . Luego, cada módulo graduado determina una gavilla cuasi coherente tal que es la gavilla asociada al módulo , donde es un elemento homogéneo de grado positivo y es el lugar donde no desaparece. ${\displaystyle X=\operatorname {Proj} (R)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle R_{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}|_{\{f\neq 0\}}}$ ${\displaystyle R[f^{-1}]_{0}}$ ${\displaystyle M[f^{-1}]_{0}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \{f\neq 0\}=\operatorname {Spec} R[f^{-1}]_{0}}$ ${\displaystyle f}$
• Por ejemplo, para cada número entero , denotemos el módulo calificado dado por . Luego cada uno determina la gavilla cuasi coherente en . Si se genera como -álgebra por , entonces es un paquete de líneas (gavilla invertible) y es la -ésima potencia tensorial de . En particular, se denomina paquete de líneas tautológicas en el espacio proyectivo. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle R(n)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R(n)_{l}=R_{n+l}}$ ${\displaystyle R(n)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(n)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R_{0}}$ ${\displaystyle R_{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(n)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(-1)}$ ${\displaystyle n}$
• El cokernel proporciona un ejemplo simple de una gavilla coherente que no es un paquete de vectores en la siguiente secuencia ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}(1){\xrightarrow {\cdot (x^{2}-yz,y^{3}+xy^{2}-xyz)}}{\mathcal {O}}(3)\oplus {\mathcal {O}}(4)\to {\mathcal {E}}\to 0}$

esto se debe a que restringido al lugar de desaparición de los dos polinomios tiene fibras bidimensionales y tiene fibras unidimensionales en otros lugares. ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

• Gavillas ideales : si es un subesquema cerrado de un esquema localmente noetheriano , la gavilla de todas las funciones regulares que desaparecen es coherente. Asimismo, si es un subespacio analítico cerrado de un espacio analítico complejo , el haz ideal es coherente. ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{Z/X}}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{Z/X}}$
• El haz estructural de un subesquema cerrado de un esquema localmente noetheriano puede verse como un haz coherente en . Para ser precisos, esta es la imagen directa de la gavilla , donde está la inclusión. Lo mismo ocurre con un subespacio analítico cerrado de un espacio analítico complejo. La gavilla tiene fibra (definida a continuación) de dimensión cero en puntos del conjunto abierto y fibra de dimensión 1 en puntos de . Hay una secuencia corta y exacta de gavillas coherentes en : ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Z}}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i_{*}{\mathcal {O}}_{Z}}$ ${\displaystyle i:Z\to X}$ ${\displaystyle i_{*}{\mathcal {O}}_{Z}}$ ${\displaystyle X-Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {I}}_{Z/X}\to {\mathcal {O}}_{X}\to i_{*}{\mathcal {O}}_{Z}\to 0.}$

• La mayoría de las operaciones de álgebra lineal conservan haces coherentes. En particular, para haces coherentes y en un espacio anillado , el haz de producto tensorial y el haz de homomorfismos son coherentes. ^[8] ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}om_{{\mathcal {O}}_{X}}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})}$
• Un simple no ejemplo de un haz cuasi coherente viene dado por la extensión por funtor cero. Por ejemplo, considere para ${\displaystyle i_{!}{\mathcal {O}}_{X}}$

${\displaystyle X=\operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x,x^{-1}]){\xrightarrow {i}}\operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x])=Y}$^[9]

Dado que este haz tiene tallos no triviales, pero cero secciones globales, no puede ser un haz cuasi coherente. Esto se debe a que las gavillas cuasi coherentes en un esquema afín son equivalentes a la categoría de módulos sobre el anillo subyacente, y la adjunción proviene de tomar secciones globales.

Funcionalidad

Sea un morfismo de espacios anillados (por ejemplo, un morfismo de esquemas ). Si es una gavilla cuasi coherente , entonces el módulo de imagen inverso (o retroceso ) es cuasi coherente . ^[10] Para un morfismo de esquemas y un haz coherente en , el retroceso no es coherente en toda su generalidad (por ejemplo, , que podría no ser coherente), pero los retrocesos de haces coherentes son coherentes si son localmente noetherianos. Un caso especial importante es el retroceso de un paquete de vectores, que es un paquete de vectores. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle f^{*}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f^{*}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle f^{*}{\mathcal {O}}_{Y}={\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle X}$

Si es un morfismo de esquemas cuasi compacto y cuasi separado y es un haz cuasi coherente en , entonces el haz de imágenes directas (o pushforward ) es cuasi coherente en . ^[2] ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f_{*}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle Y}$

La imagen directa de un haz coherente a menudo no es coherente. Por ejemplo, para un campo , sea la línea afín sobre y considere el morfismo ; entonces la imagen directa es la gavilla asociada al anillo polinómico , que no es coherente porque tiene dimensión infinita como espacio vectorial. Por otro lado, la imagen directa de un haz coherente bajo un morfismo propio es coherente, por resultados de Grauert y Grothendieck . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f:X\to \operatorname {Spec} (k)}$ ${\displaystyle f_{*}{\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (k)}$ ${\displaystyle k[x]}$ ${\displaystyle k[x]}$ ${\displaystyle k}$

Comportamiento local de gavillas coherentes.

Una característica importante de los haces coherentes es que las propiedades de en un punto controlan el comportamiento de en una vecindad de , más de lo que sería cierto para un haz arbitrario. Por ejemplo, el lema de Nakayama dice (en lenguaje geométrico) que si hay un haz coherente en un esquema , entonces la fibra de en un punto (un espacio vectorial sobre el campo residual ) es cero si y sólo si el haz es cero en algún espacio abierto. barrio de . Un hecho relacionado es que la dimensión de las fibras de un haz coherente es semicontinua superior . ^[11] Por lo tanto, una gavilla coherente tiene un rango constante en un conjunto abierto, mientras que el rango puede saltar en un subconjunto cerrado de dimensiones inferiores. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X,x}}k(x)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle k(x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle x}$

En el mismo espíritu: un haz coherente en un esquema es un paquete de vectores si y sólo si su tallo es un módulo libre sobre el anillo local para cada punto en . ^[12] ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$

En un esquema general, no se puede determinar si un haz coherente es un haz de vectores sólo a partir de sus fibras (a diferencia de sus tallos). Sin embargo, en un esquema localmente noetheriano reducido , un haz coherente es un paquete de vectores si y sólo si su rango es localmente constante. ^[13]

Ejemplos de paquetes de vectores

Para un morfismo de esquemas , sea el morfismo diagonal , que es una inmersión cerrada si se separa . Sea la gavilla ideal de en . Entonces el haz de diferenciales se puede definir como el retroceso de a . Las secciones de este haz se denominan formas 1 en over y se pueden escribir localmente en como sumas finitas para funciones regulares y . Si es localmente de tipo finito sobre un campo , entonces es una gavilla coherente en . ${\displaystyle X\to Y}$ ${\displaystyle \Delta :X\to X\times _{Y}X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\times _{Y}X}$ ${\displaystyle \Omega _{X/Y}^{1}}$ ${\displaystyle \Delta ^{*}{\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \textstyle \sum f_{j}\,dg_{j}}$ ${\displaystyle f_{j}}$ ${\displaystyle g_{j}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \Omega _{X/k}^{1}}$ ${\displaystyle X}$

Si es suave , entonces ( es decir ,) es un paquete vectorial sobre , llamado paquete cotangente de . Entonces el paquete tangente se define como el paquete dual . Para suavizar las dimensiones en todas partes, el paquete tangente tiene rango . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \Omega ^{1}}$ ${\displaystyle \Omega _{X/k}^{1}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle TX}$ ${\displaystyle (\Omega ^{1})^{*}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Si un subesquema cerrado suave de un esquema suave termina , entonces hay una secuencia corta y exacta de paquetes de vectores en : ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle 0\to TY\to TX|_{Y}\to N_{Y/X}\to 0,}$

que se puede utilizar como definición del paquete normal en . ${\displaystyle N_{Y/X}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$

Para un esquema suave sobre un campo y un número natural , el paquete vectorial de i -formas se define como la -ésima potencia exterior del paquete cotangente ,. Para una variedad suave de dimensiones , el paquete canónico significa el paquete de líneas . Por tanto, las secciones del paquete canónico son análogos algebrogeométricos de las formas de volumen en . Por ejemplo, una sección del paquete canónico de espacio afín se puede escribir como ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \Omega ^{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \Omega ^{i}=\Lambda ^{i}\Omega ^{1}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle K_{X}}$ ${\displaystyle \Omega ^{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})\;dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{n},}$

donde es un polinomio con coeficientes en . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle k}$

Sea un anillo conmutativo y un número natural. Para cada número entero , hay un ejemplo importante de un paquete de líneas en el espacio proyectivo , llamado . Para definir esto, considere el morfismo de -esquemas ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(j)}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle \pi :\mathbb {A} ^{n+1}-0\to \mathbb {P} ^{n}}$

dado en coordenadas por . (Es decir, pensar en el espacio proyectivo como el espacio de subespacios lineales unidimensionales de espacio afín, enviar un punto distinto de cero en el espacio afín a la línea que abarca). Entonces, una sección de sobre un subconjunto abierto de se define como un función regular que es homogénea de grado , lo que significa que ${\displaystyle (x_{0},\ldots ,x_{n})\mapsto [x_{0},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(j)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(U)}$ ${\displaystyle j}$

${\displaystyle f(ax)=a^{j}f(x)}$

como funciones regulares en ( . Para todos los números enteros y , existe un isomorfismo de paquetes de líneas en . ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}-0)\times \pi ^{-1}(U)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(i)\otimes {\mathcal {O}}(j)\cong {\mathcal {O}}(i+j)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

En particular, cada polinomio homogéneo de grado over puede verse como una sección global de over . Tenga en cuenta que cada subesquema cerrado del espacio proyectivo puede definirse como el conjunto cero de alguna colección de polinomios homogéneos y, por tanto, como el conjunto cero de algunas secciones de los haces de líneas . ^[14] Esto contrasta con el caso más simple del espacio afín, donde un subesquema cerrado es simplemente el conjunto cero de alguna colección de funciones regulares. Las funciones regulares en el espacio proyectivo son solo las "constantes" (el anillo ), por lo que es esencial trabajar con los paquetes de líneas . ${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(j)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(j)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(j)}$

Serre dio una descripción algebraica de todos los haces coherentes en el espacio proyectivo, más sutil que lo que ocurre en el espacio afín. Es decir, sea un anillo noetheriano (por ejemplo, un campo) y considere el anillo polinómico como un anillo graduado en el que cada uno tiene grado 1. Entonces, cada módulo graduado finitamente generado tiene un haz coherente asociado en over . Cada haz coherente surge de esta manera a partir de un módulo graduado finitamente generado . (Por ejemplo, el paquete de líneas es el haz asociado al módulo con su clasificación reducida en .) Pero el módulo que produce un haz coherente dado no es único; solo es único hasta el cambio por módulos calificados que son distintos de cero en un número finito de grados. Más precisamente, la categoría abeliana de gavillas coherentes es el cociente de la categoría de módulos graduados generados finitamente por la subcategoría Serre de módulos que son distintos de cero sólo en un número finito de grados. ^[15] ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S=R[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\tilde {M}}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(j)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle S}$

El paquete tangente del espacio proyectivo sobre un campo se puede describir en términos del paquete de líneas . Es decir, existe una secuencia exacta corta, la secuencia de Euler : ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}\to {\mathcal {O}}(1)^{\oplus \;n+1}\to T\mathbb {P} ^{n}\to 0.}$

De ello se deduce que el paquete canónico (el dual del paquete lineal determinante del paquete tangente) es isomorfo a . Este es un cálculo fundamental para la geometría algebraica. Por ejemplo, el hecho de que el paquete canónico sea un múltiplo negativo del paquete de líneas amplias significa que el espacio proyectivo es una variedad de Fano . En los números complejos, esto significa que el espacio proyectivo tiene una métrica de Kähler con curvatura de Ricci positiva . ${\displaystyle K_{\mathbb {P} ^{n}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(-n-1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$

Paquetes de vectores en una hipersuperficie

Considere una hipersuperficie de grado suave definida por el polinomio homogéneo de grado . Entonces hay una secuencia exacta ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}(-d)\to i^{*}\Omega _{\mathbb {P} ^{n}}\to \Omega _{X}\to 0}$

donde el segundo mapa es el retroceso de formas diferenciales, y el primer mapa envía

${\displaystyle \phi \mapsto d(f\cdot \phi )}$

Tenga en cuenta que esta secuencia nos dice que es el haz conormal de in . Al dualizar esto se obtiene la secuencia exacta ${\displaystyle {\mathcal {O}}(-d)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

${\displaystyle 0\to T_{X}\to i^{*}T_{\mathbb {P} ^{n}}\to {\mathcal {O}}(d)\to 0}$

por lo tanto , el paquete normal de in . Si utilizamos el hecho de que dada una secuencia exacta ${\displaystyle {\mathcal {O}}(d)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {E}}_{1}\to {\mathcal {E}}_{2}\to {\mathcal {E}}_{3}\to 0}$

de paquetes de vectores con rangos ,,, hay un isomorfismo ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle r_{2}}$ ${\displaystyle r_{3}}$

${\displaystyle \Lambda ^{r_{2}}{\mathcal {E}}_{2}\cong \Lambda ^{r_{1}}{\mathcal {E}}_{1}\otimes \Lambda ^{r_{3}}{\mathcal {E}}_{3}}$

de haces de líneas, entonces vemos que existe el isomorfismo

${\displaystyle i^{*}\omega _{\mathbb {P} ^{n}}\cong \omega _{X}\otimes {\mathcal {O}}_{X}(-d)}$

mostrando que

${\displaystyle \omega _{X}\cong {\mathcal {O}}_{X}(d-n-1)}$

Construcción de Serre y paquetes de vectores.

Una técnica útil para construir paquetes de vectores de rango 2 es la construcción de Serre ^{[16] [17] pág. 3} , que establece una correspondencia entre paquetes de vectores de rango 2 en una variedad proyectiva suave y subvariedades de codimensión 2 utilizando un determinado grupo calculado en . Esto viene dado por una condición cohomológica en el haz de líneas (ver más abajo). ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\text{Ext}}^{1}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \wedge ^{2}{\mathcal {E}}}$

La correspondencia en una dirección se da de la siguiente manera: para una sección podemos asociar el lugar de fuga . Si es una subvariedad de codimensión 2, entonces ${\displaystyle s\in \Gamma (X,{\mathcal {E}})}$ ${\displaystyle V(s)\subseteq X}$ ${\displaystyle V(s)}$

1. Es una intersección local completa, lo que significa que si tomamos un gráfico afín , se puede representar como una función , donde y ${\displaystyle U_{i}\subseteq X}$ ${\displaystyle s|_{U_{i}}\in \Gamma (U_{i},{\mathcal {E}})}$ ${\displaystyle s_{i}:U_{i}\to \mathbb {A} ^{2}}$ ${\displaystyle s_{i}(p)=(s_{i}^{1}(p),s_{i}^{2}(p))}$ ${\displaystyle V(s)\cap U_{i}=V(s_{i}^{1},s_{i}^{2})}$
2. El paquete de líneas es isomorfo al paquete canónico en ${\displaystyle \omega _{X}\otimes \wedge ^{2}{\mathcal {E}}|_{V(s)}}$ ${\displaystyle \omega _{V(s)}}$ ${\displaystyle V(s)}$

En la otra dirección, ^[18] para una subvariedad de codimensión 2 y un paquete de líneas tal que ${\displaystyle Y\subseteq X}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}\to X}$

1. ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {L}})=H^{2}(X,{\mathcal {L}})=0}$
2. ${\displaystyle \omega _{Y}\cong (\omega _{X}\otimes {\mathcal {L}})|_{Y}}$

hay un isomorfismo canónico

${\displaystyle {\text{Hom}}((\omega _{X}\otimes {\mathcal {L}})|_{Y},\omega _{Y})\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {I}}_{Y}\otimes {\mathcal {L}},{\mathcal {O}}_{X})}$,

que es funcional con respecto a la inclusión de subvariedades de codimensión. Además, cualquier isomorfismo dado a la izquierda corresponde a un haz localmente libre en el medio de la extensión de la derecha. Es decir, dado que es un isomorfismo, existe un correspondiente haz localmente libre de rango 2 que encaja en una secuencia corta y exacta. ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle s\in {\text{Hom}}((\omega _{X}\otimes {\mathcal {L}})|_{Y},\omega _{Y})}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {I}}_{Y}\otimes {\mathcal {L}}\to 0}$

Este paquete de vectores se puede estudiar más a fondo utilizando invariantes cohomológicas para determinar si es estable o no. Esto forma la base para estudiar módulos de haces de vectores estables en muchos casos específicos, como en variedades abelianas principalmente polarizadas ^[17] y superficies K3 . ^[19]

Clases de Chern y teoría K algebraica.

Un paquete de vectores en una variedad suave sobre un campo tiene clases Chern en el anillo Chow de , en for . ^[20] Estos satisfacen las mismas propiedades formales que las clases de Chern en topología. Por ejemplo, para cualquier secuencia corta exacta ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle c_{i}(E)}$ ${\displaystyle CH^{i}(X)}$ ${\displaystyle i\geq 0}$

${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}$

de paquetes de vectores en , las clases de Chern están dadas por ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle c_{i}(B)=c_{i}(A)+c_{1}(A)c_{i-1}(C)+\cdots +c_{i-1}(A)c_{1}(C)+c_{i}(C).}$

De ello se deduce que las clases de Chern de un paquete de vectores dependen sólo de la clase de en el grupo de Grothendieck . Por definición, para un esquema , es el cociente del grupo abeliano libre en el conjunto de clases de isomorfismo de haces de vectores por la relación que para cualquier secuencia corta exacta como la anterior. Aunque en general es difícil de calcular, la teoría K algebraica proporciona muchas herramientas para estudiarla, incluida una secuencia de grupos relacionados para números enteros . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle K_{0}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K_{0}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [B]=[A]+[C]}$ ${\displaystyle K_{0}(X)}$ ${\displaystyle K_{i}(X)}$ ${\displaystyle i>0}$

Una variante es el grupo (o ), el grupo Grothendieck de gavillas coherentes en . (En términos topológicos, la teoría G tiene las propiedades formales de una teoría de homología de Borel-Moore para esquemas, mientras que la teoría K es la teoría de cohomología correspondiente ). El homomorfismo natural es un isomorfismo si es un esquema noetheriano separado regular , usando eso cada En ese caso, la gavilla coherente tiene una resolución finita por haces de vectores. ^[21] Por ejemplo, eso da una definición de las clases de Chern de una gavilla coherente en una variedad suave sobre un campo. ${\displaystyle G_{0}(X)}$ ${\displaystyle K_{0}'(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K_{0}(X)\to G_{0}(X)}$ ${\displaystyle X}$

De manera más general, se dice que un esquema noetheriano tiene la propiedad de resolución si cada haz coherente tiene una sobreyección de algún paquete de vectores . Por ejemplo, todo esquema cuasiproyectivo sobre un anillo noetheriano tiene la propiedad de resolución. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Aplicaciones de la propiedad de resolución

Dado que la propiedad de resolución establece que una gavilla coherente en un esquema noetheriano es casi isomorfa en la categoría derivada del complejo de haces de vectores: podemos calcular la clase total de Chern con ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{k}\to \cdots \to {\mathcal {E}}_{1}\to {\mathcal {E}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

${\displaystyle c({\mathcal {E}})=c({\mathcal {E}}_{0})c({\mathcal {E}}_{1})^{-1}\cdots c({\mathcal {E}}_{k})^{(-1)^{k}}}$

Por ejemplo, esta fórmula es útil para encontrar las clases Chern de la gavilla que representa un subesquema de . Si tomamos el esquema proyectivo asociado al ideal , entonces ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle (xy,xz)\subseteq \mathbb {C} [x,y,z,w]}$

${\displaystyle c({\mathcal {O}}_{Z})={\frac {c({\mathcal {O}})c({\mathcal {O}}(-3))}{c({\mathcal {O}}(-2)\oplus {\mathcal {O}}(-2))}}}$

ya que existe la resolucion

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}(-3)\to {\mathcal {O}}(-2)\oplus {\mathcal {O}}(-2)\to {\mathcal {O}}\to {\mathcal {O}}_{Z}\to 0}$

encima . ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{3}}$

Homomorfismo de paquete versus homomorfismo de gavilla

Cuando se usan indistintamente haces de vectores y haces localmente libres de rango finito constante, se debe tener cuidado de distinguir entre homomorfismos de haces y homomorfismos de haces. Específicamente, dados paquetes de vectores , por definición, un homomorfismo de paquete es un morfismo de esquema sobre (es decir, ) tal que, para cada punto geométrico en , hay un mapa lineal de rango independiente de . Por lo tanto, induce el homomorfismo de gavilla de rango constante entre los correspondientes módulos localmente libres (gavillas de secciones duales). Pero puede haber un homomorfismo de módulo que no surge de esta manera; es decir, aquellos que no tienen rango constante. ${\displaystyle p:E\to X,\,q:F\to X}$ ${\displaystyle \varphi :E\to F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p=q\circ \varphi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varphi _{x}:p^{-1}(x)\to q^{-1}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\widetilde {\varphi }}:{\mathcal {E}}\to {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

En particular, un subpaquete es un subhaz (es decir, es un subhaz de ). Pero lo contrario puede fallar; por ejemplo, para un divisor Cartier efectivo en , es un subhaz pero normalmente no es un subpaquete (ya que cualquier paquete de líneas tiene solo dos subpaquetes). ${\displaystyle E\subseteq F}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(-D)\subseteq {\mathcal {O}}_{X}}$

La categoría de haces cuasi coherentes.

Los haces cuasi coherentes en cualquier esquema fijo forman una categoría abeliana. Gabber demostró que, de hecho, los haces cuasi coherentes de cualquier esquema forman una categoría abeliana particularmente bien comportada, una categoría de Grothendieck . ^[22] Un esquema cuasi compacto cuasi separado (como una variedad algebraica sobre un campo) está determinado hasta el isomorfismo por la categoría abeliana de haces cuasi coherentes en , de Rosenberg, generalizando un resultado de Gabriel . ^[23] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Cohomología coherente

La herramienta técnica fundamental en geometría algebraica es la teoría de cohomología de haces coherentes. Aunque se introdujo recién en la década de 1950, muchas técnicas anteriores de geometría algebraica se aclaran mediante el lenguaje de la cohomología de haces aplicado a haces coherentes. En términos generales, la cohomología de gavilla coherente puede verse como una herramienta para producir funciones con propiedades específicas; Las secciones de haces de líneas o de haces más generales pueden verse como funciones generalizadas. En la geometría analítica compleja, la cohomología de haz coherente también juega un papel fundamental.

Entre los resultados principales de la cohomología de gavilla coherente se encuentran los resultados sobre la dimensión finita de la cohomología, los resultados sobre la desaparición de la cohomología en varios casos, teoremas de dualidad como la dualidad de Serre , las relaciones entre topología y geometría algebraica como la teoría de Hodge y fórmulas para las características de Euler. de haces coherentes como el teorema de Riemann-Roch .

Ver también

• grupo picardo
• Divisor (geometría algebraica)
• gavilla reflexiva
• esquema de cotización
• gavilla retorcida
• Paquete de vectores esencialmente finito
• Paquete de piezas principales
• Teorema de reconstrucción de Gabriel-Rosenberg
• Gavilla pseudocoherente
• Gavilla cuasi coherente en una pila algebraica

Notas

1. Mumford 1999, cap. III, § 1, Teorema-Definición 3.
2. Proyecto ab Stacks, etiqueta 01LA.
3. Proyecto Stacks, etiqueta 01BU.
4. Serre 1955, §13
5. Grothendieck y Dieudonné 1960, Corolaire 1.5.2
6. Hartshorne 1977, Ejercicio II.5.18
7. Proyecto pilas, etiqueta 00NV.
8. Serre 1955, §14
9. Hartshorne 1977
10. Proyecto Stacks, etiqueta 01BG.
11. Hartshorne 1977, Ejemplo III.12.7.2
12. Grothendieck y Dieudonné 1960, cap. 0, 5.2.7
13. Eisenbud 1995, ejercicio 20.13
14. Hartshorne 1977, Corolario II.5.16
15. Proyecto Stacks, etiqueta 01YR.
16. Serre, Jean-Pierre (1960-1961). "Sobre los módulos proyectados". Seminario Dubreil. Algèbre et théorie des nombres (en francés). 14 (1): 1–16.
17. Gulbrandsen, Martin G. (20 de mayo de 2013). "Paquetes de vectores y mónadas en triples abelianos" (PDF) . Comunicaciones en Álgebra . 41 (5): 1964–1988. arXiv : 0907.3597 . doi :10.1080/00927872.2011.645977. ISSN  0092-7872.
18. Hartshorne, Robin (1978). "Paquetes de vectores estables de rango 2 en P3". Annalen Matemáticas . 238 : 229–280.
19. Huybrechts, Daniel; Lehn, Manfred (2010). La geometría de los espacios de módulos de gavillas. Biblioteca de Matemáticas de Cambridge (2 ed.). Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 123–128, 238–243. doi :10.1017/cbo9780511711985. ISBN 978-0-521-13420-0.
20. Fulton 1998, §3.2 y ejemplo 8.3.3
21. Fulton 1998, B.8.3
22. Proyecto pilas, etiqueta 077K.
23. Antieau 2016, Corolario 4.2

Referencias

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• Mumford, David (1999). El Libro Rojo de variedades y esquemas: incluye las conferencias de Michigan (1974) sobre las curvas y sus jacobianos (2ª ed.). Springer-Verlag . doi :10.1007/b62130. ISBN 354063293X. SEÑOR  1748380.
• Onishchik, AL (2001) [1994], "Gavilla analítica coherente", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Onishchik, AL (2001) [1994], "Coherent gavilla", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Serre, Jean-Pierre (1955), "Faisceaux algébriques cohérents", Annals of Mathematics , 61 : 197–278, doi :10.2307/1969915, SEÑOR  0068874

enlaces externos

• Los autores del proyecto Stacks, El proyecto Stacks
• Parte V de Vakil, Ravi , El mar naciente