Gavilla en una pila algebraica

En geometría algebraica, un haz cuasi coherente en una pila algebraica es una generalización de un haz cuasi coherente en un esquema. La descripción más concreta es que se trata de datos que consisten en, para cada esquema S en la categoría base y en , un haz cuasi coherente en S junto con mapas que implementan las condiciones de compatibilidad entre 's. ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {X}}(S)}$ ${\displaystyle F_{\xi }}$ ${\displaystyle F_{\xi }}$

Para una pila de Deligne-Mumford , existe una descripción más simple en términos de presentación : un haz cuasi coherente es aquel que se obtiene descendiendo un haz cuasi coherente en U. ^[1] Un haz cuasi coherente en una pila de Deligne-Mumford generaliza un orbibundle (en cierto sentido). ${\displaystyle U\to {\mathfrak {X}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$

Las gavillas construibles (p. ej., como gavillas ℓ-ádicas ) también se pueden definir en una pila algebraica y aparecen como coeficientes de cohomología de una pila .

Definición

La siguiente definición es (Arbarello, Cornalba & Griffiths 2011, Capítulo XIII., Definición 2.1.)

Sea una categoría fibrada en grupoides sobre la categoría de esquemas de tipo finito sobre un campo con la estructura funtor p . Entonces, un haz cuasi coherente son los datos que consisten en: ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$

1. para cada objeto , un haz cuasi coherente en el esquema , ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle F_{\xi }}$ ${\displaystyle p(\xi )}$
2. para cada morfismo en y en la categoría base, un isomorfismo ${\displaystyle H:\xi \to \eta }$ ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$ ${\displaystyle h=p(H):p(\xi )\to p(\eta )}$

   ${\displaystyle \rho _{H}:h^{*}(F_{\eta }){\overset {\simeq }{\to }}F_{\xi }}$

satisfaciendo la condición del cociclo: para cada par , ${\displaystyle H_{1}:\xi _{1}\to \xi _{2},H_{2}:\xi _{2}\to \xi _{3}}$

${\displaystyle h_{1}^{*}h_{2}^{*}F_{\xi _{3}}{\overset {h_{1}^{*}(\rho _{H_{2}})}{\to }}h_{1}^{*}F_{\xi _{2}}{\overset {\rho _{H_{1}}}{\to }}F_{\xi _{1}}}$es igual a . ${\displaystyle h_{1}^{*}h_{2}^{*}F_{\xi _{3}}{\overset {\sim }{=}}(h_{2}\circ h_{1})^{*}F_{\xi _{3}}{\overset {\rho _{H_{2}\circ H_{1}}}{\to }}F_{\xi _{1}}}$

(cf. gavilla equivariante ).

Ejemplos

• El paquete de Hodge en la pila de módulos de curvas algebraicas de género fijo.

ℓ-formalismo ádico

El formalismo ℓ-ádico (teoría de las gavillas ℓ-ádicas) se extiende a las pilas algebraicas.

Ver también

• Algebroide de Hopf : codifica los datos de haces cuasi coherentes en un preapilamiento presentable como un grupoide interno a esquemas afines (o esquemas proyectivos que utilizan algebroides de Hopf graduados).

Notas

1. Arbarello, Cornalba y Griffiths 2011, cap. XIII., § 2.

Referencias

• Arbarello, Enrico; Griffiths, Phillip (2011). Geometría de curvas algebraicas. vol. II, con una contribución de Joseph Daniel Harris . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 268.doi :10.1007/978-3-540-69392-5 . ISBN 978-3-540-42688-2. SEÑOR  2807457.
• Behrend, Kai A. (2003). "Categorías 𝑙-ádicas derivadas para pilas algebraicas". Memorias de la Sociedad Matemática Estadounidense . 163 (774). doi : 10.1090/memo/0774 .
• Laumon, Gerard ; Moret-Bailly, Laurent (2000). Campos algébriques . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Seguir. Una serie de estudios modernos en matemáticas. vol. 39. Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . doi :10.1007/978-3-540-24899-6. ISBN 978-3-540-65761-3. SEÑOR  1771927.
• Olsson, Martín (2007). "Gavillas en pilas de Artin". Journal für die reine und angewandte Mathematik (Diario de Crelle) . 2007 (603): 55-112. doi :10.1515/CRELLE.2007.012. S2CID  15445962. Nota editorial : este artículo corrige un error en los Champs algébriques de Laumon y Moret-Bailly .
• Rydh, David (2016). "Aproximación de gavillas en pilas algebraicas". Avisos internacionales de investigación en matemáticas . 2016 (3): 717–737. arXiv : 1408.6698 . doi :10.1093/imrn/rnv142.

enlaces externos

• https://mathoverflow.net/questions/69035/the-category-of-l-adic-sheaves
• http://math.stanford.edu/~conrad/Weil2seminar/Notes/L16.pdf Formalismo ádico, parte 2 Brian Lawrence 1 de marzo de 2017