Morfismo diagonal (geometría algebraica)

En geometría algebraica, dado un morfismo de esquemas , el morfismo diagonal ${\displaystyle p:X\to S}$

${\displaystyle \delta :X\to X\times _{S}X}$

es un morfismo determinado por la propiedad universal de la fibra producto de p y p aplicada a la identidad y la identidad . ${\displaystyle X\times _{S}X}$ ${\displaystyle 1_{X}:X\to X}$ ${\displaystyle 1_{X}}$

Es un caso especial de morfismo gráfico : dado un morfismo sobre S , el morfismo gráfico del mismo es inducido por y la identidad . La incrustación diagonal es el morfismo gráfico de . ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X\to X\times _{S}Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 1_{X}}$ ${\displaystyle 1_{X}}$

Por definición, X es un esquema separado sobre S ( es un morfismo separado ) si el morfismo diagonal es una inmersión cerrada . Además, un morfismo local de presentación finita es un morfismo no ramificado si y sólo si la incrustación diagonal es una inmersión abierta. ${\displaystyle p:X\to S}$ ${\displaystyle p:X\to S}$

Explicación

Como ejemplo, considere una variedad algebraica sobre un campo algebraicamente cerrado k y el mapa de estructura. Luego, identificando X con el conjunto de sus k puntos racionales, y queda como ; de ahí el nombre de morfismo diagonal. ${\displaystyle p:X\to \operatorname {Spec} (k)}$ ${\displaystyle X\times _{k}X=\{(x,y)\in X\times X\}}$ ${\displaystyle \delta :X\to X\times _{k}X}$ ${\displaystyle x\mapsto (x,x)}$

Morfismo separado

Un morfismo separado es un morfismo tal que la fibra producto de consigo misma tiene su diagonal como un subesquema cerrado; en otras palabras, el morfismo diagonal es una inmersión cerrada . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Como consecuencia, un esquema está separado cuando la diagonal de dentro del esquema producto de consigo mismo es una inmersión cerrada. Haciendo hincapié en el punto de vista relativo, se podría definir de manera equivalente un esquema que se separará si se separa el morfismo único. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\rightarrow {\textrm {Spec}}(\mathbb {Z} )}$

Observe que un espacio topológico Y es Hausdorff si y solo si la incrustación diagonal

${\displaystyle Y{\stackrel {\Delta }{\longrightarrow }}Y\times Y,\,y\mapsto (y,y)}$

está cerrado. En geometría algebraica, la formulación anterior se utiliza porque un esquema que es un espacio de Hausdorff es necesariamente vacío o de dimensión cero. La diferencia entre el contexto topológico y álgebro-geométrico proviene de la estructura topológica del producto de fibra (en la categoría de esquemas) , que es diferente del producto de espacios topológicos. ${\displaystyle X\times _{{\textrm {Spec}}(\mathbb {Z} )}X}$

Cualquier esquema afín Spec A está separado, porque la diagonal corresponde al mapa sobreyectivo de anillos (de ahí que sea una inmersión cerrada de esquemas):

${\displaystyle A\otimes _{\mathbb {Z} }A\rightarrow A,a\otimes a'\mapsto a\cdot a'}$.

Sea un esquema obtenido identificando dos líneas afines a través del mapa de identidad excepto en los orígenes (ver esquema de pegado#Ejemplos ). No está separado. ^[1] De hecho, la imagen de la imagen del morfismo diagonal tiene dos orígenes, mientras que su cierre contiene cuatro orígenes. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S\to S\times S}$

Uso en teoría de intersección

Una forma clásica de definir el producto de intersección de ciclos algebraicos en una variedad suave X es intersectando (restringiendo) su producto cartesiano con (a) la diagonal: precisamente, ${\displaystyle A,B}$

${\displaystyle A\cdot B=\delta ^{*}(A\times B)}$

¿ Dónde está el retroceso a lo largo de la incrustación diagonal ? ${\displaystyle \delta ^{*}}$ ${\displaystyle \delta :X\to X\times X}$

Ver también

• incrustación regular
• Morfismo diagonal

Referencias

1. Hartshorne 1977, ejemplo 4.0.1.

• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 52, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, SEÑOR  0463157