Morfismo diagonal

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , para cada objeto en cada categoría donde existe el producto , existe el morfismo diagonal ^{[1] [2] [3] [4] [5] [6]} ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle a\times a}$

${\displaystyle \delta _{a}:a\rightarrow a\times a}$

satisfactorio

${\displaystyle \pi _{k}\circ \delta _{a}=\operatorname {id} _{a}}$para ${\displaystyle k\in \{1,2\},}$

¿Dónde está el morfismo de proyección canónica al -ésimo componente? La existencia de este morfismo es consecuencia de la propiedad universal que caracteriza al producto ( hasta el isomorfismo ). La restricción a productos binarios aquí es para facilitar la notación; Los morfismos diagonales existen de manera similar para productos arbitrarios. La imagen de un morfismo diagonal en la categoría de conjuntos , como subconjunto del producto cartesiano , es una relación en el dominio , es decir, la igualdad . ${\displaystyle \pi _{k}}$ ${\displaystyle k}$

Para categorías concretas , el morfismo diagonal puede describirse simplemente por su acción sobre elementos del objeto . Es decir , el par ordenado formado a partir de . El motivo del nombre es que la imagen de dicho morfismo diagonal es diagonal (siempre que tenga sentido), por ejemplo la imagen del morfismo diagonal en la recta real viene dada por la recta que es la gráfica de la ecuación . El morfismo diagonal en el producto infinito puede proporcionar una inyección en el espacio de secuencias valoradas en ; cada elemento se asigna a la secuencia constante en ese elemento. Sin embargo, la mayoría de las nociones de espacios de secuencia tienen restricciones de convergencia que la imagen del mapa diagonal no podrá satisfacer. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \delta _{a}(x)=\langle x,x\rangle }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle y=x}$ ${\displaystyle X^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$

La noción dual de morfismo diagonal es un morfismo co-diagonal . Para cada objeto en una categoría donde existen coproductos , la codiagonal ^{[3] [2] [7] [5] [6]} es el morfismo canónico ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle b\sqcup b}$

${\displaystyle \delta _{b}\colon b\sqcup b{\stackrel {[Id,Id]}{\to }}b}$

satisfactorio

${\displaystyle \delta _{b}\circ \tau _{l}=\operatorname {id} _{b}}$para ${\displaystyle l\in \{1,2\}.}$

¿Dónde está el morfismo de inyección del -ésimo componente? ${\displaystyle \tau _{l}}$ ${\displaystyle l}$

Sea un morfismo en una categoría con la expulsión es un epimorfismo si y sólo si la codiagonal es un isomorfismo. ^[8] ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Ver también

• functor diagonal
• Incrustación diagonal
• wikilibros: Teoría de categorías/(Co-)conos y (co-)límites

Referencias

1. (Carter y otros 2008)
2. (Fe 1973)
3. (Popescu y Popescu 1979, ejercicio 7.2.)
4. (Diagonal en nlab)
5. (Laurent 2013)
6. (Masakatsu 1972, Definición 4.)
7. (co-Diagonal en nlab)
8. (Muro 2016)

Bibliografía

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• Carter, J. Scott; Crans, Alissa; Elhamdadi, Mohamed; Saito, Masahico (2008). "Cohomología de la autodistributividad categórica" ​​(PDF) . Revista de homotopía y estructuras relacionadas . 3 (1): 13–63. arXiv : matemáticas/0607417 . Código Bib : 2006 matemáticas ...... 7417C.
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• Muro, Fernando (2016). "Unidades de homotopía en álgebras A-infinito". Trans. América. Matemáticas. Soc . 368 : 2145–2184. arXiv : 1111.2723 . doi : 10.1090/tran/6545.
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enlaces externos

• Aubert, Clément (2019). "¿Categorías para mí y para ti?". arXiv : 1910.05172 .
• Herscovich, Estanislao (2020). «Conferencias sobre álgebra homológica básica» (PDF) .
• Laurent, Olivier (2013). "Categorías para mí [nota]" (PDF) . perso.ens-lyon.fr .
• "codiagonal". ncatlab.org .
• "morfismo diagonal". ncatlab.org .