Paquete de vectores esencialmente finito

En matemáticas, un paquete de vectores esencialmente finito es un tipo particular de paquete de vectores definido por Madhav V. Nori , ^{[1] [2]} como la herramienta principal en la construcción del esquema de grupo fundamental . Incluso si la definición no es intuitiva, hay una buena caracterización que hace que los paquetes de vectores esencialmente finitos sean objetos bastante naturales para estudiar en geometría algebraica . La siguiente noción de paquete de vectores finitos se debe a André Weil y será necesaria para definir paquetes de vectores esencialmente finitos:

Paquetes de vectores finitos

Sea un esquema y un paquete de vectores en . Para un polinomio integral con coeficientes no negativos, defina ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f=a_{0}+a_{1}x+\ldots +a_{n}x^{n}\in \mathbb {Z} _{\geq 0}[x]}$

${\displaystyle f(V):={\mathcal {O}}_{X}^{\oplus a_{0}}\oplus V^{\oplus a_{1}}\oplus \left(V^{\otimes 2}\right)^{\oplus a_{2}}\oplus \ldots \oplus \left(V^{\otimes n}\right)^{\oplus a_{n}}}$

Entonces se llama finito si existen dos polinomios distintos para los cuales es isomorfo . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle f,g\in \mathbb {Z} _{\geq 0}[x]}$ ${\displaystyle f(V)}$ ${\displaystyle g(V)}$

Definición

Las dos definiciones siguientes coinciden siempre que se trata de un esquema reducido, conexo y propio sobre un campo perfecto. ${\displaystyle X}$

Según Borne y Vistoli

Un paquete de vectores es esencialmente finito si es el núcleo de un morfismo donde hay paquetes de vectores finitos. ^[3] ${\displaystyle u:F_{1}\to F_{2}}$ ${\displaystyle F_{1},F_{2}}$

La definición original de Nori

Un paquete de vectores es esencialmente finito si es un subcociente de un paquete de vectores finito en la categoría de paquetes de vectores semiestables de Nori . ^[1]

Propiedades

• Sea un esquema reducido y conexo sobre un campo perfecto dotado de una sección . Entonces un paquete vectorial over es esencialmente finito si y sólo si existe un esquema de grupo finito y un - torsor tal que se vuelva trivial over (es decir , donde ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x\in X(k)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p:P\to X}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle p^{*}(V)\cong O_{P}^{\oplus r}}$ ${\displaystyle r=rk(V)}$

• Cuando se trata de un esquema reducido, conexo y propio sobre un campo perfecto con un punto, entonces la categoría de haces de vectores esencialmente finitos provistos del producto tensorial habitual , el objeto trivial y el functor de fibra es una categoría de Tannakian . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X(k)}$ ${\displaystyle EF(X)}$ ${\displaystyle \otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle x^{*}}$

• El esquema de grupo afín asociado naturalmente a la categoría Tannakiana se denomina esquema de grupo fundamental . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$ ${\displaystyle EF(X)}$

Notas

1. Nori, Madhav V. (1976). "Sobre las Representaciones del Grupo Fundamental". Composición Matemática . 33 (1): 29–42. SEÑOR  0417179.
2. Szamuely, T. (2009). Grupos de Galois y Grupos Fundamentales . vol. 117. Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas.
3. N. Borne, A. Vistoli El gerbe fundamental Nori de categoría fibrosa , J. Algebr. Geom. 24, núm. 2, 311-353 (2015)