Complejo perfecto

En álgebra, un complejo perfecto de módulos sobre un anillo conmutativo A es un objeto en la categoría derivada de A -módulos que es cuasi isomorfo a un complejo acotado de A -módulos proyectivos finitos . Un módulo perfecto es un módulo que es perfecto cuando se lo considera un complejo concentrado en el grado cero. Por ejemplo, si A es noetheriano , un módulo sobre A es perfecto si y sólo si es finitamente generado y de dimensión proyectiva finita .

Otras caracterizaciones

Los complejos perfectos son precisamente los objetos compactos en la categoría derivada ilimitada de A -módulos. ^[1] También son precisamente los objetos dualizables en esta categoría. ^[2] ${\displaystyle D(A)}$

Un objeto compacto en la categoría ∞ de (digamos a la derecha) espectros de módulo sobre un espectro de anillo a menudo se llama perfecto; ^[3] ver también espectro del módulo .

Gavilla pseudocoherente

Cuando la estructura del haz no es coherente, trabajar con haces coherentes resulta incómodo (es decir, el núcleo de una presentación finita puede no ser coherente). Debido a esto, SGA 6 Expo I introduce la noción de haz pseudocoherente . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

Por definición, dado un espacio anillado , un módulo se llama pseudocoherente si para cada número entero , localmente, hay una presentación libre de un tipo finito de longitud n ; es decir, ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle n\geq 0}$

${\displaystyle L_{n}\to L_{n-1}\to \cdots \to L_{0}\to F\to 0}$.

Un complejo F de módulos se llama pseudocoherente si, para cada número entero n , existe localmente un cuasiisomorfismo donde L tiene un grado acotado arriba y consta de módulos libres finitos en grado . Si el complejo consta únicamente del término de grado cero, entonces es pseudocoherente si y sólo si lo es como módulo. ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle L\to F}$ ${\displaystyle \geq n}$

En términos generales, se puede considerar un complejo pseudocoherente como un límite de complejos perfectos.

Ver también

• Teorema de Hilbert-Burch
• complejo elíptico (noción relacionada; discutido en SGA 6 Exposé II, Apéndice II.)

Referencias

1. Véase, por ejemplo, Ben-Zvi, Francis y Nadler (2010)
2. Lema 2.6. de Kerz, Strunk y Tamme (2018)
3. Lurie (2014)

• Ben-Zvi, David; Francisco, Juan; Nadler, David (2010), "Transformaciones integrales y centros de Drinfeld en geometría algebraica derivada", Journal of the American Mathematical Society , 23 (4): 909–966, arXiv : 0805.0157 , doi :10.1090/S0894-0347-10-00669 -7, SEÑOR  2669705, S2CID  2202294

Bibliografía

• Berthelot, Pierre ; Alejandro Grothendieck ; Luc Illusie , eds. (1971). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1966-67 - Théorie des junctions et théorème de Riemann-Roch - (SGA 6) (Apuntes de clases de matemáticas 225 ) . Apuntes de conferencias de matemáticas (en francés). vol. 225. Berlín; Nueva York: Springer-Verlag . xii+700. doi :10.1007/BFb0066283. ISBN 978-3-540-05647-8. SEÑOR  0354655.
• Kerz, Moritz; Strunk, Florian; Tamme, Georg (2018). "Teoría K algebraica y descenso de explosiones". Invenciones Mathematicae . 211 (2): 523–577. arXiv : 1611.08466 . Código Bib : 2018InMat.211..523K. doi :10.1007/s00222-017-0752-2.
• Lurie, Jacob (2014). "Teoría K algebraica y topología múltiple (Matemáticas 281), Conferencia 19: Teoría K de los espectros de anillo" (PDF) .

enlaces externos

• "Identidades determinantes para complejos perfectos". Desbordamiento matemático .
• "Una definición alternativa de complejo pseudocoherente". Desbordamiento matemático .
• "15.74 Complejos perfectos". El proyecto Pilas .
• "módulo perfecto". ncatlab.org .