Homología de Borel-Moore

Teoría de homología para espacios localmente compactos.

En topología , la homología Borel-Moore u homología con soporte cerrado es una teoría de homología para espacios localmente compactos , introducida por Armand Borel y John Moore en 1960. ^[1]

Para espacios compactos razonables , la homología Borel-Moore coincide con la homología singular habitual . Para espacios no compactos, cada teoría tiene sus propias ventajas. En particular, una subvariedad orientada cerrada define una clase en homología Borel-Moore, pero no en homología ordinaria a menos que la subvariedad sea compacta.

Nota: La cohomología equivariante de Borel es una invariante de espacios con una acción de un grupo G ; se define como Eso no está relacionado con el tema de este artículo. ${\displaystyle H_{G}^{*}(X)=H^{*}((EG\times X)/G).}$

Definición

Hay varias formas de definir la homología Borel-Moore. Todos coinciden para espacios razonables como variedades y complejos CW localmente finitos .

Definición mediante cohomología de gavilla

Para cualquier espacio X localmente compacto , la homología de Borel-Moore con coeficientes integrales se define como la cohomología del dual del complejo de cadenas que calcula la cohomología de la gavilla con soporte compacto. ^[2] Como resultado, existe una secuencia corta y exacta análoga al teorema del coeficiente universal :

$${\displaystyle 0\to {\text{Ext}}_{\mathbb {Z} }^{1}(H_{c}^{i+1}(X,\mathbb {Z} ),\mathbb {Z} )\to H_{i}^{BM}(X,\mathbb {Z} )\to {\text{Hom}}(H_{c}^{i}(X,\mathbb {Z} ),\mathbb {Z} )\to 0.}$$

A continuación no se escriben los coeficientes. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Definición mediante cadenas localmente finitas

La homología singular de un espacio topológico X se define como la homología del complejo de cadenas singulares, es decir, combinaciones lineales finitas de aplicaciones continuas del simplex a X. La homología Borel-Moore de un espacio X localmente compacto razonable , por otro lado, es isomorfa a la homología del complejo de cadenas de cadenas singulares localmente finitas . Aquí "razonable" significa que X es localmente contráctil, σ-compacto y de dimensión finita. ^[3]

Con más detalle, sea el grupo abeliano de sumas formales (infinitas) ${\displaystyle C_{i}^{BM}(X)}$

$${\displaystyle u=\sum _{\sigma }a_{\sigma }\sigma ,}$$

where σ runs over the set of all continuous maps from the standard i-simplex Δⁱ to X and each a_σ is an integer, such that for each compact subset S of X, only finitely many maps σ whose image meets S have nonzero coefficient in u. Then the usual definition of the boundary ∂ of a singular chain makes these abelian groups into a chain complex:

$${\displaystyle \cdots \to C_{2}^{BM}(X)\to C_{1}^{BM}(X)\to C_{0}^{BM}(X)\to 0.}$$

The Borel−Moore homology groups ${\displaystyle H_{i}^{BM}(X)}$ are the homology groups of this chain complex. That is,

$${\displaystyle H_{i}^{BM}(X)=\ker \left(\partial :C_{i}^{BM}(X)\to C_{i-1}^{BM}(X)\right)/{\text{im}}\left(\partial :C_{i+1}^{BM}(X)\to C_{i}^{BM}(X)\right).}$$

If X is compact, then every locally finite chain is in fact finite. So, given that X is "reasonable" in the sense above, Borel−Moore homology ${\displaystyle H_{i}^{BM}(X)}$ coincides with the usual singular homology ${\displaystyle H_{i}(X)}$ for X compact.

Definition via compactifications

Suppose that X is homeomorphic to the complement of a closed subcomplex S in a finite CW complex Y. Then Borel–Moore homology ${\displaystyle H_{i}^{BM}(X)}$ is isomorphic to the relative homology H_i(Y, S). Under the same assumption on X, the one-point compactification of X is homeomorphic to a finite CW complex. As a result, Borel–Moore homology can be viewed as the relative homology of the one-point compactification with respect to the added point.

Definition via Poincaré duality

Let X be any locally compact space with a closed embedding into an oriented manifold M of dimension m. Then

$${\displaystyle H_{i}^{BM}(X)=H^{m-i}(M,M\setminus X),}$$

where in the right hand side, relative cohomology is meant.^[4]

Definition via the dualizing complex

For any locally compact space X of finite dimension, let D_X be the dualizing complex of X. Then

$${\displaystyle H_{i}^{BM}(X)=\mathbb {H} ^{-i}(X,D_{X}),}$$

where in the right hand side, hypercohomology is meant.^[5]

Properties

Borel−Moore homology is a covariant functor with respect to proper maps. That is, a proper map f: X → Y induces a pushforward homomorphism ${\displaystyle H_{i}^{BM}(X)\to H_{i}^{BM}(Y)}$ for all integers i. In contrast to ordinary homology, there is no pushforward on Borel−Moore homology for an arbitrary continuous map f. As a counterexample, one can consider the non-proper inclusion ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\setminus \{0\}\to \mathbb {R} ^{2}.}$

La homología Borel-Moore es un funtor contravariante con respecto a inclusiones de subconjuntos abiertos. Es decir, para U abierto en X , existe un retroceso natural o un homomorfismo de restricción. ${\displaystyle H_{i}^{BM}(X)\to H_{i}^{BM}(U).}$

Para cualquier espacio localmente compacto X y cualquier subconjunto cerrado F , con el complemento, existe una secuencia de localización exacta larga : ^[6] ${\displaystyle U=X\setminus F}$

$${\displaystyle \cdots \to H_{i}^{BM}(F)\to H_{i}^{BM}(X)\to H_{i}^{BM}(U)\to H_{i-1}^{BM}(F)\to \cdots }$$

La homología de Borel-Moore es invariante de homotopía en el sentido de que para cualquier espacio X , hay un isomorfismo. El cambio de dimensión significa que la homología de Borel-Moore no es invariante de homotopía en el sentido ingenuo. Por ejemplo, la homología Borel-Moore del espacio euclidiano es isomorfa en grado n y, por lo demás, es cero. ${\displaystyle H_{i}^{BM}(X)\to H_{i+1}^{BM}(X\times \mathbb {R} ).}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

La dualidad de Poincaré se extiende a variedades no compactas utilizando la homología Borel-Moore. Es decir, para una n -variedad X orientada , la dualidad de Poincaré es un isomorfismo de la cohomología singular a la homología Borel-Moore,

$${\displaystyle H^{i}(X){\stackrel {\cong }{\to }}H_{n-i}^{BM}(X)}$$

icohomología con soporte compacto

$${\displaystyle H_{c}^{i}(X){\stackrel {\cong }{\to }}H_{n-i}(X).}$$

Una ventaja clave de la homología de Borel-Moore es que toda variedad orientada M de dimensión n (en particular, toda variedad algebraica compleja suave ), no necesariamente compacta, tiene una clase fundamental . Si la variedad M tiene una triangulación , entonces su clase fundamental está representada por la suma de todos los simples dimensionales superiores. De hecho, en la homología Borel-Moore, se puede definir una clase fundamental para variedades complejas arbitrarias (posiblemente singulares). En este caso, el conjunto de puntos suaves tiene complemento de codimensión (real) al menos 2, y por la secuencia larga exacta por encima de las homologías dimensionales superiores de M y son canónicamente isomorfas. La clase fundamental de M se define entonces como la clase fundamental de . ^[7] ${\displaystyle [M]\in H_{n}^{BM}(M).}$ ${\displaystyle M^{\text{reg}}\subset M}$ ${\displaystyle M^{\text{reg}}}$ ${\displaystyle M^{\text{reg}}}$

Ejemplos

Espacios compactos

Dado un espacio topológico compacto, su homología Borel-Moore concuerda con su homología estándar; eso es, ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle H_{*}^{BM}(X)\cong H_{*}(X)}$$

linea real

El primer cálculo no trivial de la homología de Borel-Moore es de línea real. Primero observe que cualquier cadena es cohomóloga a . Dado que esto se reduce al caso de un punto , observe que podemos tomar la cadena Borel-Moore ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle p}$

$${\displaystyle \sigma =\sum _{i=0}^{\infty }1\cdot [p+i,p+i+1]}$$

dado que el límite de esta cadena es y el punto inexistente en el infinito, el punto es cohomólogo de cero. Ahora podemos tomar la cadena Borel-Moore. ${\displaystyle \partial \sigma =p}$

$${\displaystyle \sigma =\sum _{-\infty <k<\infty }[k,k+1]}$$

que no tiene límite, por lo tanto es una clase de homología. Esto muestra que

$${\displaystyle H_{k}^{BM}(\mathbb {R} )={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=1\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

Espacio n real

El cálculo anterior se puede generalizar al caso Obtenemos ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

$${\displaystyle H_{k}^{BM}(\mathbb {R} ^{n})={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=n\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

Cilindro infinito

Usando la descomposición de Kunneth, podemos ver que el cilindro infinito tiene homología ${\displaystyle S^{1}\times \mathbb {R} }$

$${\displaystyle H_{k}^{BM}(S^{1}\times \mathbb {R} )={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=1\\\mathbb {Z} &k=2\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

Espacio n real menos un punto

Usando la secuencia exacta larga en la homología de Borel-Moore, obtenemos (para ) las secuencias exactas distintas de cero ${\displaystyle n>1}$

$${\displaystyle 0\to H_{n}^{BM}(\{0\})\to H_{n}^{BM}(\mathbb {R} ^{n})\to H_{n}^{BM}(\mathbb {R} ^{n}-\{0\})\to 0}$$

y

$${\displaystyle 0\to H_{1}^{BM}(\mathbb {R} ^{n}-\{0\})\to H_{0}^{BM}(\{0\})\to H_{0}^{BM}(\mathbb {R} ^{n})\to H_{0}^{BM}(\mathbb {R} ^{n}-\{0\})\to 0}$$

De la primera secuencia obtenemos que

$${\displaystyle H_{n}^{BM}(\mathbb {R} ^{n})\cong H_{n}^{BM}(\mathbb {R} ^{n}-\{0\})}$$

y desde el segundo entendemos eso

$${\displaystyle H_{1}^{BM}(\mathbb {R} ^{n}-\{0\})\cong H_{0}^{BM}(\{0\})}$$

$${\displaystyle 0\cong H_{0}^{BM}(\mathbb {R} ^{n})\cong H_{0}^{BM}(\mathbb {R} ^{n}-\{0\})}$$

Podemos interpretar estas clases de homología distintas de cero utilizando las siguientes observaciones:

1. Existe la equivalencia de homotopía. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}-\{0\}\simeq S^{n-1}.}$
2. Un isomorfismo topológico ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}-\{0\}\cong S^{n-1}\times \mathbb {R} _{>0}.}$

por lo tanto, podemos usar el cálculo del cilindro infinito para interpretarlo como la clase de homología representada por y como ${\displaystyle H_{n}^{BM}}$ ${\displaystyle S^{n-1}\times \mathbb {R} _{>0}}$ ${\displaystyle H_{1}^{BM}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}.}$

Plano con puntos eliminados

Vamos a eliminar puntos distintos. Observe que el cálculo anterior con el hecho de que la homología de Borel-Moore es un invariante de isomorfismo da este cálculo para el caso . En general, encontraremos una clase correspondiente a un bucle alrededor de un punto, y la clase fundamental en . ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}-\{p_{1},\ldots ,p_{k}\}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle [X]}$ ${\displaystyle H_{2}^{BM}}$

Doble Cono

Consideremos el doble cono . Si tomamos entonces la secuencia larga exacta muestra ${\displaystyle X=\mathbb {V} (x^{2}+y^{2}-z^{2})\subset \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle U=X\setminus \{0\}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}H_{2}^{BM}(X)&=\mathbb {Z} ^{\oplus 2}\\H_{1}^{BM}(X)&=\mathbb {Z} \\H_{k}^{BM}(X)&=0&&{\text{ for }}k\not \in \{1,2\}\end{aligned}}}$$

Curva de género dos con tres puntos eliminados

Dada una curva de género dos ( superficie de Riemann ) y tres puntos , podemos usar la secuencia exacta larga para calcular la homología de Borel-Moore. Esto da ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle U=X\setminus F.}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}H_{2}^{BM}(F)\to &H_{2}^{BM}(X)\to H_{2}^{BM}(U)\\\to H_{1}^{BM}(F)\to &H_{1}^{BM}(X)\to H_{1}^{BM}(U)\\\to H_{0}^{BM}(F)\to &H_{0}^{BM}(X)\to H_{0}^{BM}(U)\to 0\end{aligned}}}$$

Como solo tenemos tres puntos ${\displaystyle F}$

$${\displaystyle H_{1}^{BM}(F)=H_{2}^{BM}(F)=0.}$$

Esto nos da que usando la dualidad de Poincaré podemos calcular ${\displaystyle H_{2}^{BM}(U)=\mathbb {Z} .}$

$${\displaystyle H_{0}^{BM}(U)=H^{2}(U)=0,}$$

ya que la deformación se retrae a un complejo CW unidimensional. Finalmente, utilizando el cálculo de la homología de una curva compacta de género 2 nos queda la secuencia exacta ${\displaystyle U}$

$${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} ^{\oplus 4}\to H_{1}^{BM}(U)\to \mathbb {Z} ^{\oplus 3}\to \mathbb {Z} \to 0}$$

demostración

$${\displaystyle H_{1}^{BM}(U)\cong \mathbb {Z} ^{\oplus 6}}$$

ya que tenemos la secuencia corta exacta de grupos abelianos libres

$${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} ^{\oplus 4}\to H_{1}^{BM}(U)\to \mathbb {Z} ^{\oplus 2}\to 0}$$

de la secuencia anterior.

Notas

1. Borel y Moore 1960.
2. Birger Iversen. Cohomología de gavillas. Sección IX.1.
3. Glen Bredon. Teoría de la gavilla. Corolario V.12.21.
4. Birger Iversen. Cohomología de gavillas. Teorema IX.4.7.
5. Birger Iversen. Cohomología de gavillas. Ecuación IX.4.1.
6. Birger Iversen. Cohomología de gavillas. Ecuación IX.2.1.
7. William Fulton. Teoría de la intersección. Lema 19.1.1.

Referencias

Artículos de encuesta

• Goresky, Mark , Introducción a las poleas (PDF) , archivado desde el original (PDF) el 27 de septiembre de 2017.

Libros

• Borel, Armand ; Moore, John C. (1960). "Teoría de la homología para espacios localmente compactos". Revista de matemáticas de Michigan . 7 (2): 137-159. doi : 10.1307/mmj/1028998385 . ISSN  0026-2285. SEÑOR  0131271.
• Bredon, Glen E. (1997). Teoría de la gavilla (2ª ed.). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-94905-5. SEÑOR  1481706.
• Fulton, William (1998). Teoría de la intersección (2ª ed.). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-62046-4. SEÑOR  1644323.
• Iversen, Birger (1986). Cohomología de gavillas . Berlín: Springer-Verlag . ISBN 3-540-16389-1. SEÑOR  0842190.