Cohomología con soporte compacto

En matemáticas, la cohomología con soporte compacto se refiere a ciertas teorías de cohomología, generalmente con alguna condición que requiere que los cociclos tengan soporte compacto.

Cohomología singular con soporte compacto

Sea un espacio topológico. Entonces ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \displaystyle H_{c}^{\ast }(X;R):=\varinjlim _{K\subseteq X\,{\text{compact}}}H^{\ast }(X,X\setminus K;R)}$

Por definición, esta es la cohomología del complejo de subcadenas que consiste en todas las cocadenas singulares que tienen soporte compacto en el sentido de que existe algún compacto tal que se desvanece en todas las cadenas en . ${\displaystyle C_{c}^{\ast }(X;R)}$ ${\displaystyle \phi :C_{i}(X;R)\to R}$ ${\displaystyle K\subseteq X}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle X\setminus K}$

Definición funcional

Sea un espacio topológico y la función al punto. Utilizando los funtores imagen directa e imagen directa con soporte compacto , se puede definir la cohomología y la cohomología con soporte compacto de un haz de grupos abelianos en como ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:X\to \star }$ ${\displaystyle p_{*},p_{!}:{\text{Sh}}(X)\to {\text{Sh}}(\star )={\text{Ab}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}})\ =\ R^{i}p_{*}{\mathcal {F}},}$

${\displaystyle \displaystyle H_{c}^{i}(X,{\mathcal {F}})\ =\ R^{i}p_{!}{\mathcal {F}}.}$

Tomando como base el haz constante con coeficientes en un anillo se recupera la definición anterior. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle R}$

Cohomología de De Rham con soporte compacto para variedades suaves

Dada una variedad X , sea el espacio vectorial real de k -formas en X con soporte compacto, y d la derivada exterior estándar . Entonces los grupos de cohomología de De Rham con soporte compacto son la homología del complejo de cadena : ${\displaystyle \Omega _{\mathrm {c} }^{k}(X)}$ ${\displaystyle H_{\mathrm {c} }^{q}(X)}$ ${\displaystyle (\Omega _{\mathrm {c} }^{\bullet }(X),d)}$

${\displaystyle 0\to \Omega _{\mathrm {c} }^{0}(X)\to \Omega _{\mathrm {c} }^{1}(X)\to \Omega _{\mathrm {c} }^{2}(X)\to \cdots }$

es decir , es el espacio vectorial de las q -formas cerradas módulo el de las q -formas exactas. ${\displaystyle H_{\mathrm {c} }^{q}(X)}$

A pesar de su definición como la homología de un complejo ascendente, los grupos de De Rham con soporte compacto demuestran un comportamiento covariante ; por ejemplo, dada la función de inclusión j para un conjunto abierto U de X , la extensión de las formas en U a X (al definirlas como 0 en X – U ) es una función que induce una función ${\displaystyle j_{*}:\Omega _{\mathrm {c} }^{\bullet }(U)\to \Omega _{\mathrm {c} }^{\bullet }(X)}$

${\displaystyle j_{*}:H_{\mathrm {c} }^{q}(U)\to H_{\mathrm {c} }^{q}(X)}$.

También demuestran un comportamiento contravariante con respecto a los mapas propios , es decir, mapas tales que la imagen inversa de cada conjunto compacto es compacta. Sea f : Y → X un mapa de este tipo; entonces el pullback

${\displaystyle f^{*}:\Omega _{\mathrm {c} }^{q}(X)\to \Omega _{\mathrm {c} }^{q}(Y)\sum _{I}g_{I}\,dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{q}}\mapsto \sum _{I}(g_{I}\circ f)\,d(x_{i_{1}}\circ f)\wedge \ldots \wedge d(x_{i_{q}}\circ f)}$

induce un mapa

${\displaystyle H_{\mathrm {c} }^{q}(X)\to H_{\mathrm {c} }^{q}(Y)}$.

Si Z es una subvariedad de X y U = X – Z es el conjunto abierto complementario, existe una secuencia exacta larga

${\displaystyle \cdots \to H_{\mathrm {c} }^{q}(U){\overset {j_{*}}{\longrightarrow }}H_{\mathrm {c} }^{q}(X){\overset {i^{*}}{\longrightarrow }}H_{\mathrm {c} }^{q}(Z){\overset {\delta }{\longrightarrow }}H_{\mathrm {c} }^{q+1}(U)\to \cdots }$

llamada sucesión larga exacta de cohomología con soporte compacto. Tiene numerosas aplicaciones, como el teorema de la curva de Jordan , que se obtiene para X = R ² y Z una curva cerrada simple en X .

La cohomología de De Rham con soporte compacto satisface una secuencia covariante de Mayer-Vietoris : si U y V son conjuntos abiertos que cubren X , entonces

${\displaystyle \cdots \to H_{\mathrm {c} }^{q}(U\cap V)\to H_{\mathrm {c} }^{q}(U)\oplus H_{\mathrm {c} }^{q}(V)\to H_{\mathrm {c} }^{q}(X){\overset {\delta }{\longrightarrow }}H_{\mathrm {c} }^{q+1}(U\cap V)\to \cdots }$

donde todos los mapas son inducidos por extensión por cero también es exacto.

Véase también

• Homología de Borel-Moore
• Dualidad de Poincaré
• Gavilla construible
• Categoría derivada

Referencias

• Iversen, Birger (1986), Cohomología de haces , Universitext, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-16389-3, Sr.  0842190
• Raoul Bott y Loring W. Tu (1982), Formas diferenciales en topología algebraica , Textos de posgrado en matemáticas, Springer-Verlag
• "Cohomología con apoyo y dualidad de Poincaré". Stack Exchange .