Cociente de una categoría abeliana

En matemáticas , el cociente (también llamado cociente de Serre o cociente de Gabriel ) de una categoría abeliana por una subcategoría de Serre es la categoría abeliana que, intuitivamente, se obtiene ignorando (es decir, tratando como cero ) todos los objetos de . Hay un funtor exacto canónico cuyo núcleo es , y es en cierto sentido la categoría abeliana más general con esta propiedad. ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle Q\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}}$

Por tanto, formar cocientes de Serre de categorías abelianas es formalmente similar a formar cocientes de grupos . Los cocientes de Serre son algo similares a las categorías de cocientes , la diferencia es que con los cocientes de Serre todas las categorías involucradas son abelianas y todos los functores son exactos. Los cocientes de Serre también suelen tener el carácter de localizaciones de categorías , especialmente si la subcategoría de Serre es de localización .

Definición

Formalmente, es la categoría cuyos objetos son los de y cuyos morfismos de X a Y están dados por el límite directo (de grupos abelianos ) ${\displaystyle {\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

$${\displaystyle \mathrm {Hom} _{{\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}}(X,Y):=\varinjlim \mathrm {Hom} _{\mathcal {A}}(X',Y/Y')}$$

donde el límite se toma sobre subobjetos y tales que y . (Aquí, y denota objetos cocientes calculados en .) Estos pares de subobjetos están ordenados por . ${\displaystyle X'\subseteq X}$ ${\displaystyle Y'\subseteq Y}$ ${\displaystyle X/X'\in {\cal {B}}}$ ${\displaystyle Y'\in {\cal {B}}}$ ${\displaystyle X/X'}$ ${\displaystyle Y/Y'}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle (X',Y')\preccurlyeq (X'',Y'')\Longleftrightarrow X''\subseteq X'{\text{ and }}Y'\subseteq Y''}$

La composición de los morfismos en está inducida por la propiedad universal del límite directo. ${\displaystyle {\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}}$

El funtor canónico envía un objeto X a sí mismo y un morfismo al elemento correspondiente del límite directo con X′ = X e Y′ = 0. ${\displaystyle Q\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle f\colon X\to Y}$

Una construcción alternativa y equivalente de la categoría cociente utiliza lo que se llama " cálculo de fracciones " para definir los morfismos de . Aquí, se comienza con la clase de aquellos morfismos a cuyo kernel y cokernel pertenecen ambos . Este es un sistema multiplicativo en el sentido de Gabriel-Zisman, y se puede localizar la categoría en el sistema para obtener . ^[1] ${\displaystyle {\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}:={\mathcal {A}}[S^{-1}]}$

Ejemplos

Sea un campo y considere la categoría abeliana de todos los espacios vectoriales sobre . Entonces la subcategoría completa de espacios vectoriales de dimensión finita es una subcategoría de Serre de . El cociente de Serre tiene como objetos los espacios -vectoriales, y el conjunto de morfismos de a in es ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\rm {Mod}}(k)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\rm {mod}}(k)}$ ${\displaystyle {\rm {Mod}}(k)}$ ${\displaystyle {\cal {{C}={\rm {Mod}}(k)/{\rm {mod}}(k)}}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\cal {C}}}$

$${\displaystyle \{k{\text{-linear maps from }}X{\text{ to }}Y\}/\{k{\text{-linear maps from }}X{\text{ to }}Y{\text{ with finite-dimensional image}}\}}$$

cociente de espacios vectorialesmapas lineales siempre que su diferencia tenga una imagencategoría de cociente

Para otro ejemplo, tomemos la categoría abeliana Ab de todos los grupos abelianos y la subcategoría Serre de todos los grupos abelianos de torsión . El cociente de Serre aquí es equivalente a la categoría de todos los espacios vectoriales sobre los racionales, con el funtor canónico dado por tensor con . De manera similar, el cociente de Serre de la categoría de grupos abelianos generados finitamente por la subcategoría de grupos de torsión generados finitamente es equivalente a la categoría de espacios vectoriales de dimensión finita sobre . ^[2] Aquí, el cociente de Serre se comporta como una localización . ${\displaystyle \operatorname {Mod} ({\mathbb {Q}})}$ ${\displaystyle \mathbf {Ab} \to \operatorname {Mod} ({\mathbb {Q}})}$ ${\displaystyle {\mathbb {Q}}}$ ${\displaystyle {\mathbb {Q}}}$

Propiedades

El cociente de Serre es una categoría abeliana y el functor canónico es exacto y sobreyectivo en objetos. El núcleo de es , es decir, es cero si y sólo si pertenece a . ${\displaystyle {\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle Q\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle Q(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

El cociente de Serre y el funtor canónico se caracterizan por la siguiente propiedad universal : si es cualquier categoría abeliana y es un functor exacto tal que es un cero para cada objeto , entonces hay un funtor exacto único tal que . ^[3] ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle F\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle F(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle X\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\overline {F}}\colon {\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}\to {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle F={\overline {F}}\circ Q}$

Dadas tres categorías abelianas , , , tenemos ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle {\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}\cong {\mathcal {C}}}$

si y solo si

existe un funtor exacto y esencialmente sobreyectivo cuyo núcleo es y tal que para cada morfismo existen morfismos y en modo que es un isomorfismo y . ${\displaystyle F\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle f:FX\to FY}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \phi :W\to X}$ ${\displaystyle \psi :W\to Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle F\phi }$ ${\displaystyle f=(F\psi )\circ (F\phi )^{-1}}$

Teoremas que involucran cocientes de Serre

Descripción de Serre de haces coherentes en un esquema proyectivo

Según un teorema de Jean-Pierre Serre , la categoría de haces coherentes en un esquema proyectivo (donde es un anillo graduado noetheriano conmutativo , clasificado por enteros no negativos y generado por elementos de grado 0 y un número finito de elementos de grado 1, y se refiere a la construcción Proj ) puede describirse como el cociente de Serre ${\displaystyle \operatorname {coh} (X)}$ ${\displaystyle X=\operatorname {Proj} (R)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \operatorname {Proj} (R)}$

$${\displaystyle \operatorname {coh} (X)\cong \operatorname {mod} ^{\mathbb {Z}}(R)\ /\ \operatorname {mod} _{\mathrm {tor} }^{\mathbb {Z}}(R)}$$

donde denota la categoría de módulos calificados generados finitamente y es la subcategoría de Serre que consta de todos aquellos módulos calificados que son 0 en todos los grados que son lo suficientemente altos, es decir, para los que existe tal que para todos . ^{[4] [5]} ${\displaystyle \operatorname {mod} ^{\mathbb {Z}}(R)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \operatorname {mod} _{\mathrm {tor} }^{\mathbb {Z}}(R)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n_{0}\in {\mathbb {N}}}$ ${\displaystyle M_{n}=0}$ ${\displaystyle n\geq n_{0}}$

Existe una descripción similar para la categoría de haces cuasi coherentes en , incluso si no es noetheriana. ${\displaystyle X=\operatorname {Proj} (R)}$ ${\displaystyle R}$

Teorema de Gabriel-Popescu

El teorema de Gabriel-Popescu establece que cualquier categoría de Grothendieck es equivalente a un cociente de Serre de la forma , donde denota la categoría abeliana de módulos derechos sobre algún anillo unital , y es una subcategoría de localización de . ^[6] ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Mod} (R)/{\cal {B}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Mod} (R)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\cal {B}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Mod} (R)}$

Teorema de localización de Quillen

La teoría K algebraica de Daniel Quillen asigna a cada categoría exacta una secuencia de grupos abelianos , y esta asignación es funtorial en . Quillen demostró que, si es una subcategoría de Serre de la categoría abeliana , existe una secuencia larga y exacta de la forma ^[7] ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle K_{n}({\mathcal {C}}),\ n\geq 0}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

$${\displaystyle \cdots \to K_{n}({\mathcal {B}})\to K_{n}({\mathcal {A}})\to K_{n}({\mathcal {A/B}})\to K_{n-1}({\mathcal {B}})\to \cdots \to K_{0}({\mathcal {A/B}})\to 0}$$

Referencias

1. Sección 12.10 El proyecto Stacks
2. "109.76 La categoría de módulos módulo módulos de torsión". El proyecto Pilas .
3. Gabriel, Pierre, Des categorías abeliennes , Toro. Soc. Matemáticas. Francia 90 (1962), 323-448.
4. Görtz, Ulrich; Wedhorn, Torsten (2020). "Observación 13.21". Geometría algebraica I: Esquemas: con ejemplos y ejercicios (2ª ed.). Naturaleza Springer. pag. 381.ISBN​ 9783658307332.
5. "Proposición 30.14.4". El proyecto Pilas .
6. N. Popesco; P. Gabriel (1964). "Caracterización de las categorías abeliennes avec générateurs et limites inductivos exactos". Cuentas Rendus de la Academia de Ciencias . 258 : 4188–4190.
7. Quillen, Daniel (1973). "Teoría K algebraica superior: I" (PDF) . Teorías K superiores . Apuntes de conferencias de matemáticas. 341 . Saltador: 85–147. doi :10.1007/BFb0067053. ISBN 978-3-540-06434-3.