Localización de una categoría

En matemáticas , la localización de una categoría consiste en añadir a una categoría morfismos inversos para alguna colección de morfismos, restringiéndolos para que se conviertan en isomorfismos . Esto es formalmente similar al proceso de localización de un anillo ; en general, hace que los objetos que antes no lo eran sean isomorfos. En la teoría de la homotopía , por ejemplo, hay muchos ejemplos de aplicaciones que son invertibles hasta la homotopía; y por lo tanto grandes clases de espacios equivalentes de homotopía ^{[ aclaración necesaria ]} . El cálculo de fracciones es otro nombre para trabajar en una categoría localizada.

Introducción y motivación

Una categoría C está formada por objetos y morfismos entre estos objetos. Los morfismos reflejan relaciones entre los objetos. En muchas situaciones, tiene sentido sustituir C por otra categoría C' en la que ciertos morfismos se ven obligados a ser isomorfismos. Este proceso se denomina localización.

Por ejemplo, en la categoría de R - módulos (para algún anillo conmutativo fijo R ) la multiplicación por un elemento fijo r de R normalmente (es decir, a menos que r sea una unidad ) no es un isomorfismo:

${\displaystyle M\to M\quad m\mapsto r\cdot m.}$

La categoría que está más estrechamente relacionada con los módulos R , pero donde esta función es un isomorfismo resulta ser la categoría de los módulos. Aquí está la localización de R con respecto al subconjunto S (multiplicativamente cerrado) que consiste en todas las potencias de r . La expresión "más estrechamente relacionada" se formaliza mediante dos condiciones: primero, hay un funtor ${\displaystyle R[S^{-1}]}$ ${\displaystyle R[S^{-1}]}$ ${\displaystyle S=\{1,r,r^{2},r^{3},\dots \}}$

${\displaystyle \varphi :{\text{Mod}}_{R}\to {\text{Mod}}_{R[S^{-1}]}\quad M\mapsto M[S^{-1}]}$

enviando cualquier módulo R a su localización con respecto a S . Además, dada cualquier categoría C y cualquier funtor

${\displaystyle F:{\text{Mod}}_{R}\to C}$

enviando el mapa de multiplicación por r en cualquier módulo R (ver arriba) a un isomorfismo de C , hay un functor único

${\displaystyle G:{\text{Mod}}_{R[S^{-1}]}\to C}$

de tal manera que . ${\displaystyle F=G\circ \varphi }$

Localización de categorías

Los ejemplos anteriores de localización de módulos R se resumen en la siguiente definición. De esta forma, se aplican a muchos otros ejemplos, algunos de los cuales se esquematizan a continuación.

Dada una categoría C y alguna clase W de morfismos en C , la localización C [ W ⁻¹ ] es otra categoría que se obtiene invirtiendo todos los morfismos en W . Más formalmente, se caracteriza por una propiedad universal : hay un funtor de localización natural C → C [ W ⁻¹ ] y dada otra categoría D , un funtor F : C → D se factoriza de forma única sobre C [ W ⁻¹ ] si y solo si F envía todas las flechas en W a isomorfismos.

Así, la localización de la categoría es única hasta que exista un isomorfismo único de categorías. Una construcción de la localización se realiza declarando que sus objetos son los mismos que los de C , pero los morfismos se mejoran añadiendo un inverso formal para cada morfismo en W . Bajo hipótesis adecuadas sobre W , ^[1] los morfismos del objeto X al objeto Y están dados por los techos

${\displaystyle X{\stackrel {f}{\leftarrow }}X'\rightarrow Y}$

(donde X' es un objeto arbitrario de C y f está en la clase dada W de morfismos), módulo ciertas relaciones de equivalencia. Estas relaciones convierten la función que va en la dirección "incorrecta" en una inversa de f . Este "cálculo de fracciones" puede verse como una generalización de la construcción de números racionales como clases de equivalencia de pares de números enteros.

Sin embargo, este procedimiento produce en general una clase adecuada de morfismos entre X e Y. Normalmente, los morfismos de una categoría sólo pueden formar un conjunto. Algunos autores simplemente ignoran estos problemas de teoría de conjuntos.

Categorías de modelos

Una construcción rigurosa de la localización de categorías, evitando estos problemas de teoría de conjuntos, fue una de las razones iniciales para el desarrollo de la teoría de categorías modelo : una categoría modelo M es una categoría en la que hay tres clases de morfismos; una de estas clases es la clase de equivalencias débiles . La categoría de homotopía Ho( M ) es entonces la localización con respecto a las equivalencias débiles. Los axiomas de una categoría modelo aseguran que esta localización se pueda definir sin dificultades de teoría de conjuntos.

Definición alternativa

Algunos autores también definen una localización de una categoría C como un funtor idempotente y coaumentado. Un funtor coaumentado es un par (L,l) donde L:C → C es un endofuntor y l:Id → L es una transformación natural del funtor identidad a L (llamada coaumentación). Un funtor coaumentado es idempotente si, para cada X , ambas funciones L(l _X ),l _L(X) :L(X) → LL(X) son isomorfismos. Se puede demostrar que en este caso, ambas funciones son iguales. ^[2]

Esta definición está relacionada con la dada anteriormente de la siguiente manera: aplicando la primera definición, existe, en muchas situaciones, no sólo un funtor canónico , sino también un funtor en la dirección opuesta, ${\displaystyle C\to C[W^{-1}]}$

${\displaystyle C[W^{-1}]\to C.}$

Por ejemplo, los módulos sobre la localización de un anillo también son módulos sobre el propio R , lo que da un functor. ${\displaystyle R[S^{-1}]}$

${\displaystyle {\text{Mod}}_{R[S^{-1}]}\to {\text{Mod}}_{R}}$

En este caso, la composición

${\displaystyle L:C\to C[W^{-1}]\to C}$

es una localización de C en el sentido de un funtor idempotente y coaumentado.

Ejemplos

De Serredo-teoría

Serre introdujo la idea de trabajar en teoría de homotopía módulo alguna clase C de grupos abelianos . Esto significaba que los grupos A y B se trataban como isomorfos, si por ejemplo A /B se encontraban en C.

Teoría de módulos

En la teoría de módulos sobre un anillo conmutativo R , cuando R tiene dimensión de Krull ≥ 2, puede ser útil tratar los módulos M y N como pseudoisomorfos si M/N tiene soporte de codimensión al menos dos. Esta idea se utiliza mucho en la teoría de Iwasawa .

Categorías derivadas

La categoría derivada de una categoría abeliana se utiliza mucho en álgebra homológica . Es la localización de la categoría de complejos de cadenas (hasta la homotopía) con respecto a los cuasi-isomorfismos .

Cocientes de categorías abelianas

Dada una categoría abeliana A y una subcategoría de Serre B, se puede definir la categoría cociente A/B, que es una categoría abeliana equipada con un funtor exacto de A a A/B que es esencialmente sobreyectivo y tiene núcleo B. Esta categoría cociente se puede construir como una localización de A por la clase de morfismos cuyo núcleo y conúcleo están ambos en B.

Variedades abelianas hasta la isogenia

Una isogenia de una variedad abeliana A a otra B es un morfismo sobreyectivo con núcleo finito . Algunos teoremas sobre variedades abelianas requieren la idea de variedad abeliana hasta la isogenia para su enunciado conveniente. Por ejemplo, dada una subvariedad abeliana A ₁ de A , existe otra subvariedad A ₂ de A tal que

Un ₁ × Un ₂

es isógeno a A (teorema de reducibilidad de Poincaré: véase por ejemplo Variedades abelianas de David Mumford ). Para llamar a esto una descomposición de suma directa , deberíamos trabajar en la categoría de variedades abelianas hasta la isogenia.

Conceptos relacionados

La localización de un espacio topológico , introducida por Dennis Sullivan , produce otro espacio topológico cuya homología es una localización de la homología del espacio original.

Un concepto mucho más general del álgebra homotópica , que incluye como casos especiales tanto la localización de espacios como de categorías, es la localización de Bousfield de una categoría modelo . La localización de Bousfield obliga a ciertas aplicaciones a convertirse en equivalencias débiles , lo que en general es más débil que obligarlas a convertirse en isomorfismos. ^[3]

Véase también

• Localización simplista

Referencias

1. Gabriel, Pedro ; Zisman, Michel (1967). Cálculo de fracciones y teoría de la homotopía (PDF) . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , Band 35. Nueva York: Springer-Verlag. pag. 12.
2. Idempotentes en categorías monoidales
3. Philip S. Hirschhorn: Categorías modelo y sus localizaciones , 2003, ISBN 0-8218-3279-4 , Definición 3.3.1