En matemáticas , el teorema de Gabriel-Popescu es un teorema de inclusión para ciertas categorías abelianas , introducido por Pierre Gabriel y Nicolae Popescu (1964). Caracteriza ciertas categorías abelianas (las categorías de Grothendieck ) como cocientes de categorías de módulos .
Existen varias generalizaciones y variaciones del teorema de Gabriel-Popescu, dadas por Kuhn (1994) (para una categoría AB5 con un conjunto de generadores ), Lowen (2004), Porta (2010) (para categorías trianguladas ).
Sea A una categoría de Grothendieck (una categoría AB5 con un generador), G un generador de A y R el anillo de endomorfismos de G ; Además, sea S el funtor de A a Mod- R (la categoría de módulos R derechos ) definido por S ( X ) = Hom( G , X ). Entonces, el teorema de Gabriel-Popescu establece que S es completo y fiel y tiene un adjunto izquierdo exacto .
Esto implica que A es equivalente a la categoría del cociente de Serre de Mod- R por una determinada subcategoría de localización C. (Una subcategoría de localización de Mod- R es una subcategoría completa C de Mod- R , cerrada bajo sumas directas arbitrarias , de modo que para cualquier secuencia corta y exacta de módulos , tenemos M 2 en C si y sólo si M 1 y M 3 son en C . El cociente de Serre de Mod- R por cualquier subcategoría de localización es una categoría de Grothendieck.) Podemos tomar C como el núcleo del adjunto izquierdo del funtor S .
Tenga en cuenta que la incrustación de S de A en Mod- R es exacta a la izquierda pero no necesariamente exacta a la derecha: los cokernels de morfismos en A no corresponden en general a los cokernels de los morfismos correspondientes en Mod- R.
