Secuencia espectral de Adams

En matemáticas , la sucesión espectral de Adams es una sucesión espectral introducida por J. Frank Adams  (1958) que calcula los grupos de homotopía estables de los espacios topológicos . Como todas las sucesiones espectrales, es una herramienta computacional; relaciona la teoría de la homología con lo que ahora se llama teoría de la homotopía estable . Es una reformulación que utiliza álgebra homológica y una extensión de una técnica llamada "matar grupos de homotopía" aplicada por la escuela francesa de Henri Cartan y Jean-Pierre Serre .

Motivación

Para todo lo que sigue, de una vez por todas, fijamos un primo p . Se supone que todos los espacios son complejos CW . Se entiende que los grupos de cohomología ordinarios significan . ${\displaystyle H^{*}(X)}$ ${\displaystyle H^{*}(X;\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )}$

El objetivo principal de la topología algebraica es tratar de entender la colección de todos los mapas, hasta la homotopía, entre espacios arbitrarios X e Y . Esto es extraordinariamente ambicioso: en particular, cuando X es , estos mapas forman el n º grupo de homotopía de Y . Un objetivo más razonable (¡pero todavía muy difícil!) es entender el conjunto de mapas (hasta la homotopía) que quedan después de que aplicamos el funtor de suspensión un gran número de veces. Llamamos a esto la colección de mapas estables de X a Y . (Este es el punto de partida de la teoría de homotopía estable ; los tratamientos más modernos de este tema comienzan con el concepto de espectro . El trabajo original de Adams no utilizó espectros, y evitamos mencionarlos más en esta sección para mantener el contenido aquí lo más elemental posible). ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle [X,Y]}$

El conjunto resulta ser un grupo abeliano, y si X e Y son espacios razonables, este grupo se genera de manera finita. Para averiguar qué es este grupo, primero aislamos un primo p . En un intento de calcular la p -torsión de , observamos la cohomología: enviamos a Hom( H ^* ( Y ), H ^* ( X )). Esta es una buena idea porque los grupos de cohomología suelen ser fáciles de calcular. ${\displaystyle [X,Y]}$ ${\displaystyle [X,Y]}$ ${\displaystyle [X,Y]}$

La idea clave es que es más que un grupo abeliano graduado, y más aún que un anillo graduado (a través del producto de copa ). La representabilidad del funtor de cohomología hace que H ^* ( X ) sea un módulo sobre el álgebra de sus operaciones de cohomología estables , el álgebra de Steenrod A. Pensar en H ^* ( X ) como un A -módulo olvida cierta estructura de producto de copa, pero la ganancia es enorme: ¡Hom( H ^* ( Y ), H ^* ( X )) ahora puede tomarse como A -lineal! A priori, el A -módulo no ve más de [ X , Y ] de lo que veía cuando lo considerábamos como una función de espacios vectoriales sobre Fp _. Pero ahora podemos considerar los funtores derivados de Hom en la categoría de A -módulos, Ext _Ar ( H ^* ( Y ), H ^* ( ^X )). Estos adquieren una segunda calificación a partir de la calificación de H ^* ( Y ), y así obtenemos una "página" bidimensional de datos algebraicos. Los grupos Ext están diseñados para medir la falla de la preservación de la estructura algebraica de Hom, por lo que este es un paso razonable. ${\displaystyle H^{*}(X)}$

El punto de todo esto es que A es tan grande que la hoja anterior de datos cohomológicos contiene toda la información que necesitamos para recuperar la parte p -primaria de [ X , Y ], que son datos de homotopía. Este es un logro importante porque la cohomología fue diseñada para ser computable, mientras que la homotopía fue diseñada para ser poderosa. Este es el contenido de la secuencia espectral de Adams.

Formulación clásica

Formulación para calcular grupos de homotopía de espectros

La secuencia espectral clásica de Adams se puede establecer para cualquier espectro conectivo de tipo finito, es decir, para y es un grupo abeliano finitamente generado en cada grado. Entonces, existe una secuencia espectral ^{[1] : 41} tal que ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi _{i}(X)=0}$ ${\displaystyle i<0}$ ${\displaystyle \pi _{i}(X)}$ ${\displaystyle E_{*}^{*,*}(X)}$

1. ${\displaystyle E_{2}^{s,t}={\text{Ext}}_{A_{p}}^{s,t}(H^{*}(X),\mathbb {Z} /p)}$para el álgebra mod de Steenrod ${\displaystyle A_{p}}$ ${\displaystyle p}$
2. Para el tipo finito, es un grupo bigrado asociado a una filtración de (los enteros p-ádicos ) ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E_{\infty }^{*,*}}$ ${\displaystyle \pi _{*}(X)\otimes \mathbb {Z} _{p}}$

Nótese que esto implica que para , se calcula la -torsión de los grupos de homotopía del espectro de esferas , es decir, los grupos de homotopía estables de las esferas. Además, debido a que para cualquier complejo CW podemos considerar el espectro de suspensión , esto también da el enunciado de la formulación anterior. ${\displaystyle X=\mathbb {S} }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \Sigma ^{\infty }Y}$

Esta afirmación se generaliza un poco más al reemplazar el módulo con los grupos de cohomología para algún espectro conectivo (o espacio topológico ). Esto se debe a que la construcción de la secuencia espectral utiliza una resolución "libre" de como módulo, por lo tanto, podemos calcular los grupos Ext con como segunda entrada. Por lo tanto, obtenemos una secuencia espectral con página dada por ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$ ${\displaystyle H^{*}(Y)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle H^{*}(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{p}}$ ${\displaystyle H^{*}(Y)}$ ${\displaystyle E_{2}}$

${\displaystyle E_{2}^{t,s}={\text{Ext}}_{{\mathcal {A}}_{p}}^{s,t}(H^{*}(X),H^{*}(Y))}$

que tiene la propiedad de convergencia de ser isomorfa a las piezas graduadas de una filtración de la -torsión del grupo de homotopía estable de clases de homotopía de mapas entre y , es decir ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle E_{2}^{s,t}\Rightarrow \pi _{k}^{\mathbb {S} }([X,Y])\otimes \mathbb {Z} _{p}}$

Secuencia espectral para los grupos de homotopía estable de esferas

Por ejemplo, si dejamos que ambos espectros sean el espectro de la esfera, entonces , entonces la secuencia espectral de Adams tiene la propiedad de convergencia ${\displaystyle X=Y=\mathbb {S} }$

${\displaystyle E_{2}^{t,s}={\text{Ext}}_{{\mathcal {A}}_{p}}^{s,t}(H^{*}(\mathbb {S} ),H^{*}(\mathbb {S} ))\Rightarrow \pi _{*}(\mathbb {S} )\otimes \mathbb {Z} _{p}}$

proporcionando una herramienta técnica para abordar un cálculo de los grupos de homotopía estable de esferas. Resulta que muchos de los primeros términos se pueden calcular explícitamente a partir de información puramente algebraica ^{[2] pp 23–25} . Observe también que podemos reescribir , por lo que la -página es ${\displaystyle H^{*}(\mathbb {S} )=\mathbb {Z} /p}$ ${\displaystyle E_{2}}$

${\displaystyle E_{2}^{t,s}=\operatorname {Ext} _{{\mathcal {A}}_{p}}^{s,t}(\mathbb {Z} /p,\mathbb {Z} /p)\Rightarrow \pi _{*}(\mathbb {S} )\otimes \mathbb {Z} _{p}}$

Incluimos esta información de cálculo a continuación para . ${\displaystyle p=2}$

Términos adicionales de la resolución

Dada la resolución de Adams

${\displaystyle \cdots \to H^{*}(F_{2})\to H^{*}(F_{1})\to H^{*}(F_{0})\to H^{*}(X)}$

tenemos los términos como ${\displaystyle E_{1}}$

${\displaystyle E_{1}^{s,t}=\operatorname {Hom} _{{\mathcal {A}}_{p}}^{t}(H^{*}(F_{s}),H^{*}(Y))}$

para los grupos homólogos graduados. Entonces la página se puede escribir como ${\displaystyle E_{1}}$

${\displaystyle E_{1}={\begin{array}{c|ccc}3&\vdots &\vdots &\vdots \\2&{\text{Hom}}^{2}(H^{*}(F_{0}),H^{*}(Y))&{\text{Hom}}^{2}(H^{*}(F_{1}),H^{*}(Y))&{\text{Hom}}^{2}(H^{*}(F_{2}),H^{*}(Y))&\cdots \\1&{\text{Hom}}^{1}(H^{*}(F_{0}),H^{*}(Y))&{\text{Hom}}^{1}(H^{*}(F_{1}),H^{*}(Y))&{\text{Hom}}^{1}(H^{*}(F_{2}),H^{*}(Y))&\cdots \\0&{\text{Hom}}^{0}(H^{*}(F_{0}),H^{*}(Y))&{\text{Hom}}^{0}(H^{*}(F_{1}),H^{*}(Y))&{\text{Hom}}^{0}(H^{*}(F_{2}),H^{*}(Y))&\cdots \\\hline &0&1&2\end{array}}}$

De esta manera, se puede pensar en el grado de cuán "profundo" llegamos en la resolución de Adams antes de poder encontrar los generadores. ${\displaystyle s}$

Cálculos

La secuencia en sí no es un dispositivo algorítmico, pero se presta a la resolución de problemas en casos particulares.

Calificación del diferencial

El diferencial de Adams 1 siempre va hacia la izquierda y hacia arriba . Es decir, ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle d_{r}\colon E_{r}^{s,t}\to E_{r}^{s+r,t+r-1}}$.

Ejemplos con espectros de Eilenberg-Maclane

Algunos de los cálculos más simples se realizan con espectros de Eilenberg-Maclane como y . ^{[1] : 48} Para el primer caso, tenemos la página ${\displaystyle X=H\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle X=H\mathbb {Z} /(p^{k})}$ ${\displaystyle E_{1}}$

${\displaystyle E_{1}^{s,t}={\begin{cases}\mathbb {Z} /p&{\text{ if }}t=s\\0&{\text{ otherwise }}\end{cases}}}$

dando una secuencia espectral colapsada, por lo tanto . Esto se puede reescribir como ${\displaystyle E_{1}=E_{\infty }}$

${\displaystyle {\text{Ext}}_{{\mathcal {A}}_{p}}^{s,t}(H^{*}(H\mathbb {Z} ),\mathbb {Z} /p)={\begin{cases}\mathbb {Z} /p&{\text{ if }}t=s\\0&{\text{ if }}t\neq s\end{cases}}}$

Dando la página. Para el otro caso, observe que hay una secuencia de cofibra. ${\displaystyle E_{2}}$

${\displaystyle H\mathbb {Z} \xrightarrow {\cdot p^{k}} H\mathbb {Z} \to H\mathbb {Z} /p^{k}\to \Sigma H\mathbb {Z} }$

lo que termina dando lugar a una división en cohomología, es decir, como -módulos. Entonces, la -página de puede leerse como ${\displaystyle H^{*}(H\mathbb {Z} /p^{k})=H^{*}(H\mathbb {Z} )\oplus H^{*}(\Sigma H\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{p}}$ ${\displaystyle E_{2}}$ ${\displaystyle H^{*}(H\mathbb {Z} /p)}$

${\displaystyle E_{2}^{s,t}={\begin{cases}\mathbb {Z} /p&{\text{if }}t-s=0,1\\0&{\text{otherwise }}\end{cases}}}$

La página esperada es ${\displaystyle E_{\infty }}$

${\displaystyle E_{\infty }^{s,t}={\begin{cases}\mathbb {Z} /p^{k}&{\text{ if }}t=s\\0&{\text{ otherwise }}\end{cases}}}$.

La única forma de que esta secuencia espectral converja a esta página es si hay diferenciales no triviales admitidos en cada elemento con clasificación de Adams . ${\displaystyle (s,s+1)}$

Otras aplicaciones

El uso original que Adams hizo de su secuencia espectral fue la primera prueba del problema del invariante 1 de Hopf: admite una estructura de álgebra de división solo para n = 1, 2, 4 u 8. Posteriormente encontró una prueba mucho más corta usando operaciones de cohomología en la teoría K. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

El teorema de isomorfismo de Thom relaciona la topología diferencial con la teoría de homotopía estable, y aquí es donde la sucesión espectral de Adams encontró su primer uso importante: en 1960, John Milnor y Sergei Novikov utilizaron la sucesión espectral de Adams para calcular el anillo de coeficientes del cobordismo complejo . Además, Milnor y CTC Wall utilizaron la sucesión espectral para demostrar la conjetura de Thom sobre la estructura del anillo de cobordismo orientado : dos variedades orientadas son cobordantes si y solo si sus números de Pontryagin y Stiefel–Whitney concuerdan.

Grupos de homotopía estables de esferas

Diagrama visual que muestra la página de la secuencia espectral de Adams que calcula los grupos de homotopía estable de esferas. Los puntos representan elementos que quedaron de la página y las líneas diagonales que se mueven hacia arriba y hacia la izquierda representan varios diferenciales en la secuencia espectral. El diferencial se mueve una unidad hacia la izquierda y unidades hacia arriba. Las líneas verticales se utilizan como una herramienta de contabilidad para determinar la estructura de los grupos de torsión. Además, representan la multiplicación por . Las líneas que se mueven hacia arriba y hacia la derecha una unidad representan la multiplicación por . ${\displaystyle E_{2}}$ ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle d_{r}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle h_{1}}$

Usando la secuencia espectral anterior para podemos calcular varios términos explícitamente, dando algunos de los primeros grupos de homotopía estables de esferas. ^[2] Porque esto equivale a mirar la página con ${\displaystyle X=Y=\mathbb {S} }$ ${\displaystyle p=2}$ ${\displaystyle E_{2}}$

${\displaystyle E_{2}^{s,t}={\text{Ext}}_{{\mathcal {A}}_{2}}^{s,t}(\mathbb {Z} /2,\mathbb {Z} /2)}$

Esto se puede hacer observando primero la resolución de Adams de . Como está en grado , tenemos una sobreyección ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$ ${\displaystyle 0}$

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{2}\cdot \iota \to \mathbb {Z} /2}$

donde tiene un generador en grado denotado . El núcleo consta de todos los elementos para monomios admisibles que generan , por lo tanto tenemos una función ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{2}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \iota }$ ${\displaystyle K_{0}}$ ${\displaystyle Sq^{I}\iota }$ ${\displaystyle Sq^{I}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{2}}$

${\displaystyle \bigoplus _{I{\text{ admissible}}}{\mathcal {A}}_{2}\cdot Sq^{I}\iota \to K_{0}}$

y denotamos cada uno de los generadores que se asignan a en la suma directa como , y el resto de los generadores como para algún . Por ejemplo, ${\displaystyle Sq^{i}\iota }$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle Sq^{I}\alpha _{j}}$ ${\displaystyle j}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{1}\mapsto Sq^{1}\iota &&Sq^{2}\alpha _{1}\mapsto Sq^{2,1}\iota \\\alpha _{2}\mapsto Sq^{2}\iota &&Sq^{1}\alpha _{2}\mapsto Sq^{3}\iota \\\alpha _{4}\mapsto Sq^{4}\iota &&Sq^{3}\alpha _{1}\mapsto Sq^{3,1}\iota \\\alpha _{8}\mapsto Sq^{8}&&Sq^{2}\alpha _{2}\mapsto Sq^{3,1}\iota \end{aligned}}}$

Observe que los dos últimos elementos de mapean al mismo elemento, lo que se desprende de las relaciones Adem. Además, hay elementos en el núcleo, como por ejemplo ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle Sq^{1}\alpha _{1}}$

${\displaystyle Sq^{1}\alpha _{1}\mapsto Sq^{1}Sq^{1}\iota =0}$

Debido a la relación Adem, llamamos al generador de este elemento en , . Podemos aplicar el mismo proceso y obtener un núcleo , resolverlo, etc. Cuando lo hacemos, obtenemos una página que se ve así ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle \beta _{2}}$ ${\displaystyle K_{1}}$ ${\displaystyle E_{1}}$

${\displaystyle E_{1}^{s,t}={\begin{array}{c|ccc}\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\4&Sq^{4}\iota ,Sq^{3,1}\iota &Sq^{2,1}\alpha _{1},Sq^{3}\alpha _{1},Sq^{2}\alpha _{2},\alpha _{4}&Sq^{2}\beta _{2}&\cdots \\3&Sq^{3}\iota ,Sq^{2,1}\iota &Sq^{2}\alpha _{1},Sq^{1}\alpha _{2}&Sq^{1}\beta _{2}&\cdots \\2&Sq^{2}\iota &\alpha _{2},Sq^{1}\alpha _{1}&\beta _{2}&\cdots \\1&Sq^{1}\iota &\alpha _{1}&0&\cdots \\0&\iota &0&0&\cdots \\\hline &0&1&2\end{array}}}$

que se puede expandir por computadora hasta el grado con relativa facilidad. Usando los generadores y relaciones encontrados, podemos calcular la página con relativa facilidad. A veces, a los teóricos de la homotopía les gusta reorganizar estos elementos haciendo que el índice horizontal denote y el índice vertical denote dando un tipo diferente de diagrama para la página ^{[2] pg 21.} Vea el diagrama anterior para obtener más información. ${\displaystyle 100}$ ${\displaystyle E_{2}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle t-s}$ ${\displaystyle E_{2}}$

Generalizaciones

La secuencia espectral de Adams-Novikov es una generalización de la secuencia espectral de Adams introducida por Novikov (1967) en la que la cohomología ordinaria se reemplaza por una teoría de cohomología generalizada , a menudo un bordismo complejo o una cohomología de Brown-Peterson . Esto requiere el conocimiento del álgebra de operaciones de cohomología estables para la teoría de cohomología en cuestión, pero permite cálculos que son completamente intratables con la secuencia espectral clásica de Adams.

Véase también

• Sistema Postnikov
• Álgebra de Steenrod
• Espectro (topología)
• Resolución de Adams
• Las conjeturas de Ravenel

Referencias

• Adams, J. Frank (1958), "Sobre la estructura y aplicaciones del álgebra de Steenrod", Commentarii Mathematici Helvetici , 32 (1): 180–214, doi :10.1007/BF02564578, ISSN  0010-2571, MR  0096219, S2CID  15677036
• Adams, J. Frank (2013) [1964], Teoría de la homotopía estable, Lecture Notes in Mathematics, vol. 3, Springer, ISBN 9783662159422, Sr.  0185597
• Botvinnik, Boris (1992), Variedades con singularidades y la secuencia espectral de Adams-Novikov, London Mathematical Society Lecture Note Series, Cambridge University Press , ISBN 0-521-42608-1
• McCleary, John (febrero de 2001), Guía del usuario de secuencias espectrales , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 58 (2.ª ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-56759-6, Sr.  1793722
• Novikov, Sergei (1967), "Métodos de topología algebraica desde el punto de vista de la teoría del cobordismo", Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya (en ruso), 31 : 855–951
• Ravenel, Douglas C. (1978), "Guía para principiantes de la secuencia espectral de Adams-Novikov", en Barratt, MG; Mahowald, Mark E. (eds.), Aplicaciones geométricas de la teoría de la homotopía (Proc. Conf., Evanston, Ill., 1977), II , Lecture Notes in Mathematics, vol. 658, Springer, págs. 404-475, doi :10.1007/BFb0068728, ISBN 978-3-540-08859-2, Sr.  0513586
• Ravenel, Douglas C. (2003), Cobordismo complejo y grupos de homotopía estables de esferas (2.ª ed.), AMS Chelsea, ISBN 978-0-8218-2967-7, Sr.  0860042.

Reseñas generales de los cálculos

• Isaksen, DC; Wang, G.; Xu, Z. (2020). "Raíces más estables". arXiv : 2001.04511 [math.AT].– calcula todas las secuencias espectrales de Adams para los grupos de homotopía estable de esferas hasta el grado 90

Términos de orden superior

• Baues, HJ; Jibladze, M. (2004). "Cálculo del término E_3 de la secuencia espectral de Adams". arXiv : math/0407045 .
• Baues, HJ; Blanc, D. (2015). "Functores derivados de orden superior y la secuencia espectral de Adams". Revista de álgebra pura y aplicada . 219 (2): 199–239. arXiv : 1108.3376 . doi :10.1016/j.jpaa.2014.04.018. S2CID  119144480.
• Baues, HJ; Frankland, M. (2016). "Álgebras de 2 pistas y la secuencia espectral de Adams". J. Homotopy Relat. Struct . 11 (4): 679–713. arXiv : 1505.03885 . doi :10.1007/s40062-016-0147-x. S2CID  : 119658430.

Enlaces externos

• Bruner, Robert R. (2 de junio de 2009), Introducción a la secuencia espectral de Adams (PDF)
• Hatcher, Allen , "La secuencia espectral de Adams" (PDF) , Secuencias espectrales

Notas

1. Ravenel, Douglas C. (1986). Cobordismo complejo y grupos de homotopía estable de esferas. Orlando: Academic Press. ISBN 978-0-08-087440-1.OCLC 316566772  .
2. Hatcher, Allen. "Secuencias espectrales en topología algebraica" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 28 de julio de 2018.