Sistema de cuotas

En geometría algebraica , el esquema Quot es un esquema que parametriza haces sobre un esquema proyectivo . Más específicamente, si X es un esquema proyectivo sobre un esquema noetheriano S y si F es un haz coherente sobre X , entonces existe un esquema cuyo conjunto de T puntos es el conjunto de clases de isomorfismo de los cocientes de que son planos sobre T. La noción fue introducida por Alexander Grothendieck . ^[1] ${\displaystyle \operatorname {Quot} _{F}(X)}$ ${\displaystyle \operatorname {Quot} _{F}(X)(T)=\operatorname {Mor} _{S}(T,\operatorname {Quot} _{F}(X))}$ ${\displaystyle F\times _{S}T}$

Se utiliza normalmente para construir otro esquema que parametrice objetos geométricos que sean de interés, como un esquema de Hilbert . (De hecho, al tomar F como el haz de estructura se obtiene un esquema de Hilbert). ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

Definición

Para un esquema de tipo finito sobre un esquema base noetheriano , y un haz coherente , existe un funtor ^{[2] [3]} ${\displaystyle X\to S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}\in {\text{Coh}}(X)}$

${\displaystyle {\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {E}}/X/S}:(Sch/S)^{op}\to {\text{Sets}}}$

enviando a ${\displaystyle T\to S}$

${\displaystyle {\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {E}}/X/S}(T)=\left\{({\mathcal {F}},q):{\begin{matrix}{\mathcal {F}}\in {\text{QCoh}}(X_{T})\\{\mathcal {F}}\ {\text{finitely presented over}}\ X_{T}\\{\text{Supp}}({\mathcal {F}}){\text{ is proper over }}T\\{\mathcal {F}}{\text{ is flat over }}T\\q:{\mathcal {E}}_{T}\to {\mathcal {F}}{\text{ surjective}}\end{matrix}}\right\}/\sim }$

donde y bajo la proyección . Existe una relación de equivalencia dada por si hay un isomorfismo que conmuta con las dos proyecciones ; es decir, ${\displaystyle X_{T}=X\times _{S}T}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{T}=pr_{X}^{*}{\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle pr_{X}:X_{T}\to X}$ ${\displaystyle ({\mathcal {F}},q)\sim ({\mathcal {F}}',q')}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\to {\mathcal {F}}''}$ ${\displaystyle q,q'}$

${\displaystyle {\begin{matrix}{\mathcal {E}}_{T}&{\xrightarrow {q}}&{\mathcal {F}}\\\downarrow {}&&\downarrow \\{\mathcal {E}}_{T}&{\xrightarrow {q'}}&{\mathcal {F}}'\end{matrix}}}$

es un diagrama conmutativo para . Alternativamente, existe una condición equivalente de cumplimiento de . Esto se llama functor quot que tiene una estratificación natural en una unión disjunta de subfunctores, cada uno de los cuales está representado por un esquema proyectivo llamado esquema quot asociado a un polinomio de Hilbert . ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{T}{\xrightarrow {id}}{\mathcal {E}}_{T}}$ ${\displaystyle {\text{ker}}(q)={\text{ker}}(q')}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \Phi }$

Polinomio de Hilbert

Para un fibrado de líneas relativamente muy amplio ^[4] y cualquier punto cerrado existe una función que envía ${\displaystyle {\mathcal {L}}\in {\text{Pic}}(X)}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle \Phi _{\mathcal {F}}:\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$

${\displaystyle m\mapsto \chi ({\mathcal {F}}_{s}(m))=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\text{dim}}_{\kappa (s)}H^{i}(X,{\mathcal {F}}_{s}\otimes {\mathcal {L}}_{s}^{\otimes m})}$

que es un polinomio para . Esto se llama polinomio de Hilbert que da una estratificación natural del funtor quot. Nuevamente, para fijo hay una unión disjunta de subfuntores ${\displaystyle m>>0}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle {\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {E}}/X/S}=\coprod _{\Phi \in \mathbb {Q} [t]}{\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {E}}/X/S}^{\Phi ,{\mathcal {L}}}}$

dónde

${\displaystyle {\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {E}}/X/S}^{\Phi ,{\mathcal {L}}}(T)=\left\{({\mathcal {F}},q)\in {\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {E}}/X/S}(T):\Phi _{\mathcal {F}}=\Phi \right\}}$

El polinomio de Hilbert es el polinomio de Hilbert de para puntos cerrados . Nótese que el polinomio de Hilbert es independiente de la elección de un fibrado de líneas muy amplio . ${\displaystyle \Phi _{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$ ${\displaystyle t\in T}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

Teorema de existencia de Grothendieck

Es un teorema de Grothendieck que todos los funtores son representables mediante esquemas proyectivos sobre . ${\displaystyle {\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {E}}/X/S}^{\Phi ,{\mathcal {L}}}}$ ${\displaystyle {\text{Quot}}_{{\mathcal {E}}/X/S}^{\Phi }}$ ${\displaystyle S}$

Ejemplos

Grassmaniano

El Grassmanniano de planos -en un espacio vectorial -dimensional tiene un cociente universal ${\displaystyle G(n,k)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{G(n,k)}^{\oplus k}\to {\mathcal {U}}}$

donde es el plano representado por . Como es localmente libre y en cada punto representa un plano, tiene el polinomio de Hilbert constante . Esto muestra que representa el funtor quot ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{x}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x\in G(n,k)}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \Phi (\lambda )=k}$ ${\displaystyle G(n,k)}$

${\displaystyle {\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {O}}_{G(n,k)}^{\oplus (n)}/{\text{Spec}}(\mathbb {Z} )/{\text{Spec}}(\mathbb {Z} )}^{k,{\mathcal {O}}_{G(n,k)}}}$

Espacio proyectivo

Como caso especial, podemos construir el espacio del proyecto como el esquema quot ${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})}$

${\displaystyle {\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {E}}/X/S}^{1,{\mathcal {O}}_{X}}}$

para una gavilla en un -esquema . ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$

Esquema de Hilbert

El esquema de Hilbert es un ejemplo especial del esquema quot. Observe que un subesquema puede darse como una proyección ${\displaystyle Z\subset X}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{Z}}$

y una familia plana de tales proyecciones parametrizadas por un esquema puede darse por ${\displaystyle T\in Sch/S}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X_{T}}\to {\mathcal {F}}}$

Dado que hay un polinomio de Hilbert asociado a , denotado , existe un isomorfismo de esquemas ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \Phi _{Z}}$

${\displaystyle {\text{Quot}}_{{\mathcal {O}}_{X}/X/S}^{\Phi _{Z}}\cong {\text{Hilb}}_{X/S}^{\Phi _{Z}}}$

Ejemplo de parametrización

Si y para un campo algebraicamente cerrado, entonces una sección distinta de cero tiene lugar evanescente con polinomio de Hilbert ${\displaystyle X=\mathbb {P} _{k}^{n}}$ ${\displaystyle S={\text{Spec}}(k)}$ ${\displaystyle s\in \Gamma ({\mathcal {O}}(d))}$ ${\displaystyle Z=Z(s)}$

${\displaystyle \Phi _{Z}(\lambda )={\binom {n+\lambda }{n}}-{\binom {n-d+\lambda }{n}}}$

Entonces, hay una sobreyección

${\displaystyle {\mathcal {O}}\to {\mathcal {O}}_{Z}}$

con núcleo . Dado que era una sección arbitraria distinta de cero, y el lugar geométrico de desaparición de para da el mismo lugar geométrico de desaparición, el esquema da una parametrización natural de todas esas secciones. Hay un haz en tal que para cualquier , hay un subesquema asociado y una sobreyección . Esta construcción representa el funtor quot ${\displaystyle {\mathcal {O}}(-d)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle a\cdot s}$ ${\displaystyle a\in k^{*}}$ ${\displaystyle Q=\mathbb {P} (\Gamma ({\mathcal {O}}(d)))}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle X\times Q}$ ${\displaystyle [s]\in Q}$ ${\displaystyle Z\subset X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}\to {\mathcal {O}}_{Z}}$

${\displaystyle {\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {O}}/\mathbb {P} ^{n}/{\text{Spec}}(k)}^{\Phi _{Z}}}$

Cuádricas en el plano proyectivo

Si y , el polinomio de Hilbert es ${\displaystyle X=\mathbb {P} ^{2}}$ ${\displaystyle s\in \Gamma ({\mathcal {O}}(2))}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{Z}(\lambda )&={\binom {2+\lambda }{2}}-{\binom {2-2+\lambda }{2}}\\&={\frac {(\lambda +2)(\lambda +1)}{2}}-{\frac {\lambda (\lambda -1)}{2}}\\&={\frac {\lambda ^{2}+3\lambda +2}{2}}-{\frac {\lambda ^{2}-\lambda }{2}}\\&={\frac {2\lambda +2}{2}}\\&=\lambda +1\end{aligned}}}$

y

${\displaystyle {\text{Quot}}_{{\mathcal {O}}/\mathbb {P} ^{2}/{\text{Spec}}(k)}^{\lambda +1}\cong \mathbb {P} (\Gamma ({\mathcal {O}}(2)))\cong \mathbb {P} ^{5}}$

El cociente universal sobre viene dado por ${\displaystyle \mathbb {P} ^{5}\times \mathbb {P} ^{2}}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}\to {\mathcal {U}}}$

donde la fibra sobre un punto da el morfismo proyectivo ${\displaystyle [Z]\in {\text{Quot}}_{{\mathcal {O}}/\mathbb {P} ^{2}/{\text{Spec}}(k)}^{\lambda +1}}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}\to {\mathcal {O}}_{Z}}$

Por ejemplo, si representa los coeficientes de ${\displaystyle [Z]=[a_{0}:a_{1}:a_{2}:a_{3}:a_{4}:a_{5}]}$

${\displaystyle f=a_{0}x^{2}+a_{1}xy+a_{2}xz+a_{3}y^{2}+a_{4}yz+a_{5}z^{2}}$

entonces el cociente universal sobre da la secuencia corta exacta ${\displaystyle [Z]}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}(-2){\xrightarrow {f}}{\mathcal {O}}\to {\mathcal {O}}_{Z}\to 0}$

Fibrados vectoriales semiestables en una curva

Los fibrados vectoriales semiestables en una curva de género pueden describirse de manera equivalente como haces localmente libres de rango finito. Estos haces localmente libres de rango y grado tienen las propiedades ^[5] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle d}$

1. ${\displaystyle H^{1}(C,{\mathcal {F}})=0}$
2. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$Se genera por secciones globales.

para . Esto implica que hay una sobreyección ${\displaystyle d>n(2g-1)}$

${\displaystyle H^{0}(C,{\mathcal {F}})\otimes {\mathcal {O}}_{C}\cong {\mathcal {O}}_{C}^{\oplus N}\to {\mathcal {F}}}$

Entonces, el esquema quot parametriza todas esas sobreyecciones. Usando el teorema de Grothendieck-Riemann-Roch la dimensión es igual a ${\displaystyle {\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {O}}_{C}^{\oplus N}/{\mathcal {C}}/\mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle \chi ({\mathcal {F}})=d+n(1-g)}$

Para un haz de líneas fijas de grado hay una torsión , desplazando el grado en , por lo que ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(m)={\mathcal {F}}\otimes {\mathcal {L}}^{\otimes m}}$ ${\displaystyle nm}$

${\displaystyle \chi ({\mathcal {F}}(m))=mn+d+n(1-g)}$^[5]

dando el polinomio de Hilbert

${\displaystyle \Phi _{\mathcal {F}}(\lambda )=n\lambda +d+n(1-g)}$

Entonces, el lugar geométrico de los haces vectoriales semiestables está contenido en

${\displaystyle {\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {O}}_{C}^{\oplus N}/{\mathcal {C}}/\mathbb {Z} }^{\Phi _{\mathcal {F}},{\mathcal {L}}}}$

que se puede utilizar para construir el espacio de módulos de fibrados vectoriales semiestables utilizando un cociente GIT . ^[5] ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{C}(n,d)}$

Véase también

• Polinomio de Hilbert
• Morfismo plano
• Esquema de Hilbert
• Espacio de módulos
• Cociente GIT

Referencias

1. Grothendieck, Alejandro. Técnicas de construcción y teorías de existencia en geometría algébrique IV: les schémas de Hilbert. Séminaire Bourbaki: años 1960/61, exposiciones 205-222, Séminaire Bourbaki, núm. 6 (1961), Charla núm. 221, pág. 249-276
2. Nitsure, Nitin (2005). "Construcción de esquemas de Hilbert y de quot". Geometría algebraica fundamental: explicación de la FGA de Grothendieck . Encuestas y monografías matemáticas. Vol. 123. American Mathematical Society. págs. 105–137. arXiv : math/0504590 . ISBN. 978-0-8218-4245-4.
3. Altman, Allen B.; Kleiman, Steven L. (1980). "Compactificación del esquema de Picard". Avances en Matemáticas . 35 (1): 50–112. doi : 10.1016/0001-8708(80)90043-2 . ​​ISSN  0001-8708.
4. Significa que una base para las secciones globales define una incrustación para ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle \Gamma (X,{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle \mathbb {s} :X\to \mathbb {P} _{S}^{N}}$ ${\displaystyle N={\text{dim}}(\Gamma (X,{\mathcal {L}}))}$
5. Hoskins, Victoria. "Problemas de módulos y teoría de invariantes geométricos" (PDF) . pp. 68, 74–85. Archivado (PDF) desde el original el 1 de marzo de 2020.

Lectura adicional

• Notas sobre mapas estables y cohomología cuántica
• https://amathew.wordpress.com/2012/06/02/the-stack-of-coherent-sheaves/