Cociente por una relación de equivalencia

Generalización de clases de equivalencia a la teoría de esquemas.

En matemáticas , dada una categoría C , un cociente de un objeto X por una relación de equivalencia es un coecualizador para el par de aplicaciones ${\displaystyle f:R\to X\times X}$

${\displaystyle R\ {\overset {f}{\to }}\ X\times X\ {\overset {\operatorname {pr} _{i}}{\to }}\ X,\ \ i=1,2,}$

donde R es un objeto en C y " f es una relación de equivalencia" significa que, para cualquier objeto T en C , la imagen (que es un conjunto ) de es una relación de equivalencia ; es decir, una relación reflexiva , simétrica y transitiva . ${\displaystyle f:R(T)=\operatorname {Mor} (T,R)\to X(T)\times X(T)}$

El caso básico en la práctica es cuando C es la categoría de todos los esquemas sobre algún esquema S. Pero la noción es flexible y también se puede considerar que C es la categoría de haces .

Ejemplos

• Sea X un conjunto y considere alguna relación de equivalencia sobre él. Sea Q el conjunto de todas las clases de equivalencia en X. Entonces el mapa que envía un elemento x a la clase de equivalencia a la que pertenece x es un cociente. ${\displaystyle q:X\to Q}$
• En el ejemplo anterior, Q es un subconjunto del conjunto de potencias H de X. En geometría algebraica , se podría reemplazar H por un esquema de Hilbert o una unión disjunta de esquemas de Hilbert. De hecho, Grothendieck construyó un esquema de Picard relativo de un esquema proyectivo plano X ^[1] como un cociente Q (del esquema Z que parametriza divisores efectivos relativos en X ) que es un esquema cerrado de un esquema de Hilbert H. Entonces se puede considerar el mapa del cociente como una versión relativa del mapa de Abel . ${\displaystyle q:Z\to Q}$

Ver también

• Cociente categórico , un caso especial

Notas

1. También es necesario asumir que las fibras geométricas son esquemas integrales; El ejemplo de Mumford muestra que la "integral" no se puede omitir.

Referencias

• Nitsure, N. Construcción de esquemas de Hilbert y Quot. Geometría algebraica fundamental: explicación de la FGA de Grothendieck, Mathematical Surveys and Monographs 123, American Mathematical Society 2005, 105-137.