Fibrado cotangente

Fibrado vectorial de espacios cotangentes en cada punto de una variedad

En matemáticas , especialmente en geometría diferencial , el fibrado cotangente de una variedad suave es el fibrado vectorial de todos los espacios cotangentes en cada punto de la variedad. También puede describirse como fibrado dual del fibrado tangente . Esto puede generalizarse a categorías con más estructura que las variedades suaves, como las variedades complejas o (en forma de haz cotangente) variedades o esquemas algebraicos . En el caso suave, cualquier forma métrica o simpléctica de Riemann da un isomorfismo entre el fibrado cotangente y el fibrado tangente, pero en general no son isomorfos en otras categorías.

Definición formal a través demorfismo diagonal

Existen varias formas equivalentes de definir el fibrado cotangente. Una forma es mediante una aplicación diagonal Δ y germs .

Sea M una variedad suave y sea M × M el producto cartesiano de M consigo mismo. La función diagonal Δ envía un punto p en M al punto ( p , p ) de M × M . La imagen de Δ se llama diagonal. Sea el haz de gérmenes de funciones suaves en M × M que se anulan en la diagonal. Entonces, el haz cociente consiste en clases de equivalencia de funciones que se anulan en la diagonal módulo términos de orden superior. El haz cotangente se define como el retroceso de este haz a M : ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}}$

${\displaystyle \Gamma T^{*}M=\Delta ^{*}\left({\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}\right).}$

Por el teorema de Taylor , se trata de un haz de módulos localmente libre con respecto al haz de gérmenes de funciones suaves de M. Por tanto, define un fibrado vectorial en M : el fibrado cotangente .

Las secciones suaves del fibrado cotangente se denominan uniformas (diferenciales) .

Propiedades de contravarianza

Un morfismo suave de variedades induce un haz de pullback en M. Hay un mapa inducido de fibrados vectoriales . ${\displaystyle \phi \colon M\to N}$ ${\displaystyle \phi ^{*}T^{*}N}$ ${\displaystyle \phi ^{*}(T^{*}N)\to T^{*}M}$

Ejemplos

El fibrado tangente del espacio vectorial es , y el fibrado cotangente es , donde denota el espacio dual de covectores, funciones lineales . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle T\,\mathbb {R} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle T^{*}\mathbb {R} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}\times (\mathbb {R} ^{n})^{*}}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n})^{*}}$ ${\displaystyle v^{*}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$

Dada una variedad suave incrustada como una hipersuperficie representada por el lugar geométrico de desaparición de una función con la condición de que el fibrado tangente sea ${\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}),}$ ${\displaystyle \nabla f\neq 0,}$

${\displaystyle TM=\{(x,v)\in T\,\mathbb {R} ^{n}\ :\ f(x)=0,\ \,df_{x}(v)=0\},}$

donde es la derivada direccional . Por definición, el fibrado cotangente en este caso es ${\displaystyle df_{x}\in T_{x}^{*}M}$ ${\displaystyle df_{x}(v)=\nabla \!f(x)\cdot v}$

${\displaystyle T^{*}M={\bigl \{}(x,v^{*})\in T^{*}\mathbb {R} ^{n}\ :\ f(x)=0,\ v^{*}\in T_{x}^{*}M{\bigr \}},}$

donde Dado que cada covector corresponde a un vector único para el cual para un valor arbitrario ${\displaystyle T_{x}^{*}M=\{v\in T_{x}\mathbb {R} ^{n}\ :\ df_{x}(v)=0\}^{*}.}$ ${\displaystyle v^{*}\in T_{x}^{*}M}$ ${\displaystyle v\in T_{x}M}$ ${\displaystyle v^{*}(u)=v\cdot u,}$ ${\displaystyle u\in T_{x}M,}$

${\displaystyle T^{*}M={\bigl \{}(x,v^{*})\in T^{*}\mathbb {R} ^{n}\ :\ f(x)=0,\ v\in T_{x}\mathbb {R} ^{n},\ df_{x}(v)=0{\bigr \}}.}$

El fibrado cotangente como espacio de fases

Como el fibrado cotangente X = T * M es un fibrado vectorial , puede considerarse una variedad por derecho propio. Como en cada punto las direcciones tangentes de M pueden emparejarse con sus covectores duales en la fibra, X posee una forma única canónica θ llamada forma única tautológica , que se analiza a continuación. La derivada exterior de θ es una forma 2 simpléctica , a partir de la cual se puede construir una forma de volumen no degenerada para X. Por ejemplo, como resultado, X es siempre una variedad orientable (el fibrado tangente TX es un fibrado vectorial orientable). Se puede definir un conjunto especial de coordenadas en el fibrado cotangente; estas se denominan coordenadas canónicas . Como los fibrados cotangentes se pueden considerar variedades simplécticas , cualquier función real en el fibrado cotangente se puede interpretar como un hamiltoniano ; por lo tanto, el fibrado cotangente se puede entender como un espacio de fases en el que se desarrolla la mecánica hamiltoniana .

La forma única tautológica

El fibrado cotangente tiene una forma canónica θ también conocida como potencial simpléctico , forma 1 de Poincaré o forma 1 de Liouville . Esto significa que si consideramos T * M como una variedad por derecho propio, existe una sección canónica del fibrado vectorial T *( T * M ) sobre T * M .

Esta sección se puede construir de varias maneras. El método más elemental utiliza coordenadas locales. Supóngase que x ⁱ son coordenadas locales en la variedad base M . En términos de estas coordenadas base, hay coordenadas de fibra p _i  : una forma unitaria en un punto particular de T * M tiene la forma p _i  dx ⁱ ( convención de suma de Einstein implícita). Por lo tanto, la variedad T * M en sí misma tiene coordenadas locales ( x ⁱ , p _i ) donde las x son coordenadas en la base y las p son coordenadas en la fibra. La forma unitaria canónica está dada en estas coordenadas por

${\displaystyle \theta _{(x,p)}=\sum _{{\mathfrak {i}}=1}^{n}p_{i}\,dx^{i}.}$

Intrínsecamente, el valor de la uniforma canónica en cada punto fijo de T*M se da como un pullback . Específicamente, supongamos que π : T*M → M es la proyección del fibrado. Tomar un punto en T _x * M es lo mismo que elegir un punto x en M y una uniforma ω en x , y la uniforma tautológica θ asigna al punto ( x , ω) el valor

${\displaystyle \theta _{(x,\omega )}=\pi ^{*}\omega .}$

Es decir, para un vector v en el fibrado tangente del fibrado cotangente, la aplicación de la forma unitaria tautológica θ a v en ( x , ω) se calcula proyectando v en el fibrado tangente en x utilizando d π : T ( T * M ) → TM y aplicando ω a esta proyección. Nótese que la forma unitaria tautológica no es un pullback de una forma unitaria en la base M .

Forma simpléctica

El fibrado cotangente tiene una 2-forma simpléctica canónica , como derivada exterior de la uniforma tautológica , el potencial simpléctico . Para demostrar que esta forma es, de hecho, simpléctica, se puede observar que ser simpléctico es una propiedad local: dado que el fibrado cotangente es trivial localmente, esta definición solo necesita comprobarse en . Pero allí la un forma definida es la suma de , y la diferencial es la forma simpléctica canónica, la suma de . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle y_{i}\,dx_{i}}$ ${\displaystyle dy_{i}\land dx_{i}}$

Espacio de fases

Si la variedad representa el conjunto de posiciones posibles en un sistema dinámico , entonces el fibrado cotangente puede considerarse como el conjunto de posiciones y momentos posibles . Por ejemplo, esta es una forma de describir el espacio de fases de un péndulo. El estado del péndulo está determinado por su posición (un ángulo) y su momento (o equivalentemente, su velocidad, ya que su masa es constante). Todo el espacio de estados parece un cilindro, que es el fibrado cotangente del círculo. La construcción simpléctica anterior, junto con una función de energía apropiada , proporciona una determinación completa de la física del sistema. Consulte la mecánica hamiltoniana y el artículo sobre flujo geodésico para una construcción explícita de las ecuaciones de movimiento hamiltonianas. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \!\,T^{*}\!M}$

Véase también

• Transformación de Legendre

Referencias

• Abraham, Ralph ; Marsden, Jerrold E. (1978). Fundamentos de mecánica . Londres: Benjamin-Cummings. ISBN 0-8053-0102-X.
• Jost, Jürgen (2002). Geometría riemanniana y análisis geométrico . Berlín: Springer-Verlag. ISBN 3-540-63654-4.
• Singer, Stephanie Frank (2001). Simetría en mecánica: una introducción moderna y apacible . Boston: Birkhäuser.