Haz cotangente

En geometría algebraica, dado un morfismo f : X → S de esquemas, el haz cotangente en X es el haz de -módulos ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ que representa (o clasifica) S - derivaciones ^[1] en el sentido: para cualquier -módulo F , existe un isomorfismo ${\displaystyle \Omega _{X/S}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{{\mathcal {O}}_{X}}(\Omega _{X/S},F)=\operatorname {Der} _{S}({\mathcal {O}}_{X},F)}$

que depende naturalmente de F . En otras palabras, el haz cotangente se caracteriza por la propiedad universal: existe la diferencial tal que cualquier S -derivación se factoriza como con algún . ${\displaystyle d:{\mathcal {O}}_{X}\to \Omega _{X/S}}$ ${\displaystyle D:{\mathcal {O}}_{X}\to F}$ ${\displaystyle D=\alpha \circ d}$ ${\displaystyle \alpha :\Omega _{X/S}\to F}$

En el caso de que X y S sean esquemas afines, la definición anterior significa que es el módulo de las diferenciales de Kähler . La forma estándar de construir un haz cotangente (por ejemplo, Hartshorne, Cap. II. § 8) es a través de un morfismo diagonal (que equivale a pegar módulos de diferenciales de Kähler en diagramas afines para obtener el haz cotangente definido globalmente). El módulo dual del haz cotangente en un esquema X se denomina haz tangente en X y a veces se denota por . ^[2] ${\displaystyle \Omega _{X/S}}$ ${\displaystyle \Theta _{X}}$

Hay dos secuencias exactas importantes:

1. Si S → T es un morfismo de esquemas, entonces

   ${\displaystyle f^{*}\Omega _{S/T}\to \Omega _{X/T}\to \Omega _{X/S}\to 0.}$

2. Si Z es un subesquema cerrado de X con haz ideal I , entonces

   ${\displaystyle I/I^{2}\to \Omega _{X/S}\otimes _{O_{X}}{\mathcal {O}}_{Z}\to \Omega _{Z/S}\to 0.}$^{[3] [4]}

El haz cotangente está estrechamente relacionado con la suavidad de una variedad o esquema. Por ejemplo, una variedad algebraica es suave de dimensión n si y solo si Ω _X es un haz localmente libre de rango n . ^[5]

Construcción a través de un morfismo diagonal

Sea un morfismo de esquemas como en la introducción y Δ: X → X × _S X el morfismo diagonal. Entonces la imagen de Δ es localmente cerrada ; es decir, cerrada en algún subconjunto abierto W de X × _S X (la imagen es cerrada si y solo si f está separada ). Sea I el haz ideal de Δ( X ) en W . Entonces se pone: ${\displaystyle f:X\to S}$

${\displaystyle \Omega _{X/S}=\Delta ^{*}(I/I^{2})}$

y comprueba que este haz de módulos satisface la propiedad universal requerida de un haz cotangente (Hartshorne, Cap. II. Observación 8.9.2). La construcción muestra en particular que el haz cotangente es cuasi-coherente . Es coherente si S es noetheriano y f es de tipo finito.

La definición anterior significa que el haz cotangente sobre X es la restricción a X del haz conormal a la incrustación diagonal de X sobre S.

Relación con un haz de líneas tautológico

El haz cotangente en un espacio proyectivo está relacionado con el fibrado lineal tautológico O (-1) por la siguiente secuencia exacta: escribiendo para el espacio proyectivo sobre un anillo R , ${\displaystyle \mathbf {P} _{R}^{n}}$

${\displaystyle 0\to \Omega _{\mathbf {P} _{R}^{n}/R}\to {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} _{R}^{n}}(-1)^{\oplus (n+1)}\to {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} _{R}^{n}}\to 0.}$

(Véase también clase de Chern#Espacio proyectivo complejo ).

Pila de cotangentes

Para esta noción, véase el § 1 de

A. Beilinson y V. Drinfeld, Cuantización del sistema integrable de Hitchin y haces propios de Hecke [1] Archivado el 5 de enero de 2015 en Wayback Machine. ^[6]

Allí, la pila cotangente sobre una pila algebraica X se define como la Spec relativa del álgebra simétrica del haz tangente sobre X . (Nota: en general, si E es un haz localmente libre de rango finito, es el fibrado vectorial algebraico correspondiente a E . ^{[ cita requerida ]} ) ${\displaystyle \mathbf {Spec} (\operatorname {Sym} ({\check {E}}))}$

Véase también: Fibración de Hitchin (la pila cotangente de es el espacio total de la fibración de Hitchin). ${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)}$

Notas

1. "Sección 17.27 (08RL): Módulos de diferenciales—El proyecto Stacks".
2. En términos concisos, esto significa:

   ${\displaystyle \Theta _{X}{\overset {\mathrm {def} }{=}}{\mathcal {H}}om_{{\mathcal {O}}_{X}}(\Omega _{X},{\mathcal {O}}_{X})={\mathcal {D}}er({\mathcal {O}}_{X}).}$

3. Hartshorne 1977, Cap. II, Proposición 8.12.
4. https://mathoverflow.net/q/79956 así como (Hartshorne 1977, Cap. II, Teorema 8.17.)
5. Hartshorne 1977, Cap. II, Teorema 8.15.
6. ver también: § 3 de http://www.math.harvard.edu/~gaitsgde/grad_2009/SeminarNotes/Sept22(Dmodstack1).pdf

Véase también

• complejo cotangente

Referencias

• "Haz de diferenciales de un morfismo".
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 52, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, Sr.  0463157

Enlaces externos

• "Preguntas sobre fibrado tangente y cotangente en esquemas". Stack Exchange . 2 de noviembre de 2014.