Simetría en mecánica: una introducción moderna y apacible es un libro de texto de grado sobre matemáticas y física matemática , centrado en el uso de la geometría simpléctica para resolver el problema de Kepler . Fue escrito por Stephanie Singer y publicado por Birkhäuser en 2001.
El problema de Kepler en mecánica clásica es un caso especial del problema de los dos cuerpos en el que dos masas puntuales interactúan por la ley de gravitación universal de Newton (o por cualquier fuerza central que obedezca una ley del cuadrado inverso ). El libro comienza y termina con este problema, la primera vez de manera ad hoc que representa el problema utilizando un sistema de doce variables para las posiciones y vectores de momento de los dos cuerpos, utiliza las leyes de conservación de la física para establecer un sistema de ecuaciones diferenciales obedecidas por estas variables y resuelve estas ecuaciones. La segunda vez, describe las posiciones y variables de los dos cuerpos como un solo punto en un espacio de fase de 12 dimensiones , describe el comportamiento de los cuerpos como un sistema hamiltoniano y utiliza reducciones simplécticas para reducir el espacio de fase a dos dimensiones antes de resolverlo para producir las leyes de Kepler del movimiento planetario de una manera más directa y basada en principios. [1]
La parte central del libro establece la maquinaria de la geometría simpléctica necesaria para completar este recorrido. Los temas tratados en esta parte incluyen variedades , campos vectoriales y formas diferenciales , empujes hacia delante y hacia atrás , variedades simplécticas , funciones de energía hamiltonianas , la representación de simetrías físicas finitas e infinitesimales utilizando grupos de Lie y álgebras de Lie , y el uso del mapa de momentos para relacionar simetrías con cantidades conservadas . [1] [2] [3] En estos temas, también, los ejemplos concretos son fundamentales para la presentación. [4]
El libro está escrito como un libro de texto para estudiantes de matemáticas y física de pregrado, con muchos ejercicios, y asume que los estudiantes ya están familiarizados con el cálculo multivariable y el álgebra lineal , [1] un nivel significativamente más bajo de material de fondo que otros libros sobre geometría simpléctica en mecánica. [5] No es exhaustivo en su cobertura de geometría simpléctica y mecánica, pero podría usarse como lectura auxiliar en una clase que cubra ese material de otras fuentes, [6] como Fundamentos de mecánica de Abraham y Marsden o Métodos matemáticos de mecánica clásica de Arnold . Alternativamente, por sí solo, puede proporcionar un primer curso más accesible en este material, antes de presentarlo de manera más completa en otro curso. [1] [2] [4]
El crítico William Satzer escribe que este libro "hace serios esfuerzos para abordar a estudiantes reales y sus dificultades potenciales" y cambia cómodamente entre puntos de vista matemáticos y físicos de su problema. [1] De manera similar, el crítico JR Dorfman escribe que "elimina algunas de las barreras del lenguaje que dividen los mundos de las matemáticas y la física", [3] y el crítico Jiří Vanžura lo llama "notable" en su doble capacidad para motivar métodos matemáticos para estudiantes de física y proporcionar aplicaciones en física para estudiantes de matemáticas, agregando que "El libro está perfectamente escrito y cumple muy bien su propósito". [7] El crítico Ivailo Mladenov nota con aprobación la atención del libro a la exposición de ejemplos primero, y a pesar de señalar una inexactitud menor con respecto a la nacionalidad de Sophus Lie , lo recomienda tanto a estudiantes de pregrado como de posgrado. [6] El crítico Richard Montgomory escribe que el libro hace "un excelente trabajo al llevar al lector desde el problema de Kepler a una visión del creciente campo de la geometría simpléctica". [5]