Teorema de Noether

Enunciado que relaciona las simetrías diferenciables con las cantidades conservadas

Primera página del artículo de Emmy Noether "Invariante Variationsprobleme" (1918), donde demostró su teorema

El teorema de Noether establece que toda simetría continua de la acción de un sistema físico con fuerzas conservativas tiene una ley de conservación correspondiente . Este es el primero de dos teoremas (ver Segundo teorema de Noether ) publicados por la matemática Emmy Noether en 1918. ^[1] La acción de un sistema físico es la integral en el tiempo de una función lagrangiana , a partir de la cual se puede determinar el comportamiento del sistema mediante el principio de mínima acción . Este teorema solo se aplica a simetrías continuas y suaves del espacio físico .

El teorema de Noether se utiliza en física teórica y en el cálculo de variaciones . Revela la relación fundamental entre las simetrías de un sistema físico y las leyes de conservación. También hizo que los físicos teóricos modernos se centraran mucho más en las simetrías de los sistemas físicos. Se trata de una generalización de las formulaciones sobre las constantes de movimiento en la mecánica lagrangiana y hamiltoniana (desarrolladas en 1788 y 1833, respectivamente), pero no se aplica a sistemas que no se pueden modelar solo con una función lagrangiana (por ejemplo, sistemas con una función de disipación de Rayleigh ). En particular, los sistemas disipativos con simetrías continuas no necesitan tener una ley de conservación correspondiente. ^{[ cita requerida ]}

Ilustraciones básicas y antecedentes

A modo de ilustración, si un sistema físico se comporta de la misma manera independientemente de cómo esté orientado en el espacio (es decir, es invariante ), su lagrangiano es simétrico bajo rotación continua: a partir de esta simetría, el teorema de Noether dicta que el momento angular del sistema se conserva, como consecuencia de sus leyes de movimiento. ^{[2] : 126} El sistema físico en sí no necesita ser simétrico; un asteroide irregular que gira en el espacio conserva el momento angular a pesar de su asimetría. Son las leyes de su movimiento las que son simétricas.

Como otro ejemplo, si un proceso físico exhibe los mismos resultados independientemente del lugar o el tiempo, entonces su Lagrangiano es simétrico bajo traslaciones continuas en el espacio y el tiempo respectivamente: por el teorema de Noether, estas simetrías explican las leyes de conservación del momento lineal y la energía dentro de este sistema, respectivamente. ^{[3] : 23  [4] : 261}

El teorema de Noether es importante, tanto por la visión que proporciona sobre las leyes de conservación, como también como una herramienta práctica de cálculo. Permite a los investigadores determinar las cantidades conservadas (invariantes) a partir de las simetrías observadas de un sistema físico. A la inversa, permite a los investigadores considerar clases enteras de lagrangianos hipotéticos con invariantes dados, para describir un sistema físico. ^{[2] : 127} A modo de ilustración, supongamos que se propone una teoría física que conserva una cantidad X . Un investigador puede calcular los tipos de lagrangianos que conservan X a través de una simetría continua. Debido al teorema de Noether, las propiedades de estos lagrangianos proporcionan criterios adicionales para comprender las implicaciones y juzgar la idoneidad de la nueva teoría.

Existen numerosas versiones del teorema de Noether, con distintos grados de generalidad. Existen contrapartes cuánticas naturales de este teorema, expresadas en las identidades de Ward-Takahashi . También existen generalizaciones del teorema de Noether a los superespacios . ^[5]

Enunciado informal del teorema

Dejando de lado todos los aspectos técnicos, el teorema de Noether se puede enunciar informalmente:

Si un sistema tiene una propiedad de simetría continua, entonces existen cantidades correspondientes cuyos valores se conservan en el tiempo. ^[6]

Una versión más sofisticada del teorema que involucra campos establece que:

A toda simetría continua generada por acciones locales corresponde una corriente conservada y viceversa.

La palabra "simetría" en la afirmación anterior se refiere más precisamente a la covarianza de la forma que adopta una ley física con respecto a un grupo de transformaciones de Lie unidimensional que satisface ciertos criterios técnicos. La ley de conservación de una cantidad física se expresa habitualmente como una ecuación de continuidad .

La prueba formal del teorema utiliza la condición de invariancia para derivar una expresión para una corriente asociada con una cantidad física conservada. En la terminología moderna, la cantidad conservada se denomina carga de Noether , mientras que el flujo que transporta esa carga se denomina corriente de Noether . La corriente de Noether se define hasta un campo vectorial solenoidal (sin divergencia).

En el contexto de la gravitación, el enunciado de Felix Klein del teorema de Noether para la acción I estipula para los invariantes: ^[7]

Si una integral I es invariante bajo un grupo continuo G _ρ con ρ parámetros, entonces ρ combinaciones linealmente independientes de las expresiones lagrangianas son divergencias.

Breve ilustración y descripción general del concepto

Gráfico que ilustra el teorema de Noether para una simetría por coordenadas

La idea principal detrás del teorema de Noether se ilustra más fácilmente mediante un sistema con una coordenada y una simetría continua (flechas grises en el diagrama). ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \varphi :q\mapsto q+\delta q}$

Consideremos cualquier trayectoria (en negrita en el diagrama) que satisfaga las leyes de movimiento del sistema . Es decir, la acción que gobierna este sistema es estacionaria en esta trayectoria, es decir, no cambia bajo ninguna variación local de la trayectoria. En particular, no cambiaría bajo una variación que aplique el flujo de simetría en un segmento de tiempo [ t ₀ , t ₁ ] y esté inmóvil fuera de ese segmento. Para mantener la trayectoria continua, utilizamos períodos de "amortiguación" de tiempo pequeño para realizar la transición entre los segmentos de forma gradual. ${\displaystyle q(t)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \tau }$

El cambio total en la acción ahora comprende cambios introducidos por cada intervalo en juego. Partes, donde la variación misma se desvanece, es decir, fuera no trae . La parte media tampoco cambia la acción, porque su transformación es una simetría y por lo tanto conserva el Lagrangiano y la acción . Las únicas partes restantes son las piezas de "amortiguación". En estas regiones tanto la coordenada como la velocidad cambian, pero cambian por , y el cambio en la coordenada es insignificante en comparación ya que el lapso de tiempo de la amortiguación es pequeño (llevado al límite de 0), por lo que . Por lo tanto, las regiones contribuyen principalmente a través de su "inclinación" . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle [t_{0},t_{1}]}$ ${\displaystyle \Delta S}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle L}$ ${\textstyle S=\int L}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {\dot {q}}}$ ${\displaystyle {\dot {q}}}$ ${\displaystyle \delta q/\tau }$ ${\displaystyle \delta q}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \delta q/\tau \gg \delta q}$ ${\displaystyle {\dot {q}}\rightarrow {\dot {q}}\pm \delta q/\tau }$

Esto cambia el Lagrangiano por , que se integra a ${\displaystyle \Delta L\approx {\bigl (}\partial L/\partial {\dot {q}}{\bigr )}\Delta {\dot {q}}}$ $${\displaystyle \Delta S=\int \Delta L\approx \int {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\Delta {\dot {q}}\approx \int {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\left(\pm {\frac {\delta q}{\tau }}\right)\approx \ \pm {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\delta q=\pm {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\varphi .}$$

Estos últimos términos, evaluados alrededor de los puntos finales y , deben cancelarse entre sí para que el cambio total en la acción sea cero, como sería de esperar si la trayectoria es una solución. Esto significa que la cantidad se conserva, que es la conclusión del teorema de Noether. Por ejemplo, si las traslaciones puras de por una constante son la simetría, entonces la cantidad conservada se convierte simplemente en , el momento canónico. ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle t_{1}}$ ${\displaystyle \Delta S}$ $${\displaystyle \left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\varphi \right)(t_{0})=\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\varphi \right)(t_{1}),}$$ ${\displaystyle \left(\partial L/\partial {\dot {q}}\right)\varphi }$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \left(\partial L/\partial {\dot {q}}\right)=p}$

Los casos más generales siguen la misma idea:

• Cuando más coordenadas experimentan una transformación de simetría , sus efectos se suman por linealidad hasta formar una cantidad conservada . ${\displaystyle q_{r}}$ ${\displaystyle q_{r}\mapsto q_{r}+\varphi _{r}}$ ${\textstyle \sum _{r}\left(\partial L/\partial {\dot {q}}_{r}\right)\varphi _{r}}$
• Cuando hay transformaciones de tiempo , hacen que los segmentos de "almacenamiento en búfer" contribuyan con los dos términos siguientes : ${\displaystyle t\mapsto t+T}$ ${\displaystyle \Delta S}$

  $${\displaystyle \Delta S\approx \pm \left(TL+\int {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{r}}}\Delta {\dot {q}}_{r}\right)\approx \pm T\left(L-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{r}}}{\dot {q}}_{r}\right),}$$

  El primer término se debe al estiramiento en la dimensión temporal del segmento "de amortiguación" (que cambia el tamaño del dominio de integración), y el segundo se debe a su "inclinación", tal como en el caso ejemplar. Juntos suman un sumando a la cantidad conservada. ${\textstyle T\left(L-\sum _{r}\left(\partial L/\partial {\dot {q}}_{r}\right){\dot {q}}_{r}\right)}$
• Finalmente, cuando en lugar de una trayectoria se consideran campos enteros , el argumento reemplaza ${\displaystyle q(t)}$ ${\displaystyle \psi (q_{r},t)}$
  • el intervalo con una región acotada del dominio -, ${\displaystyle [t_{0},t_{1}]}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle (q_{r},t)}$
  • los puntos finales y con el límite de la región, ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle t_{1}}$ ${\displaystyle \partial U}$
  • y su contribución a se interpreta como un flujo de una corriente conservada , que se construye de manera análoga a la definición anterior de una cantidad conservada. ${\displaystyle \Delta S}$ ${\displaystyle j_{r}}$
  Ahora bien, la contribución nula del "amortiguador" se interpreta como la desaparición del flujo total de la corriente a través de . Ese es el sentido en el que se conserva: la cantidad que "fluye" hacia adentro es la misma que "fluye" hacia afuera. ${\displaystyle \partial U}$ ${\displaystyle \Delta S}$ ${\displaystyle j_{r}}$ ${\displaystyle \partial U}$

Contexto histórico

Una ley de conservación establece que una cantidad X en la descripción matemática de la evolución de un sistema permanece constante a lo largo de su movimiento: es invariante . Matemáticamente, la tasa de cambio de X (su derivada con respecto al tiempo ) es cero.

${\displaystyle {\frac {dX}{dt}}={\dot {X}}=0~.}$

Se dice que estas cantidades se conservan; a menudo se las llama constantes de movimiento (aunque no es necesario que intervenga el movimiento en sí , sino solo la evolución en el tiempo). Por ejemplo, si la energía de un sistema se conserva, su energía es invariante en todo momento, lo que impone una restricción al movimiento del sistema y puede ayudar a resolverlo. Además de los conocimientos que estas constantes de movimiento brindan sobre la naturaleza de un sistema, son una herramienta de cálculo útil; por ejemplo, se puede corregir una solución aproximada encontrando el estado más cercano que satisfaga las leyes de conservación adecuadas.

Las primeras constantes de movimiento descubiertas fueron el momento y la energía cinética , que fueron propuestas en el siglo XVII por René Descartes y Gottfried Leibniz sobre la base de experimentos de colisión , y refinadas por investigadores posteriores. Isaac Newton fue el primero en enunciar la conservación del momento en su forma moderna, y demostró que era una consecuencia de las leyes de movimiento de Newton . Según la relatividad general , las leyes de conservación del momento lineal, la energía y el momento angular solo son exactamente verdaderas globalmente cuando se expresan en términos de la suma del tensor de tensión-energía (tensión-energía no gravitacional) y el pseudotensor de tensión-energía-momento de Landau-Lifshitz (tensión-energía gravitacional). La conservación local del momento lineal y la energía no gravitacionales en un marco de referencia en caída libre se expresa por la desaparición de la divergencia covariante del tensor de tensión-energía . Otra cantidad conservada importante, descubierta en estudios de la mecánica celeste de los cuerpos astronómicos, es el vector de Laplace-Runge-Lenz .

A finales del siglo XVIII y principios del XIX, los físicos desarrollaron métodos más sistemáticos para descubrir invariantes. Un avance importante se produjo en 1788 con el desarrollo de la mecánica de Lagrange , que está relacionada con el principio de mínima acción . En este enfoque, el estado del sistema puede describirse mediante cualquier tipo de coordenadas generalizadas q ; las leyes del movimiento no necesitan expresarse en un sistema de coordenadas cartesianas , como era habitual en la mecánica newtoniana. La acción se define como la integral temporal I de una función conocida como la función de Lagrange  L

${\displaystyle I=\int L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)\,dt~,}$

donde el punto sobre q significa la tasa de cambio de las coordenadas q ,

${\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}={\frac {d\mathbf {q} }{dt}}~.}$

El principio de Hamilton establece que el camino físico q ( t ), el que realmente sigue el sistema, es un camino en el que variaciones infinitesimales en ese camino no provocan cambios en I , al menos hasta el primer orden. Este principio da como resultado las ecuaciones de Euler-Lagrange ,

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}~.}$

Por lo tanto, si una de las coordenadas, digamos q _k , no aparece en el lagrangiano, el lado derecho de la ecuación es cero y el lado izquierdo requiere que

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}\right)={\frac {dp_{k}}{dt}}=0~,}$

donde el impulso

${\displaystyle p_{k}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}}$

se conserva a lo largo del movimiento (en la trayectoria física).

Por lo tanto, la ausencia de la coordenada ignorable q _k del lagrangiano implica que el lagrangiano no se ve afectado por cambios o transformaciones de q _k ; el lagrangiano es invariante y se dice que exhibe una simetría bajo tales transformaciones. Esta es la idea semilla generalizada en el teorema de Noether.

En el siglo XIX se desarrollaron varios métodos alternativos para hallar cantidades conservadas, especialmente por William Rowan Hamilton . Por ejemplo, desarrolló una teoría de transformaciones canónicas que permitía cambiar las coordenadas de modo que algunas desaparecieran del lagrangiano, como se indicó anteriormente, lo que daba como resultado momentos canónicos conservados. Otro enfoque, y quizás el más eficiente para hallar cantidades conservadas, es la ecuación de Hamilton-Jacobi .

El trabajo de Emmy Noether sobre el teorema de invariancia comenzó en 1915 cuando estaba ayudando a Felix Klein y David Hilbert con su trabajo relacionado con la teoría de la relatividad general de Albert Einstein ^{[8] : 31} En marzo de 1918 tenía la mayoría de las ideas clave para el artículo que se publicaría más tarde ese año. ^{[9] : 81}

Expresión matemática

Forma simple usando perturbaciones

La esencia del teorema de Noether es generalizar la noción de coordenadas ignorables.

Se puede suponer que el lagrangiano L definido anteriormente es invariante ante pequeñas perturbaciones (deformaciones) de la variable temporal t y las coordenadas generalizadas q . Se puede escribir

${\displaystyle {\begin{aligned}t&\rightarrow t^{\prime }=t+\delta t\\\mathbf {q} &\rightarrow \mathbf {q} ^{\prime }=\mathbf {q} +\delta \mathbf {q} ~,\end{aligned}}}$

donde las perturbaciones δt y δ q son pequeñas, pero variables. Para generalizar, supongamos que existen (por ejemplo) N transformaciones de simetría de la acción, es decir, transformaciones que dejan la acción sin cambios; etiquetadas por un índice r  = 1, 2, 3, ...,  N .

Luego, la perturbación resultante puede escribirse como una suma lineal de los tipos individuales de perturbaciones,

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta t&=\sum _{r}\varepsilon _{r}T_{r}\\\delta \mathbf {q} &=\sum _{r}\varepsilon _{r}\mathbf {Q} _{r}~,\end{aligned}}}$

donde ε _r son coeficientes de parámetros infinitesimales correspondientes a cada uno:

• generador T _r de evolución temporal , y
• generador Q _r de las coordenadas generalizadas.

Para las traslaciones, Q _r es una constante con unidades de longitud ; para las rotaciones, es una expresión lineal en los componentes de q , y los parámetros forman un ángulo .

Utilizando estas definiciones, Noether demostró que las N cantidades

${\displaystyle \left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}-L\right)T_{r}-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\cdot \mathbf {Q} _{r}}$

se conservan ( constantes de movimiento ).

Ejemplos

I. Invariancia temporal

A modo de ejemplo, consideremos un lagrangiano que no depende del tiempo, es decir, que es invariante (simétrico) ante cambios t → t + δ t , sin ningún cambio en las coordenadas q . En este caso, N  = 1, T  = 1 y Q  = 0; la cantidad conservada correspondiente es la energía total H ^{[10] : 401}

${\displaystyle H={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}-L.}$

II. Invariancia traslacional

Consideremos un lagrangiano que no depende de una coordenada ("ignorable", como se indicó anteriormente) q _k ; por lo tanto, es invariante (simétrico) ante cambios q _k → q _k + δq _k . En ese caso, N  = 1, T  = 0 y Q _k = 1; la cantidad conservada es el momento  lineal correspondiente p _k ^{[10] : 403–404}

${\displaystyle p_{k}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{k}}}}}.}$

En relatividad especial y general , estas dos leyes de conservación se pueden expresar globalmente (como se hace arriba) o localmente como una ecuación de continuidad. Las versiones globales se pueden unir en una única ley de conservación global: la conservación del 4-vector de energía-momento. Las versiones locales de la conservación de la energía y el momento (en cualquier punto del espacio-tiempo) también se pueden unir en la conservación de una cantidad definida localmente en el punto del espacio-tiempo: el tensor de tensión-energía ^{[11] : 592} (esto se derivará en la siguiente sección).

III. Invariancia rotacional

La conservación del momento angular L = r × p es análoga a su contraparte del momento lineal. ^{[10] : 404–405} Se supone que la simetría del lagrangiano es rotacional, es decir, que el lagrangiano no depende de la orientación absoluta del sistema físico en el espacio. Para ser más concretos, supongamos que el lagrangiano no cambia bajo pequeñas rotaciones de un ángulo δθ alrededor de un eje n ; tal rotación transforma las coordenadas cartesianas mediante la ecuación

${\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} +\delta \theta \,\mathbf {n} \times \mathbf {r} .}$

Como el tiempo no se transforma, T = 0 y N = 1. Tomando δθ como el parámetro ε y las coordenadas cartesianas r como las coordenadas generalizadas q , las variables Q correspondientes se dan por

${\displaystyle \mathbf {Q} =\mathbf {n} \times \mathbf {r} .}$

Entonces el teorema de Noether establece que se conserva la siguiente cantidad:

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\cdot \mathbf {Q} =\mathbf {p} \cdot \left(\mathbf {n} \times \mathbf {r} \right)=\mathbf {n} \cdot \left(\mathbf {r} \times \mathbf {p} \right)=\mathbf {n} \cdot \mathbf {L} .}$

En otras palabras, se conserva el componente del momento angular L a lo largo del eje n . Y si n es arbitrario, es decir, si el sistema es insensible a cualquier rotación, entonces se conserva cada componente de L ; en resumen, se conserva el momento angular .

Versión de teoría de campos

Aunque útil por sí misma, la versión del teorema de Noether que acabamos de dar es un caso especial de la versión general derivada en 1915. Para dar una idea del teorema general, se ofrece ahora una versión del teorema de Noether para campos continuos en el espacio-tiempo de cuatro dimensiones . Dado que los problemas de teoría de campos son más comunes en la física moderna que los problemas de mecánica , esta versión de teoría de campos es la versión más utilizada (o la que se implementa con más frecuencia) del teorema de Noether.

Sea un conjunto de campos diferenciables definidos en todo el espacio y tiempo; por ejemplo, la temperatura sería representativa de dicho campo, al ser un número definido en todo lugar y tiempo. El principio de mínima acción se puede aplicar a tales campos, pero la acción es ahora una integral en el espacio y el tiempo. ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle T(\mathbf {x} ,t)}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int {\mathcal {L}}\left(\varphi ,\partial _{\mu }\varphi ,x^{\mu }\right)\,d^{4}x}$

(el teorema se puede generalizar aún más al caso en que el lagrangiano depende de hasta la derivada n- ^ésima , y ​​también se puede formular utilizando haces de chorros ).

Una transformación continua de los campos se puede escribir infinitesimalmente como ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \varphi \mapsto \varphi +\varepsilon \Psi ,}$

donde es en general una función que puede depender tanto de como de . La condición para generar una simetría física es que la acción se deje invariante. Esto será cierto si la densidad lagrangiana se deja invariante, pero también será cierto si la lagrangiana cambia por una divergencia, ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle x^{\mu }}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}\mapsto {\mathcal {L}}+\varepsilon \partial _{\mu }\Lambda ^{\mu },}$

ya que la integral de una divergencia se convierte en un término límite según el teorema de divergencia . Un sistema descrito por una acción dada podría tener múltiples simetrías independientes de este tipo, indexadas por por lo que la transformación de simetría más general se escribiría como ${\displaystyle r=1,2,\ldots ,N,}$

${\displaystyle \varphi \mapsto \varphi +\varepsilon _{r}\Psi _{r},}$

con la consecuencia

${\displaystyle {\mathcal {L}}\mapsto {\mathcal {L}}+\varepsilon _{r}\partial _{\mu }\Lambda _{r}^{\mu }.}$

Para tales sistemas, el teorema de Noether establece que existen densidades de corriente conservadas . ${\displaystyle N}$

${\displaystyle j_{r}^{\nu }=\Lambda _{r}^{\nu }-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi _{,\nu }}}\cdot \Psi _{r}}$

(donde se entiende que el producto escalar contrae los índices del campo , no el índice o índice). ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle r}$

En tales casos, la ley de conservación se expresa de forma cuatridimensional.

${\displaystyle \partial _{\nu }j^{\nu }=0,}$

que expresa la idea de que la cantidad de una cantidad conservada dentro de una esfera no puede cambiar a menos que una parte de ella fluya fuera de la esfera. Por ejemplo, la carga eléctrica se conserva; la cantidad de carga dentro de una esfera no puede cambiar a menos que una parte de la carga salga de la esfera.

A modo de ilustración, considere un sistema físico de campos que se comporta de la misma manera bajo traslaciones en el tiempo y el espacio, como se consideró anteriormente; en otras palabras, es constante en su tercer argumento. En ese caso, N  = 4, uno para cada dimensión del espacio y el tiempo. Una traslación infinitesimal en el espacio, (con denotando el delta de Kronecker ), afecta a los campos como : es decir, reetiquetar las coordenadas es equivalente a dejar las coordenadas en su lugar mientras se traslada el campo mismo, lo que a su vez es equivalente a transformar el campo reemplazando su valor en cada punto con el valor en el punto "detrás" de él que sería mapeado por el desplazamiento infinitesimal en consideración. Dado que esto es infinitesimal, podemos escribir esta transformación como ${\displaystyle L\left({\boldsymbol {\varphi }},\partial _{\mu }{\boldsymbol {\varphi }},x^{\mu }\right)}$ ${\displaystyle x^{\mu }\mapsto x^{\mu }+\varepsilon _{r}\delta _{r}^{\mu }}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \varphi (x^{\mu })\mapsto \varphi \left(x^{\mu }-\varepsilon _{r}\delta _{r}^{\mu }\right)}$ ${\displaystyle x^{\mu }}$ ${\displaystyle x^{\mu }-\varepsilon X^{\mu }}$ ${\displaystyle x^{\mu }}$

${\displaystyle \Psi _{r}=-\delta _{r}^{\mu }\partial _{\mu }\varphi .}$

La densidad lagrangiana se transforma de la misma manera, , por lo que ${\displaystyle {\mathcal {L}}\left(x^{\mu }\right)\mapsto {\mathcal {L}}\left(x^{\mu }-\varepsilon _{r}\delta _{r}^{\mu }\right)}$

${\displaystyle \Lambda _{r}^{\mu }=-\delta _{r}^{\mu }{\mathcal {L}}}$

y por lo tanto el teorema de Noether corresponde ^{[11] : 592} a la ley de conservación para el tensor de tensión-energía T _μ ^ν , donde hemos usado en lugar de . Es decir, al usar la expresión dada anteriormente, y reunir las cuatro corrientes conservadas (una para cada ) en un tensor , el teorema de Noether da ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle T_{\mu }{}^{\nu }=-\delta _{\mu }^{\nu }{\mathcal {L}}+\delta _{\mu }^{\sigma }\partial _{\sigma }\varphi {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi _{,\nu }}}=\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi _{,\nu }}}\right)\cdot \varphi _{,\mu }-\delta _{\mu }^{\nu }{\mathcal {L}}}$

con

${\displaystyle T_{\mu }{}^{\nu }{}_{,\nu }=0}$

(lo reetiquetamos como un paso intermedio para evitar conflictos). (Sin embargo, lo obtenido de esta manera puede diferir del tensor simétrico utilizado como término fuente en la relatividad general; consulte Tensor de tensión-energía canónico ). ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle T}$

La conservación de la carga eléctrica , por el contrario, se puede derivar considerando Ψ lineal en los campos φ en lugar de en las derivadas. ^{[11] : 593–594} En mecánica cuántica , la amplitud de probabilidad ψ ( x ) de encontrar una partícula en un punto x es un campo complejo φ , porque atribuye un número complejo a cada punto en el espacio y el tiempo. La amplitud de probabilidad en sí misma es físicamente inmensurable; solo la probabilidad p = | ψ | ² se puede inferir a partir de un conjunto de mediciones. Por lo tanto, el sistema es invariante bajo transformaciones del campo ψ y su campo conjugado complejo ψ ^* que dejan | ψ | ² sin cambios, como

${\displaystyle \psi \rightarrow e^{i\theta }\psi \ ,\ \psi ^{*}\rightarrow e^{-i\theta }\psi ^{*}~,}$

una rotación compleja. En el límite cuando la fase θ se vuelve infinitesimalmente pequeña, δθ , puede tomarse como el parámetro ε , mientras que Ψ son iguales a iψ y − iψ *, respectivamente. Un ejemplo específico es la ecuación de Klein–Gordon , la versión relativistamente correcta de la ecuación de Schrödinger para partículas sin espín , que tiene la densidad lagrangiana

${\displaystyle L=\partial _{\nu }\psi \partial _{\mu }\psi ^{*}\eta ^{\nu \mu }+m^{2}\psi \psi ^{*}.}$

 En este caso, el teorema de Noether establece que la corriente conservada (∂ ⋅  j = 0) es igual a

${\displaystyle j^{\nu }=i\left({\frac {\partial \psi }{\partial x^{\mu }}}\psi ^{*}-{\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial x^{\mu }}}\psi \right)\eta ^{\nu \mu }~,}$

que, al multiplicarse por la carga de esa especie de partícula, es igual a la densidad de corriente eléctrica debida a ese tipo de partícula. Esta "invariancia de calibre" fue observada por primera vez por Hermann Weyl y es una de las simetrías de calibre prototípicas de la física.

Derivaciones

Una variable independiente

Consideremos el caso más simple, un sistema con una variable independiente, el tiempo. Supongamos que las variables dependientes q son tales que la integral de acción

$${\displaystyle I=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L[\mathbf {q} [t],{\dot {\mathbf {q} }}[t],t]\,dt}$$

es invariante ante variaciones infinitesimales breves en las variables dependientes. En otras palabras, satisfacen las ecuaciones de Euler-Lagrange

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}[t]={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}[t].}$

Y supongamos que la integral es invariante bajo una simetría continua. Matemáticamente, dicha simetría se representa como un flujo , φ , que actúa sobre las variables de la siguiente manera

${\displaystyle {\begin{aligned}t&\rightarrow t'=t+\varepsilon T\\\mathbf {q} [t]&\rightarrow \mathbf {q} '[t']=\varphi [\mathbf {q} [t],\varepsilon ]=\varphi [\mathbf {q} [t'-\varepsilon T],\varepsilon ]\end{aligned}}}$

donde ε es una variable real que indica la cantidad de flujo, y T es una constante real (que podría ser cero) que indica cuánto se desplaza el flujo en el tiempo.

${\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}[t]\rightarrow {\dot {\mathbf {q} }}'[t']={\frac {d}{dt}}\varphi [\mathbf {q} [t],\varepsilon ]={\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}[\mathbf {q} [t'-\varepsilon T],\varepsilon ]{\dot {\mathbf {q} }}[t'-\varepsilon T].}$

La acción integral fluye hacia

${\displaystyle {\begin{aligned}I'[\varepsilon ]&=\int _{t_{1}+\varepsilon T}^{t_{2}+\varepsilon T}L[\mathbf {q} '[t'],{\dot {\mathbf {q} }}'[t'],t']\,dt'\\[6pt]&=\int _{t_{1}+\varepsilon T}^{t_{2}+\varepsilon T}L[\varphi [\mathbf {q} [t'-\varepsilon T],\varepsilon ],{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}[\mathbf {q} [t'-\varepsilon T],\varepsilon ]{\dot {\mathbf {q} }}[t'-\varepsilon T],t']\,dt'\end{aligned}}}$

que puede considerarse como una función de ε . Calculando la derivada en ε = 0 y utilizando la regla de Leibniz , obtenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}0={\frac {dI'}{d\varepsilon }}[0]={}&L[\mathbf {q} [t_{2}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}],t_{2}]T-L[\mathbf {q} [t_{1}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{1}],t_{1}]T\\[6pt]&{}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}\left(-{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}T+{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}\right)+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\left(-{\frac {\partial ^{2}\varphi }{(\partial \mathbf {q} )^{2}}}{\dot {\mathbf {q} }}^{2}T+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \varepsilon \partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}-{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\ddot {\mathbf {q} }}T\right)\,dt.\end{aligned}}}$

Nótese que las ecuaciones de Euler-Lagrange implican

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}T\right)&=\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right){\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}\right){\dot {\mathbf {q} }}T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\ddot {\mathbf {q} }}\,T\\[6pt]&={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\left({\frac {\partial ^{2}\varphi }{(\partial \mathbf {q} )^{2}}}{\dot {\mathbf {q} }}\right){\dot {\mathbf {q} }}T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\ddot {\mathbf {q} }}\,T.\end{aligned}}}$

Sustituyendo esto en la ecuación anterior, se obtiene

${\displaystyle {\begin{aligned}0={\frac {dI'}{d\varepsilon }}[0]={}&L[\mathbf {q} [t_{2}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}],t_{2}]T-L[\mathbf {q} [t_{1}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{1}],t_{1}]T-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}]T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}[t_{1}]T\\[6pt]&{}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \varepsilon \partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}\,dt.\end{aligned}}}$

Nuevamente usando las ecuaciones de Euler-Lagrange obtenemos

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}\right)=\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right){\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \varepsilon \partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \varepsilon \partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}.}$

Sustituyendo esto en la ecuación anterior, se obtiene

${\displaystyle {\begin{aligned}0={}&L[\mathbf {q} [t_{2}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}],t_{2}]T-L[\mathbf {q} [t_{1}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{1}],t_{1}]T-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}]T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}[t_{1}]T\\[6pt]&{}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}[t_{2}]-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}[t_{1}].\end{aligned}}}$

De donde se puede ver que

${\displaystyle \left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}-L\right)T-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}}$

es una constante del movimiento, es decir, es una cantidad conservada. Como φ[ q , 0] = q , obtenemos y por lo tanto la cantidad conservada se simplifica a ${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}=1}$

${\displaystyle \left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\dot {\mathbf {q} }}-L\right)T-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}.}$

Para evitar una excesiva complicación de las fórmulas, en esta derivación se supone que el caudal no cambia con el paso del tiempo. El mismo resultado se puede obtener en el caso más general.

Derivación de la teoría de campos

El teorema de Noether también puede derivarse para campos tensoriales donde el índice A varía sobre los diversos componentes de los diversos campos tensoriales. Estas cantidades de campo son funciones definidas sobre un espacio de cuatro dimensiones cuyos puntos están etiquetados por coordenadas x ^μ donde el índice μ varía sobre el tiempo ( μ  = 0) y tres dimensiones espaciales ( μ  = 1, 2, 3). Estas cuatro coordenadas son las variables independientes; y los valores de los campos en cada evento son las variables dependientes. Bajo una transformación infinitesimal, la variación en las coordenadas se escribe ${\displaystyle \varphi ^{A}}$

${\displaystyle x^{\mu }\rightarrow \xi ^{\mu }=x^{\mu }+\delta x^{\mu }}$

mientras que la transformación de las variables de campo se expresa como

${\displaystyle \varphi ^{A}\rightarrow \alpha ^{A}\left(\xi ^{\mu }\right)=\varphi ^{A}\left(x^{\mu }\right)+\delta \varphi ^{A}\left(x^{\mu }\right)\,.}$

Según esta definición, las variaciones de campo resultan de dos factores: cambios intrínsecos en el propio campo y cambios en las coordenadas, ya que el campo transformado α ^A depende de las coordenadas transformadas ξ ^​​μ . Para aislar los cambios intrínsecos, la variación de campo en un único punto x ^μ puede definirse ${\displaystyle \delta \varphi ^{A}}$

${\displaystyle \alpha ^{A}\left(x^{\mu }\right)=\varphi ^{A}\left(x^{\mu }\right)+{\bar {\delta }}\varphi ^{A}\left(x^{\mu }\right)\,.}$

Si se cambian las coordenadas, también cambia el límite de la región del espacio-tiempo sobre la que se está integrando el lagrangiano; el límite original y su versión transformada se denotan como Ω y Ω', respectivamente.

El teorema de Noether comienza con el supuesto de que una transformación específica de las coordenadas y las variables de campo no cambia la acción , que se define como la integral de la densidad lagrangiana sobre la región dada del espacio-tiempo. Expresada matemáticamente, esta suposición puede escribirse como

${\displaystyle \int _{\Omega ^{\prime }}L\left(\alpha ^{A},{\alpha ^{A}}_{,\nu },\xi ^{\mu }\right)d^{4}\xi -\int _{\Omega }L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)d^{4}x=0}$

donde el subíndice de coma indica una derivada parcial con respecto a la(s) coordenada(s) que sigue(n) a la coma, p. ej.

${\displaystyle {\varphi ^{A}}_{,\sigma }={\frac {\partial \varphi ^{A}}{\partial x^{\sigma }}}\,.}$

Dado que ξ es una variable ficticia de integración, y dado que el cambio en el límite Ω es infinitesimal por suposición, las dos integrales se pueden combinar utilizando la versión de cuatro dimensiones del teorema de divergencia en la siguiente forma

${\displaystyle \int _{\Omega }\left\{\left[L\left(\alpha ^{A},{\alpha ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)-L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\right]+{\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left[L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\delta x^{\sigma }\right]\right\}d^{4}x=0\,.}$

La diferencia en Lagrangianos se puede escribir en primer orden en las variaciones infinitesimales como

${\displaystyle \left[L\left(\alpha ^{A},{\alpha ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)-L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\right]={\frac {\partial L}{\partial \varphi ^{A}}}{\bar {\delta }}\varphi ^{A}+{\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}{\varphi ^{A}}_{,\sigma }\,.}$

Sin embargo, debido a que las variaciones se definen en el mismo punto como se describió anteriormente, la variación y la derivada se pueden realizar en orden inverso; conmutan

${\displaystyle {\bar {\delta }}{\varphi ^{A}}_{,\sigma }={\bar {\delta }}{\frac {\partial \varphi ^{A}}{\partial x^{\sigma }}}={\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left({\bar {\delta }}\varphi ^{A}\right)\,.}$

Utilizando las ecuaciones de campo de Euler-Lagrange

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}\right)={\frac {\partial L}{\partial \varphi ^{A}}}}$

La diferencia en Lagrangianos se puede escribir claramente como

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left[L\left(\alpha ^{A},{\alpha ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)-L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\right]\\[4pt]={}&{\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}\right){\bar {\delta }}\varphi ^{A}+{\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}{\varphi ^{A}}_{,\sigma }={\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}\varphi ^{A}\right).\end{aligned}}}$

Por lo tanto, el cambio en la acción se puede escribir como

${\displaystyle \int _{\Omega }{\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left\{{\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}\varphi ^{A}+L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\delta x^{\sigma }\right\}d^{4}x=0\,.}$

Dado que esto es válido para cualquier región Ω, el integrando debe ser cero.

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left\{{\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}\varphi ^{A}+L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\delta x^{\sigma }\right\}=0\,.}$

Para cualquier combinación de las diversas transformaciones de simetría , la perturbación se puede escribir

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta x^{\mu }&=\varepsilon X^{\mu }\\\delta \varphi ^{A}&=\varepsilon \Psi ^{A}={\bar {\delta }}\varphi ^{A}+\varepsilon {\mathcal {L}}_{X}\varphi ^{A}\end{aligned}}}$

donde es la derivada de Lie de en la dirección X ^μ . Cuando es un escalar o , ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\varphi ^{A}}$ ${\displaystyle \varphi ^{A}}$ ${\displaystyle \varphi ^{A}}$ ${\displaystyle {X^{\mu }}_{,\nu }=0}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\varphi ^{A}={\frac {\partial \varphi ^{A}}{\partial x^{\mu }}}X^{\mu }\,.}$

Estas ecuaciones implican que la variación del campo tomada en un punto es igual a

${\displaystyle {\bar {\delta }}\varphi ^{A}=\varepsilon \Psi ^{A}-\varepsilon {\mathcal {L}}_{X}\varphi ^{A}\,.}$

Diferenciando la divergencia anterior con respecto a ε en ε  = 0 y cambiando el signo se obtiene la ley de conservación

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}j^{\sigma }=0}$

donde la corriente conservada es igual

${\displaystyle j^{\sigma }=\left[{\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\mathcal {L}}_{X}\varphi ^{A}-L\,X^{\sigma }\right]-\left({\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}\right)\Psi ^{A}\,.}$

Derivación de haces de fibras/colectores

Supongamos que tenemos una variedad riemanniana orientada n -dimensional , M y una variedad objetivo T . Sea el espacio de configuración de funciones suaves de M a T . (De manera más general, podemos tener secciones suaves de un haz de fibras sobre M ). ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Ejemplos de esta M en física incluyen:

• En la mecánica clásica , en la formulación hamiltoniana , M es la variedad unidimensional , que representa el tiempo y el espacio objetivo es el fibrado cotangente del espacio de posiciones generalizadas. ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• En teoría de campos , M es la variedad espaciotemporal y el espacio objetivo es el conjunto de valores que pueden tomar los campos en cualquier punto dado. Por ejemplo, si hay m campos escalares de valores reales , , entonces la variedad objetivo es . Si el campo es un campo vectorial real, entonces la variedad objetivo es isomorfa a . ${\displaystyle \varphi _{1},\ldots ,\varphi _{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Ahora supongamos que hay una función

${\displaystyle {\mathcal {S}}:{\mathcal {C}}\rightarrow \mathbb {R} ,}$

llamada la acción . (Toma valores en , en lugar de ; esto es por razones físicas y no es importante para esta prueba). ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Para llegar a la versión habitual del teorema de Noether, necesitamos restricciones adicionales sobre la acción . Suponemos que es la integral sobre M de una función ${\displaystyle {\mathcal {S}}[\varphi ]}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi ,\partial _{\mu }\varphi ,x)}$

llamada densidad lagrangiana , que depende de , su derivada y la posición. En otras palabras, para en ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}[\varphi ]\,=\,\int _{M}{\mathcal {L}}[\varphi (x),\partial _{\mu }\varphi (x),x]\,d^{n}x.}$

Supongamos que se nos dan condiciones de contorno , es decir, una especificación del valor de en el contorno si M es compacto , o algún límite de cuando x tiende a ∞. Entonces, el subespacio de consiste en funciones tales que todas las derivadas funcionales de en son cero, es decir: ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {S}}[\varphi ]}{\delta \varphi (x)}}\approx 0}$

y que satisface las condiciones de contorno dadas, es el subespacio de soluciones en capas . (Ver principio de acción estacionaria ) ${\displaystyle \varphi }$

Ahora, supongamos que tenemos una transformación infinitesimal en , generada por una derivación funcional , Q tal que ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle Q\left[\int _{N}{\mathcal {L}}\,\mathrm {d} ^{n}x\right]\approx \int _{\partial N}f^{\mu }[\varphi (x),\partial \varphi ,\partial \partial \varphi ,\ldots ]\,ds_{\mu }}$

para todas las subvariedades compactas N o en otras palabras,

${\displaystyle Q[{\mathcal {L}}(x)]\approx \partial _{\mu }f^{\mu }(x)}$

para todo x , donde establecemos

${\displaystyle {\mathcal {L}}(x)={\mathcal {L}}[\varphi (x),\partial _{\mu }\varphi (x),x].}$

Si esto se cumple en la capa y fuera de la capa , decimos que Q genera una simetría fuera de la capa. Si esto solo se cumple en la capa , decimos que Q genera una simetría en la capa. Luego, decimos que Q es un generador de un grupo de Lie de simetría de un parámetro .

Ahora, para cualquier N , debido al teorema de Euler-Lagrange , en la capa (y solo en la capa), tenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}Q\left[\int _{N}{\mathcal {L}}\,\mathrm {d} ^{n}x\right]&=\int _{N}\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi }}-\partial _{\mu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}\right]Q[\varphi ]\,\mathrm {d} ^{n}x+\int _{\partial N}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}Q[\varphi ]\,\mathrm {d} s_{\mu }\\&\approx \int _{\partial N}f^{\mu }\,\mathrm {d} s_{\mu }.\end{aligned}}}$

Como esto es cierto para cualquier N , tenemos

${\displaystyle \partial _{\mu }\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}Q[\varphi ]-f^{\mu }\right]\approx 0.}$

Pero esta es la ecuación de continuidad para la corriente definida por: ^[12] ${\displaystyle J^{\mu }}$

${\displaystyle J^{\mu }\,=\,{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}Q[\varphi ]-f^{\mu },}$

que se denomina corriente de Noether asociada a la simetría . La ecuación de continuidad nos dice que si integramos esta corriente sobre una porción similar al espacio , obtenemos una cantidad conservada llamada carga de Noether (siempre que, por supuesto, si M no es compacta, las corrientes disminuyan lo suficientemente rápido en el infinito).

Comentarios

El teorema de Noether es un teorema de capas : se basa en el uso de las ecuaciones de movimiento (la trayectoria clásica). Refleja la relación entre las condiciones de contorno y el principio variacional. Suponiendo que no hay términos de contorno en la acción, el teorema de Noether implica que

${\displaystyle \int _{\partial N}J^{\mu }ds_{\mu }\approx 0.}$

Los análogos cuánticos del teorema de Noether que involucran valores esperados (por ejemplo, ) que también exploran cantidades de capas son las identidades de Ward-Takahashi . ${\textstyle \left\langle \int d^{4}x~\partial \cdot {\textbf {J}}\right\rangle =0}$

Generalización a álgebras de Lie

Supongamos que tenemos dos derivaciones de simetría Q ₁ y Q ₂ . Entonces, [ Q ₁ ,  Q ₂ ] también es una derivación de simetría. Veámoslo explícitamente. Digamos y $${\displaystyle Q_{1}[{\mathcal {L}}]\approx \partial _{\mu }f_{1}^{\mu }}$$ $${\displaystyle Q_{2}[{\mathcal {L}}]\approx \partial _{\mu }f_{2}^{\mu }}$$

Entonces, donde f ₁₂  =  Q ₁ [ f ₂ ^μ ] −  Q ₂ [ f ₁ ^μ ]. Por lo tanto, $${\displaystyle [Q_{1},Q_{2}][{\mathcal {L}}]=Q_{1}[Q_{2}[{\mathcal {L}}]]-Q_{2}[Q_{1}[{\mathcal {L}}]]\approx \partial _{\mu }f_{12}^{\mu }}$$ $${\displaystyle j_{12}^{\mu }=\left({\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right)(Q_{1}[Q_{2}[\varphi ]]-Q_{2}[Q_{1}[\varphi ]])-f_{12}^{\mu }.}$$

Esto demuestra que podemos extender el teorema de Noether a álgebras de Lie más grandes de forma natural.

Generalización de la prueba

Esto se aplica a cualquier derivación de simetría local Q que satisfaga QS  ≈ 0, y también a acciones diferenciables funcionales locales más generales, incluyendo aquellas donde el lagrangiano depende de derivadas superiores de los campos. Sea ε cualquier función suave arbitraria de la variedad espacio-temporal (o temporal) tal que el cierre de su soporte sea disjunto del límite. ε  es una función de prueba . Entonces, debido al principio variacional (que no se aplica al límite, por cierto), la distribución de derivación q generada por q [ ε ][Φ( x )] = ε ( x ) Q [Φ( x )] satisface q [ ε ][ S ] ≈ 0 para cada  ε , o más compactamente, q ( x )[ S ] ≈ 0 para todo x que no esté en el límite (pero recuerde que q ( x ) es una abreviatura de una distribución de derivación , no una derivación parametrizada por x en general). Ésta es la generalización del teorema de Noether.

Para ver cómo se relaciona la generalización con la versión dada anteriormente, suponga que la acción es la integral del espacio-tiempo de un lagrangiano que solo depende de y de sus primeras derivadas. Además, suponga ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle Q[{\mathcal {L}}]\approx \partial _{\mu }f^{\mu }}$

Entonces,

${\displaystyle {\begin{aligned}q[\varepsilon ][{\mathcal {S}}]&=\int q[\varepsilon ][{\mathcal {L}}]d^{n}x\\[6pt]&=\int \left\{\left({\frac {\partial }{\partial \varphi }}{\mathcal {L}}\right)\varepsilon Q[\varphi ]+\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right]\partial _{\mu }(\varepsilon Q[\varphi ])\right\}d^{n}x\\[6pt]&=\int \left\{\varepsilon Q[{\mathcal {L}}]+\partial _{\mu }\varepsilon \left[{\frac {\partial }{\partial \left(\partial _{\mu }\varphi \right)}}{\mathcal {L}}\right]Q[\varphi ]\right\}\,d^{n}x\\[6pt]&\approx \int \varepsilon \partial _{\mu }\left\{f^{\mu }-\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right]Q[\varphi ]\right\}\,d^{n}x\end{aligned}}}$

Para todos . ${\displaystyle \varepsilon }$

De manera más general, si el lagrangiano depende de derivadas superiores, entonces

${\displaystyle \partial _{\mu }\left[f^{\mu }-\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right]Q[\varphi ]-2\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\partial _{\nu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right]\partial _{\nu }Q[\varphi ]+\partial _{\nu }\left[\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\partial _{\nu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right]Q[\varphi ]\right]-\,\dotsm \right]\approx 0.}$

Ejemplos

Ejemplo 1: Conservación de la energía

Consideremos el caso específico de una partícula newtoniana de masa m , coordenada x , que se mueve bajo la influencia de un potencial V , coordinado por el tiempo t . La acción , S , es:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {S}}[x]&=\int L\left[x(t),{\dot {x}}(t)\right]\,dt\\&=\int \left({\frac {m}{2}}\sum _{i=1}^{3}{\dot {x}}_{i}^{2}-V(x(t))\right)\,dt.\end{aligned}}}$

El primer término entre paréntesis es la energía cinética de la partícula, mientras que el segundo es su energía potencial . Consideremos el generador de traslaciones temporales Q = d / dt . En otras palabras, . La coordenada x tiene una dependencia explícita del tiempo, mientras que V no la tiene; en consecuencia: ${\displaystyle Q[x(t)]={\dot {x}}(t)}$

${\displaystyle Q[L]={\frac {d}{dt}}\left[{\frac {m}{2}}\sum _{i}{\dot {x}}_{i}^{2}-V(x)\right]=m\sum _{i}{\dot {x}}_{i}{\ddot {x}}_{i}-\sum _{i}{\frac {\partial V(x)}{\partial x_{i}}}{\dot {x}}_{i}}$

para que podamos establecer

${\displaystyle L={\frac {m}{2}}\sum _{i}{\dot {x}}_{i}^{2}-V(x).}$

Entonces,

${\displaystyle {\begin{aligned}j&=\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{i}}}Q[x_{i}]-L\\&=m\sum _{i}{\dot {x}}_{i}^{2}-\left[{\frac {m}{2}}\sum _{i}{\dot {x}}_{i}^{2}-V(x)\right]\\[3pt]&={\frac {m}{2}}\sum _{i}{\dot {x}}_{i}^{2}+V(x).\end{aligned}}}$

El lado derecho es la energía, y el teorema de Noether establece que (es decir, el principio de conservación de la energía es una consecuencia de la invariancia bajo las traslaciones del tiempo). ${\displaystyle dj/dt=0}$

De manera más general, si el lagrangiano no depende explícitamente del tiempo, la cantidad

${\displaystyle \sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{i}}}{\dot {x_{i}}}-L}$

(llamado hamiltoniano ) se conserva.

Ejemplo 2: Conservación del centro de momento

Considerando aún el tiempo unidimensional, sea

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {S}}\left[{\vec {x}}\right]&=\int {\mathcal {L}}\left[{\vec {x}}(t),{\dot {\vec {x}}}(t)\right]dt\\[3pt]&=\int \left[\sum _{\alpha =1}^{N}{\frac {m_{\alpha }}{2}}\left({\dot {\vec {x}}}_{\alpha }\right)^{2}-\sum _{\alpha <\beta }V_{\alpha \beta }\left({\vec {x}}_{\beta }-{\vec {x}}_{\alpha }\right)\right]dt,\end{aligned}}}$

para partículas newtonianas donde el potencial sólo depende en pares del desplazamiento relativo. ${\displaystyle N}$

Para , considérese el generador de transformaciones galileanas (es decir, un cambio en el marco de referencia). En otras palabras, ${\displaystyle {\vec {Q}}}$

${\displaystyle Q_{i}\left[x_{\alpha }^{j}(t)\right]=t\delta _{i}^{j}.}$

Y

${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{i}[{\mathcal {L}}]&=\sum _{\alpha }m_{\alpha }{\dot {x}}_{\alpha }^{i}-\sum _{\alpha <\beta }t\partial _{i}V_{\alpha \beta }\left({\vec {x}}_{\beta }-{\vec {x}}_{\alpha }\right)\\&=\sum _{\alpha }m_{\alpha }{\dot {x}}_{\alpha }^{i}.\end{aligned}}}$

Esto tiene la forma de para que podamos configurarlo ${\textstyle {\frac {d}{dt}}\sum _{\alpha }m_{\alpha }x_{\alpha }^{i}}$

${\displaystyle {\vec {f}}=\sum _{\alpha }m_{\alpha }{\vec {x}}_{\alpha }.}$

Entonces,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {j}}&=\sum _{\alpha }\left({\frac {\partial }{\partial {\dot {\vec {x}}}_{\alpha }}}{\mathcal {L}}\right)\cdot {\vec {Q}}\left[{\vec {x}}_{\alpha }\right]-{\vec {f}}\\[6pt]&=\sum _{\alpha }\left(m_{\alpha }{\dot {\vec {x}}}_{\alpha }t-m_{\alpha }{\vec {x}}_{\alpha }\right)\\[3pt]&={\vec {P}}t-M{\vec {x}}_{CM}\end{aligned}}}$

donde es el momento total, M es la masa total y es el centro de masas. El teorema de Noether establece: ${\displaystyle {\vec {P}}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}_{CM}}$

${\displaystyle {\frac {d{\vec {j}}}{dt}}=0\Rightarrow {\vec {P}}-M{\dot {\vec {x}}}_{CM}=0.}$

Ejemplo 3: Transformación conforme

Los ejemplos 1 y 2 se refieren a una variedad unidimensional (tiempo). Un ejemplo que involucra el espacio-tiempo es una transformación conforme de un campo escalar real sin masa con un potencial cuártico en el espacio-tiempo de Minkowski (3 + 1) .

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {S}}[\varphi ]&=\int {\mathcal {L}}\left[\varphi (x),\partial _{\mu }\varphi (x)\right]d^{4}x\\[3pt]&=\int \left({\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\varphi \partial _{\mu }\varphi -\lambda \varphi ^{4}\right)d^{4}x\end{aligned}}}$

Para Q , considere el generador de un reescalamiento del espacio-tiempo. En otras palabras,

${\displaystyle Q[\varphi (x)]=x^{\mu }\partial _{\mu }\varphi (x)+\varphi (x).}$

El segundo término del lado derecho se debe al "peso conforme" de . Y ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle Q[{\mathcal {L}}]=\partial ^{\mu }\varphi \left(\partial _{\mu }\varphi +x^{\nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }\varphi +\partial _{\mu }\varphi \right)-4\lambda \varphi ^{3}\left(x^{\mu }\partial _{\mu }\varphi +\varphi \right).}$

Esto tiene la forma de

${\displaystyle \partial _{\mu }\left[{\frac {1}{2}}x^{\mu }\partial ^{\nu }\varphi \partial _{\nu }\varphi -\lambda x^{\mu }\varphi ^{4}\right]=\partial _{\mu }\left(x^{\mu }{\mathcal {L}}\right)}$

(donde hemos realizado un cambio de índices ficticios) por lo que establecemos

${\displaystyle f^{\mu }=x^{\mu }{\mathcal {L}}.}$

Entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}j^{\mu }&=\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right]Q[\varphi ]-f^{\mu }\\&=\partial ^{\mu }\varphi \left(x^{\nu }\partial _{\nu }\varphi +\varphi \right)-x^{\mu }\left({\frac {1}{2}}\partial ^{\nu }\varphi \partial _{\nu }\varphi -\lambda \varphi ^{4}\right).\end{aligned}}}$

El teorema de Noether establece que (como se puede comprobar explícitamente sustituyendo las ecuaciones de Euler-Lagrange en el lado izquierdo). ${\displaystyle \partial _{\mu }j^{\mu }=0}$

Si uno intenta encontrar el análogo de Ward-Takahashi de esta ecuación, se topa con un problema debido a anomalías .

Aplicaciones

La aplicación del teorema de Noether permite a los físicos obtener información valiosa sobre cualquier teoría general de la física, simplemente analizando las distintas transformaciones que harían que la forma de las leyes involucradas fuera invariable. Por ejemplo:

• La invariancia de un sistema aislado con respecto a la traslación espacial (en otras palabras, que las leyes de la física son las mismas en todas las ubicaciones del espacio) da como resultado la ley de conservación del momento lineal (que establece que el momento lineal total de un sistema aislado es constante).
• La invariancia de un sistema aislado con respecto a la traslación temporal (es decir, que las leyes de la física son las mismas en todos los puntos del tiempo) da como resultado la ley de conservación de la energía (que establece que la energía total de un sistema aislado es constante).
• La invariancia de un sistema aislado con respecto a la rotación (es decir, que las leyes de la física son las mismas con respecto a todas las orientaciones angulares en el espacio) da la ley de conservación del momento angular (que establece que el momento angular total de un sistema aislado es constante).
• La invariancia de un sistema aislado con respecto a los impulsos de Lorentz (es decir, que las leyes de la física son las mismas con respecto a todos los marcos de referencia inerciales) da lugar al teorema del centro de masa (que establece que el centro de masa de un sistema aislado se mueve a una velocidad constante).

En la teoría cuántica de campos , el análogo del teorema de Noether, la identidad de Ward-Takahashi , produce otras leyes de conservación, como la conservación de la carga eléctrica a partir de la invariancia con respecto a un cambio en el factor de fase del campo complejo de la partícula cargada y el calibre asociado del potencial eléctrico y el potencial vectorial .

La carga de Noether también se utiliza para calcular la entropía de los agujeros negros estacionarios . ^[13]

Véase también

• Portal de matemáticas
• Portal de física

• Derecho de conservación
• Carga (física)
• Simetría de calibre
• Simetría de calibre (matemáticas)
• Invariante (física)
• Bosón de Goldstone
• Simetría (física)

Referencias

1. Noether, E. (1918). "Problema de variaciones invariantes". Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen . Clase matemática-física. 1918 : 235–257.
2. José, Jorge V.; Saletan, Eugene J. (1998). Dinámica clásica: un enfoque contemporáneo. Cambridge [Inglaterra]: Cambridge University Press. ISBN 978-1-139-64890-5.OCLC 857769535  .
3. Hand, Louis N.; Finch, Janet D. (1998). Mecánica analítica. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-57327-0.OCLC 37903527  .
4. Thornton, Stephen T.; Marion, Jerry B. (2004). Dinámica clásica de partículas y sistemas (5.ª ed.). Boston, MA: Brooks/Cole, Cengage Learning. ISBN 978-0-534-40896-1.OCLC 759172774  .
5. De Azcárraga, Ja; Lukierski, J.; Vindel, P. (1 de julio de 1986). "Supercampos y métodos canónicos en el superespacio". Letras de Física Moderna A. 01 (4): 293–302. Código bibliográfico : 1986MPLA....1..293D. doi :10.1142/S0217732386000385. ISSN  0217-7323.
6. Thompson, WJ (1994). Momento angular: una guía ilustrada de simetrías rotacionales para sistemas físicos. Vol. 1. Wiley. p. 5. ISBN 0-471-55264-X.
7. Nina Byers (1998) "El descubrimiento de E. Noether de la profunda conexión entre simetrías y leyes de conservación". En Actas de un simposio sobre el patrimonio de Emmy Noether, celebrado del 2 al 4 de diciembre de 1996 en la Universidad Bar-Ilan, Israel, Apéndice B.
8. Dick, Auguste (1981). Emmy Noether 1882–1935. Boston, MA: Birkhäuser Boston. doi :10.1007/978-1-4684-0535-4. ISBN. 978-1-4684-0537-8.
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10. Lanczos, C. (1970). Los principios variacionales de la mecánica (4.ª ed.). Nueva York: Dover Publications. ISBN 0-486-65067-7.
11. Goldstein, Herbert (1980). Mecánica clásica (2.ª ed.). Reading, MA: Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9.
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Lectura adicional

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• Johnson, Tristan (2016). "Teorema de Noether: simetría y conservación". Tesis de honor . Union College . Consultado el 28 de agosto de 2020 .
• Kosmann-Schwarzbach, Yvette (2010). Los teoremas de Noether: leyes de invariancia y conservación en el siglo XX . Fuentes y estudios en la historia de las matemáticas y las ciencias físicas. Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-87867-6.Copia en línea.
• Moser, Seth (21 de abril de 2020). "Comprensión del teorema de Noether mediante la visualización del lagrangiano". Proyectos finales de física : 1–12 . Consultado el 28 de agosto de 2020 .
• Olver, Peter (1993). Aplicaciones de los grupos de Lie a ecuaciones diferenciales . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 107 (2.ª ed.). Springer-Verlag . ISBN. 0-387-95000-1.
• Sardanashvily, G. (2016). Teoremas de Noether. Aplicaciones en mecánica y teoría de campos . Springer-Verlag . ISBN 978-94-6239-171-0.

Enlaces externos

• Emmy Noether (1918). "Problema de variación invariante" (en alemán).
• Emmy Noether (1971). "Problemas de variación invariante". Teoría del transporte y física estadística . 1 (3). Traducido por Mort Tavel: 186–207. arXiv : physics/0503066 . Código Bibliográfico :1971TTSP....1..186N. doi :10.1080/00411457108231446. S2CID  119019843.(Original en Gott. Nachr. 1918:235–257)
• Byers, Nina (1998). "El descubrimiento de E. Noether de la profunda conexión entre simetrías y leyes de conservación". arXiv : physics/9807044 .
• Baez, John (2002). "El teorema de Noether en pocas palabras". math.ucr.edu . Consultado el 28 de agosto de 2020 .
• Vladimir Cuesta; Merced Montesinos; José David Vergara (2007). "Invariancia de norma del principio de acción para sistemas de norma con estructuras simplécticas no canónicas". Physical Review D . 76 (2): 025025. Bibcode :2007PhRvD..76b5025C. doi :10.1103/PhysRevD.76.025025.
• Hanca, J.; Tulejab, S.; Hancova, M. (2004). "Simetrías y leyes de conservación: consecuencias del teorema de Noether". American Journal of Physics . 72 (4): 428–35. Bibcode :2004AmJPh..72..428H. doi :10.1119/1.1591764.
• Leone, Raphaël (11 de abril de 2018). «Sobre lo maravilloso de los teoremas de Noether, 100 años después, y la reducción de Routh». arXiv : 1804.01714 [physics.hist-ph].
• Teorema de Noether en MathPages.
• Merced Montesinos; Ernesto Flores (2006). "Tensor simétrico de energía-momento en las teorías de Maxwell, Yang–Mills y Proca obtenido utilizando únicamente el teorema de Noether" (PDF) . Revista Mexicana de Física . 52 (1): 29–36. arXiv : hep-th/0602190 . Código Bibliográfico :2006RMxF...52...29M. Archivado desde el original (PDF) el 2016-03-04 . Consultado el 2014-11-12 .
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• Quigg, Chris (9 de julio de 2019). «Coloquio: Un siglo del teorema de Noether». arXiv : 1902.01989 [physics.hist-ph].
• Sardanashvily (2009). "Leyes de conservación de calibre en un contexto general. Superpotencial". Revista Internacional de Métodos Geométricos en Física Moderna . 6 (6): 1047–1056. arXiv : 0906.1732 . Código Bibliográfico :2009arXiv0906.1732S. doi :10.1142/S0219887809003862.