Simetría (física)

Característica de un sistema que se conserva bajo alguna transformación.

Primera zona de Brillouin de la red FCC que muestra etiquetas de simetría

En física , una simetría de un sistema físico es una característica física o matemática del sistema (observada o intrínseca) que se conserva o permanece sin cambios bajo alguna transformación .

Una familia de transformaciones particulares puede ser continua (como la rotación de un círculo) o discreta (por ejemplo, la reflexión de una figura bilateralmente simétrica o la rotación de un polígono regular). Las transformaciones continuas y discretas dan lugar a los tipos correspondientes de simetrías. Las simetrías continuas pueden describirse mediante grupos de Lie, mientras que las simetrías discretas se describen mediante grupos finitos (ver Grupo de simetría ).

Estos dos conceptos, Lie y grupos finitos, son la base de las teorías fundamentales de la física moderna. Las simetrías suelen ser susceptibles de formulaciones matemáticas como representaciones de grupos y, además, pueden explotarse para simplificar muchos problemas.

Podría decirse que el ejemplo más importante de simetría en física es que la velocidad de la luz tiene el mismo valor en todos los marcos de referencia, lo que se describe en la relatividad especial mediante un grupo de transformaciones del espacio-tiempo conocido como grupo de Poincaré . Otro ejemplo importante es la invariancia de la forma de las leyes físicas bajo transformaciones de coordenadas diferenciables arbitrarias, que es una idea importante en la relatividad general .

Como una especie de invariancia

La invariancia se especifica matemáticamente mediante transformaciones que dejan alguna propiedad (por ejemplo, cantidad) sin cambios. Esta idea puede aplicarse a observaciones básicas del mundo real. Por ejemplo, la temperatura puede ser homogénea en toda una habitación. Dado que la temperatura no depende de la posición de un observador dentro de la habitación, decimos que la temperatura es invariante ante un cambio en la posición de un observador dentro de la habitación.

De manera similar, una esfera uniforme girada alrededor de su centro aparecerá exactamente como tenía antes de la rotación. Se dice que la esfera exhibe simetría esférica . Una rotación sobre cualquier eje de la esfera preservará el "aspecto" de la esfera.

Invariancia vigente

Las ideas anteriores conducen a la útil idea de invariancia cuando se analiza la simetría física observada; Esto también se puede aplicar a simetrías en fuerzas.

Por ejemplo, se dice que un campo eléctrico debido a un alambre cargado eléctricamente de longitud infinita exhibe simetría cilíndrica , porque la intensidad del campo eléctrico a una distancia dada r del alambre tendrá la misma magnitud en cada punto de la superficie de un cilindro ( cuyo eje es el alambre) con radio r . Girar el cable alrededor de su propio eje no cambia su posición ni su densidad de carga, por lo que preservará el campo. La intensidad del campo en una posición girada es la misma. Esto no es cierto en general para un sistema arbitrario de cargos.

En la teoría de la mecánica de Newton, dados dos cuerpos, cada uno con masa m , comenzando en el origen y moviéndose a lo largo del eje x en direcciones opuestas, uno con velocidad v ₁ y el otro con velocidad v _{2, la} energía cinética total del sistema ( calculado a partir de un observador en el origen) es1/2m ( v ₁ ² + v ₂ ² ) y permanece igual si se intercambian las velocidades. La energía cinética total se conserva bajo una reflexión en el eje y .

El último ejemplo anterior ilustra otra forma de expresar simetrías, concretamente a través de ecuaciones que describen algún aspecto del sistema físico. El ejemplo anterior muestra que la energía cinética total será la misma si se intercambian v ₁ y v _{2 .}

Locales y globales

Las simetrías pueden clasificarse en términos generales como globales o locales . Una simetría global es aquella que mantiene una propiedad invariante para una transformación que se aplica simultáneamente en todos los puntos del espacio-tiempo , mientras que una simetría local es aquella que mantiene una propiedad invariante cuando se aplica una transformación de simetría posiblemente diferente en cada punto del espacio-tiempo ; específicamente, una transformación de simetría local está parametrizada por las coordenadas espacio-temporales, mientras que una simetría global no. Esto implica que una simetría global es también una simetría local. Las simetrías locales desempeñan un papel importante en la física, ya que forman la base de las teorías de calibre .

Continuo

Los dos ejemplos de simetría rotacional descritos anteriormente (esférico y cilíndrico) son casos de simetría continua . Estos se caracterizan por la invariancia tras un cambio continuo en la geometría del sistema. Por ejemplo, el cable se puede girar en cualquier ángulo alrededor de su eje y la intensidad del campo será la misma en un cilindro determinado. Matemáticamente, las simetrías continuas se describen mediante transformaciones que cambian continuamente en función de su parametrización. Una subclase importante de simetrías continuas en física son las simetrías del espacio-tiempo.

Tiempo espacial

Las simetrías espacio-temporales continuas son simetrías que implican transformaciones del espacio y el tiempo . Estas pueden clasificarse además como simetrías espaciales , que involucran únicamente la geometría espacial asociada con un sistema físico; simetrías temporales , que implican únicamente cambios en el tiempo; o simetrías espacio-temporales , que implican cambios tanto en el espacio como en el tiempo.

• Traducción del tiempo : Un sistema físico puede tener las mismas características durante un cierto intervalo de tiempo Δ t ; esto se expresa matemáticamente como invariancia bajo la transformación t → t + a para cualquierparámetro real t y t + a en el intervalo. Por ejemplo, en la mecánica clásica, una partícula sobre la que actúa únicamente la gravedad tendrá energía potencial gravitacional mgh cuando esté suspendida desde una altura h sobre la superficie de la Tierra. Suponiendo que no haya cambios en la altura de la partícula, esta será la energía potencial gravitacional total de la partícula en todo momento. En otras palabras, al considerar el estado de la partícula en algún momento t ₀ y también en t ₀ + a , se preservará la energía potencial gravitacional total de la partícula.
• Traducción espacial : Estas simetrías espaciales están representadas por transformaciones de la forma r → → r → + a → y describen aquellas situaciones donde una propiedad del sistema no cambia con un cambio continuo de ubicación. Por ejemplo, la temperatura en una habitación puede ser independiente de dónde esté ubicado el termómetro en la habitación.
• Rotación espacial : Estas simetrías espaciales se clasifican en rotaciones propias y rotaciones impropias . Las primeras son sólo las rotaciones "ordinarias"; matemáticamente, se representan mediante matrices cuadradas con determinante unitario . Estos últimos están representados por matrices cuadradas con determinante −1 y consisten en una rotación propia combinada con una reflexión espacial ( inversión ). Por ejemplo, una esfera tiene simetría rotacional adecuada. Otros tipos de rotaciones espaciales se describen en el artículo Simetría de rotación .
• Transformaciones de Poincaré : Son simetrías espacio-temporales que preservan distancias en el espacio-tiempo de Minkowski , es decir, son isometrías del espacio de Minkowski. Se estudian principalmente en relatividad especial . Aquellas isometrías que dejan fijo el origen se denominan transformaciones de Lorentz y dan lugar a la simetría conocida como covarianza de Lorentz .
• Simetrías proyectivas : Son simetrías espacio-temporales que preservan la estructura geodésica del espaciotiempo . Pueden definirse en cualquier variedad suave, pero encuentran muchas aplicaciones en el estudio de soluciones exactas en la relatividad general .
• Transformaciones de inversión : son simetrías espacio-temporales que generalizan las transformaciones de Poincaré para incluir otras transformaciones conformes uno a uno en las coordenadas espacio-temporales. Las longitudes no son invariantes bajo transformaciones de inversión , pero hay una relación cruzada en cuatro puntos que es invariante.

Matemáticamente, las simetrías del espacio-tiempo generalmente se describen mediante campos vectoriales suaves en una variedad suave . Los difeomorfismos locales subyacentes asociados con los campos vectoriales corresponden más directamente a las simetrías físicas, pero los propios campos vectoriales se utilizan con mayor frecuencia al clasificar las simetrías del sistema físico.

Algunos de los campos vectoriales más importantes son los campos vectoriales Killing, que son aquellas simetrías espacio-temporales que preservan la estructura métrica subyacente de una variedad. En términos generales, los campos vectoriales Killing preservan la distancia entre dos puntos cualesquiera de la variedad y, a menudo, reciben el nombre de isometrías .

Discreto

Una simetría discreta es una simetría que describe cambios no continuos en un sistema. Por ejemplo, un cuadrado posee simetría rotacional discreta, ya que sólo las rotaciones de múltiplos de ángulos rectos conservarán la apariencia original del cuadrado. Las simetrías discretas a veces implican algún tipo de "intercambio", y estos intercambios suelen denominarse reflexiones o intercambios .

• Inversión del tiempo : muchas leyes de la física describen fenómenos reales cuando se invierte la dirección del tiempo. Matemáticamente, esto está representado por la transformación,. Por ejemplo, la segunda ley del movimiento de Newton sigue siendo válida si, en la ecuación,se reemplaza por. Esto se puede ilustrar registrando el movimiento de un objeto lanzado verticalmente (despreciando la resistencia del aire) y luego reproduciéndolo. El objeto seguirá la misma trayectoria parabólica a través del aire, ya sea que la grabación se reproduzca normalmente o al revés. Así, la posición es simétrica respecto al instante en que el objeto se encuentra en su máxima altura. ${\displaystyle t\,\rightarrow -t}$ ${\displaystyle F\,=m{\ddot {r}}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle -t}$
• Inversión espacial : Se representan mediante transformaciones de la formae indican una propiedad de invariancia de un sistema cuando las coordenadas se 'invierten'. Dicho de otra manera, se trata de simetrías entre un determinado objeto y su imagen especular . ${\displaystyle {\vec {r}}\,\rightarrow -{\vec {r}}}$
• Reflexión deslizante : Están representadas por una composición de una traslación y una reflexión. Estas simetrías ocurren en algunos cristales y en algunas simetrías planas, conocidas como simetrías de papel tapiz .

C, P y T

El modelo estándar de física de partículas tiene tres casisimetrías naturales relacionadas. Éstos afirman que el universo en el que vivimos debe ser indistinguible de otro en el que se introduce un determinado tipo de cambio.

• Simetría C (simetría de carga), un universo donde cada partícula es reemplazada por su antipartícula
• Simetría P (simetría de paridad), un universo donde todo se refleja a lo largo de los tres ejes físicos. Esto excluye las interacciones débiles como lo demuestra Chien-Shiung Wu .

• Simetría T (simetría de inversión del tiempo), un universo donde se invierte la dirección del tiempo . La simetría T es contraintuitiva (el futuro y el pasado no son simétricos), pero se explica por el hecho de que el modelo estándar describe propiedades locales, no globales como la entropía . Para invertir adecuadamente la dirección del tiempo, habría que situar el Big Bang y el estado de baja entropía resultante en el "futuro". Dado que percibimos que el "pasado" ("futuro") tiene una entropía menor (mayor) que el presente, los habitantes de este universo hipotético invertido en el tiempo percibirían el futuro de la misma manera que nosotros percibimos el pasado, y viceversa.

Estas simetrías son casi simetrías porque cada una está rota en el universo actual. Sin embargo, el Modelo Estándar predice que la combinación de las tres (es decir, la aplicación simultánea de las tres transformaciones) debe ser una simetría, llamada simetría CPT . La violación CP , la violación de la combinación de simetría C y P, es necesaria para la presencia de cantidades significativas de materia bariónica en el universo. La violación de CP es un área fructífera de la investigación actual en física de partículas .

Supersimetría

Se ha utilizado un tipo de simetría conocida como supersimetría para intentar realizar avances teóricos en el Modelo Estándar. La supersimetría se basa en la idea de que existe otra simetría física más allá de las ya desarrolladas en el Modelo Estándar, concretamente una simetría entre bosones y fermiones . La supersimetría afirma que cada tipo de bosón tiene, como compañero supersimétrico, un fermión, llamado supercompañero, y viceversa. La supersimetría aún no se ha verificado experimentalmente: ninguna partícula conocida tiene las propiedades correctas para ser supercompañera de otra partícula conocida. Actualmente el LHC se está preparando para una prueba que pondrá a prueba la supersimetría.

Simetrías generalizadas

Las simetrías generalizadas abarcan una serie de generalizaciones recientemente reconocidas del concepto de simetría global. Estos incluyen simetrías de formas superiores, simetrías de grupos superiores, simetrías no reversibles y simetrías de subsistemas. ^[1]

Matemáticas de la simetría física.

Las transformaciones que describen simetrías físicas suelen formar un grupo matemático . La teoría de grupos es un área importante de las matemáticas para los físicos.

Las simetrías continuas se especifican matemáticamente mediante grupos continuos (llamados grupos de Lie ). Muchas simetrías físicas son isometrías y están especificadas por grupos de simetría. A veces, este término se utiliza para tipos de simetrías más generales. El conjunto de todas las rotaciones propias (sobre cualquier ángulo) a través de cualquier eje de una esfera forma un grupo de Lie llamado grupo ortogonal especial SO(3). (El '3' se refiere al espacio tridimensional de una esfera ordinaria). Por tanto, el grupo de simetría de la esfera con rotaciones adecuadas es SO(3). Cualquier rotación preserva las distancias en la superficie de la pelota. El conjunto de todas las transformaciones de Lorentz forma un grupo llamado grupo de Lorentz (esto puede generalizarse al grupo de Poincaré ).

Los grupos discretos describen simetrías discretas. Por ejemplo, las simetrías de un triángulo equilátero se caracterizan por el grupo simétrico S ₃ .

Un tipo de teoría física basada en simetrías locales se denomina teoría de calibre y las simetrías naturales de dicha teoría se denominan simetrías de calibre . Las simetrías de calibre en el modelo estándar , utilizado para describir tres de las interacciones fundamentales , se basan en el grupo SU(3) × SU(2) × U(1) . (En términos generales, las simetrías del grupo SU(3) describen la fuerza fuerte , el grupo SU(2) describe la interacción débil y el grupo U(1) describe la fuerza electromagnética ).

Además, la reducción por simetría de la energía funcional bajo la acción de un grupo y la ruptura espontánea de la simetría de las transformaciones de grupos simétricos parecen dilucidar temas de la física de partículas (por ejemplo, la unificación del electromagnetismo y la fuerza débil en la cosmología física ).

Leyes de conservación y simetría.

Las propiedades de simetría de un sistema físico están íntimamente relacionadas con las leyes de conservación que caracterizan a ese sistema. El teorema de Noether da una descripción precisa de esta relación. El teorema establece que cada simetría continua de un sistema físico implica que se conserva alguna propiedad física de ese sistema. Por el contrario, cada cantidad conservada tiene una simetría correspondiente. Por ejemplo, la simetría de traslación espacial (es decir, la homogeneidad del espacio) da lugar a la conservación del momento (lineal) , y la simetría de traslación temporal (es decir, la homogeneidad del tiempo) da lugar a la conservación de la energía .

La siguiente tabla resume algunas simetrías fundamentales y la cantidad conservada asociada.

Matemáticas

Las simetrías continuas en física preservan las transformaciones. Se puede especificar una simetría mostrando cómo una transformación muy pequeña afecta a varios campos de partículas . El conmutador de dos de estas transformaciones infinitesimales es equivalente a una tercera transformación infinitesimal del mismo tipo, por lo que forman un álgebra de Lie .

Una transformación de coordenadas general descrita como campo general (también conocida como difeomorfismo ) tiene el efecto infinitesimal en un campo escalar , espinor o vectorial que puede expresarse (usando la convención de suma de Einstein ): ${\displaystyle h(x)}$ ${\displaystyle \phi (x)}$ ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle A(x)}$

${\displaystyle \delta \phi (x)=h^{\mu }(x)\partial _{\mu }\phi (x)}$

${\displaystyle \delta \psi ^{\alpha }(x)=h^{\mu }(x)\partial _{\mu }\psi ^{\alpha }(x)+\partial _{\mu }h_{\nu }(x)\sigma _{\mu \nu }^{\alpha \beta }\psi ^{\beta }(x)}$

${\displaystyle \delta A_{\mu }(x)=h^{\nu }(x)\partial _{\nu }A_{\mu }(x)+A_{\nu }(x)\partial _{\mu }h^{\nu }(x)}$

Sin gravedad sólo se conservan las simetrías de Poincaré que se restringen a ser de la forma: ${\displaystyle h(x)}$

${\displaystyle h^{\mu }(x)=M^{\mu \nu }x_{\nu }+P^{\mu }}$

donde M es una matriz antisimétrica (que da las simetrías de Lorentz y rotacionales) y P es un vector general (que da las simetrías traslacionales). Otras simetrías afectan a múltiples campos simultáneamente. Por ejemplo, las transformaciones de calibre locales se aplican tanto a un campo vectorial como a un campo de espinor:

${\displaystyle \delta \psi ^{\alpha }(x)=\lambda (x).\tau ^{\alpha \beta }\psi ^{\beta }(x)}$

${\displaystyle \delta A_{\mu }(x)=\partial _{\mu }\lambda (x),}$

¿Dónde están los generadores de un grupo de Lie en particular ? Hasta ahora las transformaciones de la derecha sólo han incluido campos del mismo tipo. Las supersimetrías se definen según cómo se mezclan campos de diferentes tipos. ${\displaystyle \tau }$

Otra simetría que forma parte de algunas teorías de la física y no de otras es la invariancia de escala, que implica transformaciones de Weyl del siguiente tipo:

${\displaystyle \delta \phi (x)=\Omega (x)\phi (x)}$

Si los campos tienen esta simetría, entonces se puede demostrar que es casi seguro que la teoría de campos también es conformemente invariante. Esto significa que en ausencia de gravedad h(x) quedaría restringido a la forma:

${\displaystyle h^{\mu }(x)=M^{\mu \nu }x_{\nu }+P^{\mu }+Dx_{\mu }+K^{\mu }|x|^{2}-2K^{\nu }x_{\nu }x_{\mu },}$

con D generando transformaciones de escala y K generando transformaciones conformes especiales. Por ejemplo, la teoría N = 4 super- Yang-Mills tiene esta simetría, mientras que la relatividad general no la tiene, aunque otras teorías de la gravedad, como la gravedad conforme, sí la tienen. La "acción" de una teoría de campo es una invariante bajo todas las simetrías de la teoría. Gran parte de la física teórica moderna tiene que ver con especular sobre las diversas simetrías que puede tener el Universo y encontrar las invariantes para construir teorías de campos como modelos.

En las teorías de cuerdas, dado que una cuerda se puede descomponer en un número infinito de campos de partículas, las simetrías en la hoja del mundo de cuerdas equivalen a transformaciones especiales que mezclan un número infinito de campos.

Ver también

• Corriente conservada y carga
• Sin coordenadas
• Covarianza y contravarianza
• Fuerza ficticia
• invariancia galileana
• Principio de covarianza
• Covarianza general
• Condición de coordenadas armónicas
• Marco de referencia inercial
• Lista de temas matemáticos en relatividad.
• Modelo Estándar (formulación matemática)
• Teoría del absorbente de Wheeler-Feynman

Referencias

1. Córdoba, Clay; Dumitrescu, Thomas; Intriligador, Kenneth; Shao, Shu-Heng (2022). "Libro blanco de Snowmass: simetrías generalizadas en la teoría cuántica de campos y más allá". arXiv : 2205.09545 [hep-th].

Lectores generales

• Lederman, L .; Hill, CT (2011) [2005]. Simetría y el hermoso universo. Libros de Prometeo. ISBN 9781615920419.
• Schumm, B. (2004). Cosas profundas: la impresionante belleza de la física de partículas. Prensa de la Universidad Johns Hopkins. ISBN 978-0-8018-7971-5.
• Stenger, VJ (2000). Realidad atemporal: simetría, simplicidad y universos múltiples . Libros de Prometeo. ISBN 9781573928595.El capítulo 12 es una suave introducción a las leyes de simetría, invariancia y conservación.
• Zee, A. (2007). Temerosa simetría: la búsqueda de la belleza en la física moderna (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 978-0-691-00946-9.

Lectores técnicos

• Brading, K.; Castellani, E. (2003). Simetrías en física: reflexiones filosóficas. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-1-139-44202-2.
• Brading, K.; Castellani, E. (2007). "Simetrías e invariancias en la física clásica". En Butterfield, J.; Earman, J. (eds.). Filosofía de la Física Parte B. Holanda Septentrional. págs. 1331–68. ISBN 978-0-08-046665-1.
• Debs, T.; Pelirroja, M. (2007). Objetividad, invariancia y convención: simetría en la ciencia física. Prensa de la Universidad de Harvard. ISBN 978-0-674-03413-6.
• Earman, J. (2002), Leyes, simetría y ruptura de simetría: invariancia, principios de conservación y objetividad. (PDF)Discurso a la reunión de 2002 de la Asociación de Filosofía de la Ciencia .
• Mainzer, K. (1996). Simetrías de la naturaleza: un manual de filosofía de la naturaleza y la ciencia. de Gruyter. ISBN 978-3-11-088693-1.
• Mouchet, A. (2013). "Reflexiones sobre las cuatro facetas de la simetría: cómo la física ejemplifica el pensamiento racional". Revista Física Europea H. 38 (5): 661–702. arXiv : 1111.0658 . Código Bib : 2013EPJH...38..661M. CiteSeerX  10.1.1.400.2867 . doi :10.1140/epjh/e2013-40018-4. S2CID  14475702.
• Thompson, William J. (1994). Momento angular: una guía ilustrada sobre simetrías rotacionales para sistemas físicos . Wiley. ISBN 0-471-55264-X.
• Van Fraassen, B. (1989). Leyes y simetría. Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 978-0-19-151999-4.
• Wigner, E. (1970) [1967]. Simetrías y Reflexiones . Prensa del MIT. ISBN 978-0-262-73021-1.

enlaces externos

• Las conferencias Feynman sobre física vol. Yo cap. 52: Simetría en las leyes físicas
• Enciclopedia de Filosofía de Stanford : "Simetría", por K. Brading y E. Castellani.
• Ayudas pedagógicas para la teoría cuántica de campos Haga clic en el enlace al Capítulo 6: Simetría, invariancia y conservación para obtener una introducción simplificada, paso a paso, a la simetría en física.